Matematica o no?
Ciao a tutti, mi sono diplomato da poco allo scientifico e tra poco inizierò l'università. La facoltà verso cui sono più orientato è matematica, non tanto perché provi un piacere smisurato nello studiare questa disciplina, più che altro è una delle poche che suscita il mio interesse e ho capito che ormai conoscerla a pieno fa parte di una sfida con i miei amici ma soprattutto con me stesso.
Mi sono accorto ultimamente di avere lacune nell'ambito della geometria euclidea, in particolare per quanto riguarda le dimostrazioni, l'applicazione dei teoremi; in generale la reputo noiosa da studiare e anche molto ostica (forse per via della mia scarsa preparazione o del fatto che non ho una particolare "visione geometrica" dei problemi). Parlando di geometria analitica però il discorso cambia avendo la possibilità di ricondurre le figure a equazioni e quindi all'algebra.
Volevo chiedervi quindi un consiglio e un parere: cosa ne pensate del fatto che un ragazzo, probabilmente futuro studente di matematica, si avvicina a questa facoltà con una repulsione verso la geometria? Qual'è quindi il ruolo che questa ha nel corso dei 5 anni? Ma soprattutto, avete qualche libro da consigliarmi o semplicemente qualche "dritta" da propormi per migliorare nel tipo di ragionamento richiesto?
Grazie
Mi sono accorto ultimamente di avere lacune nell'ambito della geometria euclidea, in particolare per quanto riguarda le dimostrazioni, l'applicazione dei teoremi; in generale la reputo noiosa da studiare e anche molto ostica (forse per via della mia scarsa preparazione o del fatto che non ho una particolare "visione geometrica" dei problemi). Parlando di geometria analitica però il discorso cambia avendo la possibilità di ricondurre le figure a equazioni e quindi all'algebra.
Volevo chiedervi quindi un consiglio e un parere: cosa ne pensate del fatto che un ragazzo, probabilmente futuro studente di matematica, si avvicina a questa facoltà con una repulsione verso la geometria? Qual'è quindi il ruolo che questa ha nel corso dei 5 anni? Ma soprattutto, avete qualche libro da consigliarmi o semplicemente qualche "dritta" da propormi per migliorare nel tipo di ragionamento richiesto?
Grazie
Risposte
@ Ancona:
Hai ragione. È un vero peccato che non ci siano libri simili scritti più di recente… Purtroppo sembra che neanche chi vola alto sulla Matematica (e.g., chi si occupa di categorie) abbia una vista migliore di una coppia analista/fisico matematico (Courant) & topologo/statistico (Robbins) vecchio stampo, i quali stavano sul campo invece che sopra di esso.
E pensare che Robbins aveva 25 anni circa quando aiutò Courant (che ne aveva una 50ina) a scriverlo… Ormai non li fanno più i ventenni di una volta: financo i neotrentenni di oggi sembra se ne vadano in giro citando altri a destra ed a manca (come fossero apostoli di un nuovo messia), piuttosto di cercare di dire la propria su ciò che dicono di amare.
"Ancona":Per quanto riguarda i testi, posso consigliare il sempreverde Courant & Robbins, Che Cos’è la Matematica, Boringhieri
L'unica cosa di sempreverde, per quanto riguarda il Courant&Robbins, è la copertina.
Hai ragione. È un vero peccato che non ci siano libri simili scritti più di recente… Purtroppo sembra che neanche chi vola alto sulla Matematica (e.g., chi si occupa di categorie) abbia una vista migliore di una coppia analista/fisico matematico (Courant) & topologo/statistico (Robbins) vecchio stampo, i quali stavano sul campo invece che sopra di esso.
E pensare che Robbins aveva 25 anni circa quando aiutò Courant (che ne aveva una 50ina) a scriverlo… Ormai non li fanno più i ventenni di una volta: financo i neotrentenni di oggi sembra se ne vadano in giro citando altri a destra ed a manca (come fossero apostoli di un nuovo messia), piuttosto di cercare di dire la propria su ciò che dicono di amare.
