Test di ammissione alla Normale di Pisa
Buongiorno a tutti. Come forse ho già scritto da qualche parte, sono uno studente del Liceo Scientifico (Scienze Applicate); e nel 2015 vorrei tentare di entrare nel corso di laurea in Fisica della Scuola Normale di Pisa. Forse è un po' tardivo iniziare a prepararsi ora, ma voglio comunque provarci.
Mi piacerebbe ricevere dei consigli su quali testi (in italiano o in inglese) usare per studiare a questo arduo scopo. Sono quasi certo di non essere il primo ad aprire un topic del genere, ma approfitto della tolleranza che in questo forum mi sembra vigere nei confronti dei thread ad personam per descrivervi quali sono le mie competenze attuali. Se non avete tempo e voglia di continuare a leggere, potete saltare i paragrafi successivi e rispondere direttamente.
Penso di conoscere abbastanza bene la matematica e la fisica incluse nei programmi scolastici ordinarî, ma ho un'esperienza pressoché nulla per quanto riguarda i problemi non convenzionali che compongono i test d'ingresso alla Normale. Da pochi giorni ho iniziato a studiare da Problem solving strategies di Engel, che mi sembra una valida scelta per iniziare.
Di seguito riporto le mie reazioni di fronte alle prove di ammissione del 2013. Se non ho speranze, per favore ditemelo impietosamente.
[size=151]Prova di Matematica[/size]
Esercizio 1: Nessuna difficoltà. Credo che sia l'unico che si possa tranquillamente risolvere con gli strumenti forniti dal programma ministeriale.
Esercizio 2: Secondo me, il più facile della prova. Avrò impiegato un paio di minuti per completarlo.
Esercizio 3: Ci penso su da giorni, e non ne sono ancora venuto a capo. Come accidenti si risolve, Dio Fant*o?!
Esercizio 4: Ci ho dovuto riflettere per decine di minuti (ho scarsissime conoscenze di calcolo combinatorio), ma alla fine ho capito come procedere. Forse mi ha aiutato l'essermi interessato in passato al teletris su tesseratti e ipertori quadridimensionali, che è un problema isomorfo. Mi rimangono solo dei dubbi sul punto 4).
Esercizio 5: Non sono riuscito a risolverlo per tutto il giorno; la soluzione mi è venuta a letto. Come a volte accade, dopo averla capita mi sembra un'ovvietà, e che il cenno di soluzione sia quasi l'intera soluzione.
Esercizio 6: I primi due punti sono immediati, ma non ho completato la dimostrazione richiesta dal terzo fino al giorno alla lettura della traccia, e l'ho fatto in un modo lungo e macchinoso (anche se ho poi trovato un'interpretazione geometrica che la semplifica in parte).
[size=151]Prova di Fisica[/size]
Esercizio 1: Spero che l'attributo "piccolo" dato all'intervallo $ \delta t$ possa essere interpretato come una licenza ad approssimare selvaggiamente ($\tan (\omega \delta t ) \approx \omega \delta t$ e $( \delta t )^2 \approx 0$); altrimenti non credo di saper risolverlo.
Esercizio 2: Nulla di particolarmente ostico, a meno che non mi sia sfuggito qualcosa. Basta spostarsi in un sistema di riferimento che ruota a una velocità $\omega$ e scrivere le equazioni cardinali per ciascina delle tre stelle, no?
Esercizio 3: Non so nemmeno da dove cominciare. Di ottica ho solo qualche reminiscenza da Feynman; non l'ho mai studiata a scuola, sebbene sia in teoria nel programma di seconda.
Esercizio 4: Ho ottenuto euristicamente un risultato che potrebbe essere quello corretto ($nRT\ln 2 + \epsilon$), ma non sono in grado di dimostrarlo rigorosamente.
Esercizio 5: Non mi viene in mente nulla di meglio della funzione a onda quadra (allargare al massimo quando la carica è 0 e chiudere al minimo quando la carica è massima). Imponendo $\frac{\mbox{d}E(Q,h)}{\mbox{d}t} < 0$ e risolvendo in $h$, ho trovato la condizione che la distanza tra le armature deve soddisfarre per non dover cedere mai energia al sistema; per ottenere un massimo (locale) di guadagno potrei risolvere $\frac{\mbox{d}^2E(Q,h)}{\mbox{d}t^2}=0$, ma viene di secondo ordine e non lo so fare. Credo di non aver capito l'ultima richiesta: se scolleghiamo il condensatore dal circuito, la carica non dovrebbe rimanere costante?