Mi permetto di intervenire nello scambio tra ProPatria e Gugo:
Non ti sembrano contraddittorie queste due affermazioni? Come puoi provare appagamento nel dimostrare teoremi e al contempo non provare piacere nello studiare (matematica, nel tuo caso)?
Sono lo stesso libro. Courant e Robbins sono gli autori di Che cos'è la matematica?.
"ProPatria":
Se come dici iscriversi all'università presuppone un piacere nello studiare credo che farò meglio a trovarmi un lavoro al più presto
"ProPatria":
il senso di appagamento che si prova al raggiungimento dei suddetti [risultati, le dimostrazioni dei teoremi e le soluzioni ai problemi] credo sia una sensazione che poche altre discipline siano in grado di fornire.
Non ti sembrano contraddittorie queste due affermazioni? Come puoi provare appagamento nel dimostrare teoremi e al contempo non provare piacere nello studiare (matematica, nel tuo caso)?
"ProPatria":
Per quanto riguarda il Courant & Robbins che hai citato vorrei farti qualche domanda. Di cosa tratta in particolare? Come lo reputi (anche a livello di difficoltà) rispetto a Che cos'è la matematica?
Sono lo stesso libro. Courant e Robbins sono gli autori di Che cos'è la matematica?.
"Luca.Lussardi":
Infatti, non ha nessun senso porre quella domanda ad un liceale...
forse non è alla mia portata, comunque mi ha spinto ad informarmi su argomenti "lontani" (per il momento) e di conseguenza a farmi un'idea più chiara di quel che probabilmente mi aspetta.
"j18eos":
[ot]Pure secondo me proporre di dimostrare il teorema fondamentale delle relazioni di equivalenza sia una richiesta esagerata per un liceale, che non conosce nemmeno la teoria ingenua degli insiemi.[/ot]Tornando a rispondere alle due domande dell'OP: l'algebra lineare è una branca dell'algebra, che si utilizza per costruire un modello della geometria di Euclide.
La topologia è un settore estremamente astratto, e preferisco non descrivertelo; d'altronde, ogni primo corso di topologia generale è impostato in maniera abbastanza personalizzata da parte del docente.
Molto chiaro. Grazie mille
"gugo82":
Dati due numeri $ a,b>0 $, si consideri l’equazione:
\[ \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + b} = 0\; . \]
Si dimostri che essa ha due soluzioni reali e che, suddiviso ciascuno degli intervalli $ ]- b, 0[ $ e $ ]0, a[ $ in tre intervalli uguali, le due soluzioni si trovano nei tratti centrali. (Per far vedere che le soluzioni sono solo due, si tenga presente che la funzione $ 1/(x - alpha) $ è decrescente sia in $ ]alpha , +oo[ $ sia in $ ]-oo , alpha[ $.)
È un esercizio dimostrativo, non è di tipo geometrico (che non piace allo OP) e si risolve conoscendo quel po’ di teoria che si deve conoscere al termine di un liceo.
L’obiettivo dell’esercizio è comunque scrivere una dimostrazione, cioè giustificare con calcoli ed argomentazioni logiche e coerenti i passaggi che consentono di ottenere la tesi, i.e. 1 che l’equazione $ 1/(x - a) + 1/x + 1/(x + b) = 0 $ ha solo due soluzioni in campo reale e 2 che tali soluzioni sono localizzate lì dove indica il testo, partendo dalle ipotesi, i.e. $ a,b > 0 $.
Per scrivere una dimostrazione, uno deve cercare di individuare una strada, proprio come si fa nella risoluzione di problemi di Geometria al biennio.
Nei problemi di Geometria la via maestra è “disegnare una figura e ragionare su di essa”; ed anche in questo caso è possibile appoggiare i propri ragionamenti su un’appropriata rappresentazione grafica.
In generale, valgono i consigli che do ai miei studenti e che ho riassunto qui (parlando dei problemi di Geometria, ma sono del tutto generali).
Grazie per la pazienza, mi sembra fattibile. Ci provo e posto il risultato
"gugo82":
@ ProPatria:
[quote="ProPatria"]Ciao a tutti, mi sono diplomato da poco allo scientifico e tra poco inizierò l'università. La facoltà verso cui sono più orientato è matematica, non tanto perché provi un piacere smisurato nello studiare questa disciplina, più che altro è una delle poche che suscita il mio interesse e ho capito che ormai conoscerla a pieno fa parte di una sfida con i miei amici ma soprattutto con me stesso.
Già parti col piede sbagliato.
Iscriversi all’università presuppone un “piacere” nello studiare ciò di cui il c.d.l. scelto tratta, sia esso Matematica o Veterinaria ovvero Scienze Gastronomiche Mediterranee.[nota]Sì, esiste…
[/nota]La sfida con gli amici può essere una buona motivazione per il calcetto, ma non per lo studio universitario.[/quote]
Se come dici iscriversi all'università presuppone un piacere nello studiare credo che farò meglio a trovarmi un lavoro al più presto
. Per quanto riguarda la "sfida con gli amici" che ho citato, questa (come forse ho lasciato intendere) influenza in parte molto piccola la mia decisione. Ciò che invece svolge il ruolo principale nella mia scelta è il fatto di poter dimostrare a me stesso che sono all'altezza di ciò che scelgo."gugo82":
[quote="ProPatria"]Mi sono accorto ultimamente di avere lacune nell'ambito della geometria euclidea, in particolare per quanto riguarda le dimostrazioni, l'applicazione dei teoremi; in generale la reputo noiosa da studiare e anche molto ostica (forse per via della mia scarsa preparazione o del fatto che non ho una particolare "visione geometrica" dei problemi). Parlando di geometria analitica però il discorso cambia avendo la possibilità di ricondurre le figure a equazioni e quindi all'algebra.
Insomma, i conti li sai più o meno fare, ma ragionare non è il tuo mestiere?
Anche qui, parti col piede sbagliato, dato che “fare i conti” è solo una piccola parte del lavoro del matematico.[/quote]
Quando ho citato la mia "scarsa preparazione" e la "visione geometrica" dei problemi mi riferivo unicamente all'ambito della geometria euclidea. Il ragionamento che concerne la ricerca di una dimostrazione o la risoluzione di un problema è ciò che più mi affascina e il senso di appagamento che si prova al raggiungimento dei suddetti credo sia una sensazione che poche altre discipline siano in grado di fornire.
"gugo82":
[quote="ProPatria"]Volevo chiedervi quindi un consiglio e un parere: cosa ne pensate del fatto che un ragazzo, probabilmente futuro studente di matematica, si avvicina a questa facoltà con una repulsione verso la geometria? Qual'è quindi il ruolo che questa ha nel corso dei 5 anni? Ma soprattutto, avete qualche libro da consigliarmi o semplicemente qualche "dritta" da propormi per migliorare nel tipo di ragionamento richiesto?
Grazie
Penso che, in sé, non c’è nulla da vergognarsi se non ti piace la Geometria in quanto tale; però se questo significa che non ti piace “dimostrare cose”, beh, ti direi di pensarci 500 volte prima di iscriverti a Matematica.
Per quanto riguarda i testi, posso consigliare il sempreverde Courant & Robbins, Che Cos’è la Matematica, Boringhieri (che puoi leggere anche in inglese qui).[/quote]
Ti confesso che sto già leggendo (o almeno provando a leggere) Che cos'è la Matematica, Boringhieri. Il fatto che le pagine riguardanti la teoria dei numeri, la teoria degli insiemi e le dimostrazioni algebriche in generale si siano rivelate grossomodo scorrevoli al contrario dei capitoli sulla geometria euclidea e sulle costruzioni "con riga e compasso" (con eventuali dimostrazioni lasciate come esercizio al lettore) è proprio il fattore che mi ha spinto a scrivere qui. Per quanto riguarda il Courant & Robbins che hai citato vorrei farti qualche domanda. Di cosa tratta in particolare? Come lo reputi (anche a livello di difficoltà) rispetto a Che cos'è la matematica?
comunque, grazie mille per l'esaustività
"marco2132k":
Purtroppo, più di così non posso fare per @ProPatria. Fossimo a marzo gli avrei linkato delle dispense libere (tipo questa o questa). Ma ora è tardi per farsi un'idea concreta. (Che è quello che gli serve, e che serve a me in merito a molti altri corsi di laurea, ovviamente!).