Esercizio 6: O ho capito male, o c'è qualche arcano trabocchetto, o è di una semplicità surreale.
Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi risposta.
Mi piacerebbe ricevere dei consigli su quali testi (in italiano o in inglese) usare per studiare a questo arduo scopo. Sono quasi certo di non essere il primo ad aprire un topic del genere, ma approfitto della tolleranza che in questo forum mi sembra vigere nei confronti dei thread ad personam per descrivervi quali sono le mie competenze attuali. Se non avete tempo e voglia di continuare a leggere, potete saltare i paragrafi successivi e rispondere direttamente.
Penso di conoscere abbastanza bene la matematica e la fisica incluse nei programmi scolastici ordinarî, ma ho un'esperienza pressoché nulla per quanto riguarda i problemi non convenzionali che compongono i test d'ingresso alla Normale. Da pochi giorni ho iniziato a studiare da Problem solving strategies di Engel, che mi sembra una valida scelta per iniziare.
Di seguito riporto le mie reazioni di fronte alle prove di ammissione del 2013. Se non ho speranze, per favore ditemelo impietosamente.
[size=151]Prova di Matematica[/size]
Esercizio 1: Nessuna difficoltà. Credo che sia l'unico che si possa tranquillamente risolvere con gli strumenti forniti dal programma ministeriale.
Esercizio 2: Secondo me, il più facile della prova. Avrò impiegato un paio di minuti per completarlo.
Esercizio 3: Ci penso su da giorni, e non ne sono ancora venuto a capo. Come accidenti si risolve, Dio Fant*o?!
Esercizio 4: Ci ho dovuto riflettere per decine di minuti (ho scarsissime conoscenze di calcolo combinatorio), ma alla fine ho capito come procedere. Forse mi ha aiutato l'essermi interessato in passato al teletris su tesseratti e ipertori quadridimensionali, che è un problema isomorfo. Mi rimangono solo dei dubbi sul punto 4).
Esercizio 5: Non sono riuscito a risolverlo per tutto il giorno; la soluzione mi è venuta a letto. Come a volte accade, dopo averla capita mi sembra un'ovvietà, e che il cenno di soluzione sia quasi l'intera soluzione.
Esercizio 6: I primi due punti sono immediati, ma non ho completato la dimostrazione richiesta dal terzo fino al giorno alla lettura della traccia, e l'ho fatto in un modo lungo e macchinoso (anche se ho poi trovato un'interpretazione geometrica che la semplifica in parte).
[size=151]Prova di Fisica[/size]
Esercizio 1: Spero che l'attributo "piccolo" dato all'intervallo $ \delta t$ possa essere interpretato come una licenza ad approssimare selvaggiamente ($\tan (\omega \delta t ) \approx \omega \delta t$ e $( \delta t )^2 \approx 0$); altrimenti non credo di saper risolverlo.
Esercizio 2: Nulla di particolarmente ostico, a meno che non mi sia sfuggito qualcosa. Basta spostarsi in un sistema di riferimento che ruota a una velocità $\omega$ e scrivere le equazioni cardinali per ciascina delle tre stelle, no?
Esercizio 3: Non so nemmeno da dove cominciare. Di ottica ho solo qualche reminiscenza da Feynman; non l'ho mai studiata a scuola, sebbene sia in teoria nel programma di seconda.
Esercizio 4: Ho ottenuto euristicamente un risultato che potrebbe essere quello corretto ($nRT\ln 2 + \epsilon$), ma non sono in grado di dimostrarlo rigorosamente.
Esercizio 5: Non mi viene in mente nulla di meglio della funzione a onda quadra (allargare al massimo quando la carica è 0 e chiudere al minimo quando la carica è massima). Imponendo $\frac{\mbox{d}E(Q,h)}{\mbox{d}t} < 0$ e risolvendo in $h$, ho trovato la condizione che la distanza tra le armature deve soddisfarre per non dover cedere mai energia al sistema; per ottenere un massimo (locale) di guadagno potrei risolvere $\frac{\mbox{d}^2E(Q,h)}{\mbox{d}t^2}=0$, ma viene di secondo ordine e non lo so fare. Credo di non aver capito l'ultima richiesta: se scolleghiamo il condensatore dal circuito, la carica non dovrebbe rimanere costante?