Ti ringrazio per i link. Sembrano molto interessanti, credo che mi saranno utili
Per quanto riguarda i testi, posso consigliare il sempreverde Courant & Robbins, Che Cos’è la Matematica, Boringhieri
L'unica cosa di sempreverde , per quanto riguarda il Courant&Robbins, è la copertina.
"marco2132k":Dimostra che ogni funzione \( f\colon S\to T \) suriettiva induce una biiezione \( S/{\mathrel{E}_f}\cong T \), dove \( {\mathrel{E}_f} \) è una relazione binaria in \( S \) definita come \( x\mathrel{E}_f y \) se e solo se \( f(x)=f(y) \) (tale relazione è di fatto una relazione di equivalenza, detta nucleo di equivalenza di \( f \)). Chi è tale biiezione quando \( f \) è la proiezione canonica di un prodotto cartesiano \( f=\pi_i\colon X_1\times X_2\to X_i \), per il tuo \( i=1,2 \) preferito?[/quote]
[quote="ProPatria"]Non ho problemi invece per quanto riguarda teoremi [...], l'insiemistica
La funzione $ f:Srarr T $ è suriettiva, ciò significa che ogni elemento di $ T $ è immagine di almeno un elemento di $ S $, cioè $ EE a in S| f(a)=q AAq in T $.
La relazione binaria $ E_f $ mette in relazione quelle coppie $ (x,y) $ tali che $ f(x)=f(y) $, con $ x,yin S $. $ E_f $ è inoltre una relazione di equivalenza, è infatti riflessiva ($ f(x)=f(x) $), simmetrica (se $ f(x)=f(y) $ allora $ f(y)=f(x) $) e transitiva (se $ f(x)=f(y) $ e $ f(y)=f(z) $ allora $ f(x)=f(z) $).
L'insieme \( S/{\mathrel{E}_f} \) ha quindi come elementi le classi di equivalenza $ (a_0,a_1,...,a_n) $ tali che $ f(a_0)=f(a_1)=...=f(a_n) $, con $ nin N $ e $ a_0,a_1,...,a_nin S $. Notiamo che n può essere 0 e la classe composta da un solo elemento, infatti $ E_f $ è riflessiva, cioè $ f(a_0)=f(a_0) $. In particolare ciò accade $ AA a_0inS|f(a_0)=q $ è immagine di un solo elemento di $ S $ (cioè di $a_0$), con $ qin T $.
Notiamo quindi che tra i due insiemi \( S/{\mathrel{E}_f} \) e $ T $ sussiste una relazione biunivoca, infatti a ogni elemento $ qin T $ corrisponde un solo elemento $ p in $\( S/{\mathrel{E}_f} \) tale che $ f(p)=q $, e questo elemento $ p $:
è una classe di equivalenza $ (a_0) $ composta da un solo elemento $ a_0in S $ nel caso in cui $ f(a_0)=q $ è immagine di un solo elemento di $ S $. Si ha cioè $ f(a_0) = f(p)=q $, con $ a_0inS $, $ p in $\( S/{\mathrel{E}_f} \) e $ qin T $;
è una classe di equivalenza $ (a_0,a_1,...,a_n) $ con $ nin N^+ $ composta da più elementi $ a_0,a_1,...,a_nin S $ tali che $ f(a_0)=...=f(a_n) $ nel caso in cui $ f(a_0)=...=f(a_n)=q $ è, appunto, immagine di più elementi di $ S $. Si ha quindi $ f(a_0)=...=f(a_n)=f(p)=q $ con $ a_0,...,a_ninS $, $ p in $\( S/{\mathrel{E}_f} \) e $ qin T $.
Credo che ciò che ho scritto limiti il campo agli insiemi finiti (ammesso che sia una dimostrazione valida). Scusa per il ritardo con cui ho risposto ma ci ho ragionato parecchio e molti concetti sono stati nuovi per me, per quanto riguarda la seconda domanda non conosco la risposta ma mi farebbe piacere se me la illustrassi nel modo più semplice possibile
.
@OP, sai che cos'è un anello? E più in generale, hai studiato qualcosa per conto tuo o ti sei attenuto a quanto fatto "a scuola"?
[ot]
Siamo ad agosto e le hai linkate ugualmente… Quindi? Qual è il punto?
Cosa ne sai che è tardi?
Hai lo stesso orologio di OP?
Ognuno ha i suoi tempi. I suoi sono, possibilmente, differenti dai tuoi.
Tienilo presente prima di dire “ora è tardi”.[/ot]
L’etimologia raramente è una definizione in Matematica.
"marco2132k":
Purtroppo, più di così non posso fare per @ProPatria. Fossimo a marzo gli avrei linkato delle dispense libere (tipo questa o questa).
Siamo ad agosto e le hai linkate ugualmente… Quindi? Qual è il punto?
"marco2132k":
Ma ora è tardi per farsi un'idea concreta. (Che è quello che gli serve, e che serve a me in merito a molti altri corsi di laurea, ovviamente!).
Cosa ne sai che è tardi?
Hai lo stesso orologio di OP?
Ognuno ha i suoi tempi. I suoi sono, possibilmente, differenti dai tuoi.
Tienilo presente prima di dire “ora è tardi”.[/ot]
"marco2132k":
@gugo82 Da ēx + arcĕo, che trasla il significato in "sono operoso", "esercito", ecc. Si addice al fatto fondamentale per l'algebra, se non ne riporto la dimostrazione.
L’etimologia raramente è una definizione in Matematica.
Purtroppo, più di così non posso fare per @ProPatria. Fossimo a marzo gli avrei linkato delle dispense libere (tipo questa o questa). Ma ora è tardi per farsi un'idea concreta. (Che è quello che gli serve, e che serve a me in merito a molti altri corsi di laurea, ovviamente!).
@gugo82 Da ēx + arcĕo, che trasla il significato in "sono operoso", "esercito", ecc. Si addice al fatto fondamentale per l'algebra, se non ne riporto la dimostrazione.
@gugo82 Da ēx + arcĕo, che trasla il significato in "sono operoso", "esercito", ecc. Si addice al fatto fondamentale per l'algebra, se non ne riporto la dimostrazione.
@ marco2132k: Questo è un punto interessante… Definisci “esercizio”.
Un “fatto fondamentale per tutta l’Algebra che vedrà se farà Matematica” ricade nella tua definizione?
[ot]Sei sicuro di non proiettare su altri le tue idiosincrasie?
Di casi del genere ne abbiamo già uno presente sul forum, non ce ne serve un altro.
Piuttosto, cerca di comprendere con chi stai dialogando e di cogliere le sue necessità.
Non pensare che tutti siano come te, che abbiano le tue stesse capacità o i tuoi stessi interessi, perché semplicemente non è il caso.
Questa cosa accade già con un altro utente qui sul forum, non ce ne serve un altro.[/ot]
@ ProPatria:
Già parti col piede sbagliato.
Iscriversi all’università presuppone un “piacere” nello studiare ciò di cui il c.d.l. scelto tratta, sia esso Matematica o Veterinaria ovvero Scienze Gastronomiche Mediterranee.[nota]Sì, esiste…[/nota]
La sfida con gli amici può essere una buona motivazione per il calcetto, ma non per lo studio universitario.
Insomma, i conti li sai più o meno fare, ma ragionare non è il tuo mestiere?
Anche qui, parti col piede sbagliato, dato che “fare i conti” è solo una piccola parte del lavoro del matematico.
Penso che, in sé, non c’è nulla da vergognarsi se non ti piace la Geometria in quanto tale; però se questo significa che non ti piace “dimostrare cose”, beh, ti direi di pensarci 500 volte prima di iscriverti a Matematica.