Esercizio 6: O ho capito male, o c'è qualche arcano trabocchetto, o è di una semplicità surreale.
Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi risposta.
Risposte
Mi trovo, grazie.
Io, invece, avevo risolto ponendo $z=x+y$, e quindi $x=\frac{2p(x,y)-z^2-z}{2}$. Le condizioni affinché $p(x,y)=k$ sono allora che $z^2 \leq 2k$ e $\frac{2k-z^2-z}{2} \leq z$.
Risolvendo, si ottiene $\sqrt{2k+9/4}-3/2 \leq z \leq \sqrt{2k}$, che è soddisfatta da uno e un solo $z \in \mathbb{N}$ per ogni $k$ (come è facile constatare se la vedi come un triangolo rettangolo con cateti $3/2$ e $\sqrt{2k}$).
Io, invece, avevo risolto ponendo $z=x+y$, e quindi $x=\frac{2p(x,y)-z^2-z}{2}$. Le condizioni affinché $p(x,y)=k$ sono allora che $z^2 \leq 2k$ e $\frac{2k-z^2-z}{2} \leq z$.
Risolvendo, si ottiene $\sqrt{2k+9/4}-3/2 \leq z \leq \sqrt{2k}$, che è soddisfatta da uno e un solo $z \in \mathbb{N}$ per ogni $k$ (come è facile constatare se la vedi come un triangolo rettangolo con cateti $3/2$ e $\sqrt{2k}$).
"Caenorhabditis":
[quote="vict85"]
Nell’esercizio 6 penso sia sufficiente porre \(\displaystyle (x + y + u + v)^2 + 3x + 3u + y + v = (x + y + u + v)^2 + 3x + y \). Alla fine dovresti arrivare che \(\displaystyle u = v = 0 \).
Permette di mostrare che $u+v=0$, ma non riesco a dimostrare usando solo questa sostituzione che siano entrambi nulli.[/quote]
Avevo fatto un piccolo errore nello scrivere la formula, comunque a me non viene quella condizione. I calcoli sono più complessi di quanto avevo pensato all'inizio. Comunque si può seguire la seguente strada.
\(\displaystyle p(x+u,y+v) = \frac{(x + y + u + v)^2 + 3x + 3u + y + v}{2} = p(x,y) + \tilde{p}(u,v) + (x+y)(u+v) \)
dove \(\displaystyle \tilde{p} \) serve ad indicare la funzione \(\displaystyle p \) calcolata in \(\displaystyle \mathbb{N}\times \mathbb{Z} \) invece che in \(\displaystyle \mathbb{N}\times \mathbb{N} \)[nota]Ho supposto che \(\displaystyle u \ge 0 \), cosa che posso sempre fare a patto di scambiare eventualmente \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle x+u \).[/nota].
Notiamo che \(\displaystyle p(x,y) = 0 \Leftrightarrow (x,y) = (0,0) \). Vale anche in \(\displaystyle \tilde{p} \) in quanto, posto \(\displaystyle w = u+v \), si ricaverebbe \(\displaystyle w(w+1) + 2u = 0\) cioè \(\displaystyle w(w+1) = -2u \). \(\displaystyle 2u \) è non positivo ma \(\displaystyle w(w+1) \) è non positivo solo per \(\displaystyle -1 \le w\le 0 \).
La condizione di iniettività si traduce pertanto nella condizione \(\displaystyle \tilde{p}(u,v) = -(x+y)(u+v) \). Ponendo \(\displaystyle (x+y) = \frac{b-1}{2} \) e \(\displaystyle u+v = w \) ricavo \(\displaystyle (w+b)w = -2u \) dove \(\displaystyle b = 2(x+y) + 1 \).
Notiamo che si deve avere \(\displaystyle y + v \ge 0 \), perciò \(\displaystyle v \ge -y \). Inoltre, siccome \(\displaystyle -2u < 0 \) allora \(\displaystyle w < 0 \) e quindi \(\displaystyle v < -u \). Ciò significa che \(\displaystyle y \ge -v > u \).