Per quanto riguarda i testi, posso consigliare il sempreverde Courant & Robbins, Che Cos’è la Matematica, Boringhieri (che puoi leggere anche in inglese qui).
Un “fatto fondamentale per tutta l’Algebra che vedrà se farà Matematica” ricade nella tua definizione?
[ot]Sei sicuro di non proiettare su altri le tue idiosincrasie?
Di casi del genere ne abbiamo già uno presente sul forum, non ce ne serve un altro.
Piuttosto, cerca di comprendere con chi stai dialogando e di cogliere le sue necessità.
Non pensare che tutti siano come te, che abbiano le tue stesse capacità o i tuoi stessi interessi, perché semplicemente non è il caso.
Questa cosa accade già con un altro utente qui sul forum, non ce ne serve un altro.
[/ot]@ ProPatria:
"ProPatria":
Ciao a tutti, mi sono diplomato da poco allo scientifico e tra poco inizierò l'università. La facoltà verso cui sono più orientato è matematica, non tanto perché provi un piacere smisurato nello studiare questa disciplina, più che altro è una delle poche che suscita il mio interesse e ho capito che ormai conoscerla a pieno fa parte di una sfida con i miei amici ma soprattutto con me stesso.
Già parti col piede sbagliato.
Iscriversi all’università presuppone un “piacere” nello studiare ciò di cui il c.d.l. scelto tratta, sia esso Matematica o Veterinaria ovvero Scienze Gastronomiche Mediterranee.[nota]Sì, esiste…
[/nota]La sfida con gli amici può essere una buona motivazione per il calcetto, ma non per lo studio universitario.
"ProPatria":
Mi sono accorto ultimamente di avere lacune nell'ambito della geometria euclidea, in particolare per quanto riguarda le dimostrazioni, l'applicazione dei teoremi; in generale la reputo noiosa da studiare e anche molto ostica (forse per via della mia scarsa preparazione o del fatto che non ho una particolare "visione geometrica" dei problemi). Parlando di geometria analitica però il discorso cambia avendo la possibilità di ricondurre le figure a equazioni e quindi all'algebra.
Insomma, i conti li sai più o meno fare, ma ragionare non è il tuo mestiere?
Anche qui, parti col piede sbagliato, dato che “fare i conti” è solo una piccola parte del lavoro del matematico.
"ProPatria":
Volevo chiedervi quindi un consiglio e un parere: cosa ne pensate del fatto che un ragazzo, probabilmente futuro studente di matematica, si avvicina a questa facoltà con una repulsione verso la geometria? Qual'è quindi il ruolo che questa ha nel corso dei 5 anni? Ma soprattutto, avete qualche libro da consigliarmi o semplicemente qualche "dritta" da propormi per migliorare nel tipo di ragionamento richiesto?
Grazie
Penso che, in sé, non c’è nulla da vergognarsi se non ti piace la Geometria in quanto tale; però se questo significa che non ti piace “dimostrare cose”, beh, ti direi di pensarci 500 volte prima di iscriverti a Matematica.
Per quanto riguarda i testi, posso consigliare il sempreverde Courant & Robbins, Che Cos’è la Matematica, Boringhieri (che puoi leggere anche in inglese qui).
Non sarà un esercizio (perché non è un esercizio?) fattibile da un liceale (però io riesco, perché? 
), ma non è scelto a casaccio.
Intanto è un fatto fondamentale per tutta l'algebra che vedrà se farà matematica. Perché la stessa cosa vale in generale, per qualsiasi algebra (se \( \phi\colon A\to B \) è un morfismo di algebre, allora \( A/\operatorname{Ker}\phi\cong\operatorname{Im}\phi \)), e xé n'attimo non riconoscere nessuna affinità tra \( \operatorname{Ker}\phi \), fai, parlando di gruppi o di spazi vettoriali, e la relazione \( {\mathrel{E}_f} \).