La condizione di negatività di \(\displaystyle -2u \) implica che \(\displaystyle -b\le w \le 0 \) ma al contempo \(\displaystyle -\frac{b}{2}<-y\le u-y \le u + v \). Perciò posso considerare il solo intervallo \(\displaystyle -\frac{b}{2}\le w \le 0 \) in cui \(\displaystyle (w+b)w \) è monotona crescente. D'altra parte per \(\displaystyle w = -1 \) si ha \(\displaystyle (w+b)w = -(b-1) = -2(x+y) \le 2y < -2u \). Pertanto la soluzione reale è compresa tra \(\displaystyle -1 \) e \(\displaystyle 0 \) e non vi sono soluzioni intere.
"vict85":
Nell’esercizio 6 penso sia sufficiente porre \(\displaystyle (x + y + u + v)^2 + 3x + 3u + y + v = (x + y + u + v)^2 + 3x + y \). Alla fine dovresti arrivare che \(\displaystyle u = v = 0 \).
Permette di mostrare che $u+v=0$, ma non riesco a dimostrare usando solo questa sostituzione che siano entrambi nulli.
"vict85":
Il risultato della prima parte dovrebbe essere il calcolo di una serie, quello della seconda è invece più complessa.
Una volta appurato l'output del "dipositivo" formato da due deviatori connessi come nel caso 1 ($2/3$ e $1/3$, ovviamente), basta osservare che il caso 2 non è altro che 2 di quei "dispositivi" connessi in un certo modo.
"vict85":
Nell’esercizio 6 penso sia sufficiente porre (x+y+u+v)2+3x+3u+y+v=(x+y+u+v)2+3x+y. Alla fine dovresti arrivare che u=v=0.
Sembra decisamente più semplice di come ho fatto io. Ci proverò.
"TeM":
Osservando che \[ \small 16\left(n^4 + n^3 + n^2 + n + 1\right) = \left(4n^2 + 2n + 1\right)^2 + \left(2n+3\right)^2 + 6 = \left(4n^2 + 2n + 2\right)^2 - 4(n+1)(n-3) \] si evince che, eccetto per \( n \in [-1,\,3] \), si ha \[ 4n^2 + 2n + 2 < 16\left(n^4 + n^3 + n^2 + n + 1\right) < 4n^2 + 2n + 1\; . \] Quindi, gli unici interi tali per cui \( n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 \) sia un quadrato perfetto sono \( -1,\,0,\,3 \).
Grazie $\Sigma(1000)$ (dove $\Sigma$ è la funzione busy beaver di Rado). Lo sospettavo, perché erano gli unici che il computer trovava fino ai miliardi.
Ad ogni modo non mi serve saper risolvere questi specifici problemi, che sicuramente non verranno riproposti nel 2015, ma apprendere per quanto possibile gli schemi di ragionamento che voi avete usato per darmi la soluzione in pochi minuti.
Nell’esercizio 2 di matematica hai considerato i cicli all'interno del grafo? Il risultato della prima parte dovrebbe essere il calcolo di una serie, quello della seconda è invece più complessa.
Nell’esercizio 3 penso che si debba procedere ponendo \(\displaystyle m = \alpha_2 n^2 + \alpha_1 n + \alpha_0 \) per \(\displaystyle 0\le \alpha_i \le n-1 \) per \(\displaystyle i = 1,2,3 \) e analizzare il suo quadrato. Non ci ho pensato molto.
Nell’esercizio 6 penso sia sufficiente porre \(\displaystyle (x + y + u + v)^2 + 3x + 3u + y + v = (x + y + u + v)^2 + 3x + y \). Alla fine dovresti arrivare che \(\displaystyle u = v = 0 \).
Sulla fisica ci ragiono dopo.
Nell’esercizio 3 penso che si debba procedere ponendo \(\displaystyle m = \alpha_2 n^2 + \alpha_1 n + \alpha_0 \) per \(\displaystyle 0\le \alpha_i \le n-1 \) per \(\displaystyle i = 1,2,3 \) e analizzare il suo quadrato. Non ci ho pensato molto.
Nell’esercizio 6 penso sia sufficiente porre \(\displaystyle (x + y + u + v)^2 + 3x + 3u + y + v = (x + y + u + v)^2 + 3x + y \). Alla fine dovresti arrivare che \(\displaystyle u = v = 0 \).
Sulla fisica ci ragiono dopo.
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