Poi, l'aritmetica dell'orologio è presentata a pagina 31 del Courant. Quindi una bella cosa per @ProPatria potrebbe essere cercare di comprendere almeno che cosa questa proposizione astrae, se la dimostrazione non gli paresse sufficientemente accessibile. (Ha detto lui di conoscere un po' di teoria degli insiemi. Non me lo aspetto da altre persone che conosco, ma che sappia cos'è una relazione di equivalenza, dopo che ha detto di conoscere un po' di set theory, va al di là dello scherzo).
Non deve dare la maturità: l'esercizio che proponi è troppo simile a ciò che ha già visto. Una cosa simile (a.k.a. un esercizio che richiede di fare un disegno, ma di sopportare la costruzione con un'argomentazione adeguata) potrebbe essere la costruzione di una funzione continua \( S^1\to Q^1 \) con il gluing lemma. (\( Q^1 \) è il quadrato unitario; quello della bici quadrata della maturità di qualche anno fa).
), ma non è scelto a casaccio.Intanto è un fatto fondamentale per tutta l'algebra che vedrà se farà matematica. Perché la stessa cosa vale in generale, per qualsiasi algebra (se \( \phi\colon A\to B \) è un morfismo di algebre, allora \( A/\operatorname{Ker}\phi\cong\operatorname{Im}\phi \)), e xé n'attimo non riconoscere nessuna affinità tra \( \operatorname{Ker}\phi \), fai, parlando di gruppi o di spazi vettoriali, e la relazione \( {\mathrel{E}_f} \).
Poi, l'aritmetica dell'orologio è presentata a pagina 31 del Courant. Quindi una bella cosa per @ProPatria potrebbe essere cercare di comprendere almeno che cosa questa proposizione astrae, se la dimostrazione non gli paresse sufficientemente accessibile. (Ha detto lui di conoscere un po' di teoria degli insiemi. Non me lo aspetto da altre persone che conosco, ma che sappia cos'è una relazione di equivalenza, dopo che ha detto di conoscere un po' di set theory, va al di là dello scherzo).
Non deve dare la maturità: l'esercizio che proponi è troppo simile a ciò che ha già visto. Una cosa simile (a.k.a. un esercizio che richiede di fare un disegno, ma di sopportare la costruzione con un'argomentazione adeguata) potrebbe essere la costruzione di una funzione continua \( S^1\to Q^1 \) con il gluing lemma. (\( Q^1 \) è il quadrato unitario; quello della bici quadrata della maturità di qualche anno fa).
Molti testi di Matematica universitaria, da cui questo esercizio -che esercizio non è- sembra tratto (a casaccio, come già fatto notare da altri), sono pieni di esercizietti che possono esser svolti anche da liceali… Basta saper scegliere (cosa che presuppone conoscenze approfondite della materia non sempre possedute da studenti al primo anno ed, a volte, neanche da certi ricercatori).
Ad esempio, questo (tratto da Prodi) mi pare sufficientemente sensato:
È un esercizio dimostrativo, non è di tipo geometrico (che non piace allo OP) e si risolve conoscendo quel po’ di teoria che si deve conoscere al termine di un liceo.
L’obiettivo dell’esercizio è comunque scrivere una dimostrazione, cioè giustificare con calcoli ed argomentazioni logiche e coerenti i passaggi che consentono di ottenere la tesi, i.e. 1 che l’equazione $1/(x - a) + 1/x + 1/(x + b) = 0$ ha solo due soluzioni in campo reale e 2 che tali soluzioni sono localizzate lì dove indica il testo, partendo dalle ipotesi, i.e. $a,b > 0$.
Per scrivere una dimostrazione, uno deve cercare di individuare una strada, proprio come si fa nella risoluzione di problemi di Geometria al biennio.
Nei problemi di Geometria la via maestra è “disegnare una figura e ragionare su di essa”; ed anche in questo caso è possibile appoggiare i propri ragionamenti su un’appropriata rappresentazione grafica.
In generale, valgono i consigli che do ai miei studenti e che ho riassunto qui (parlando dei problemi di Geometria, ma sono del tutto generali).
Se non riesci, prova innanzitutto ad assegnare un paio di valori ad $a$ e $b$ e vedere ciò dove ti porta; poi pensa a cosa accade nel caso generico.
Se ancora non va, prova a postare qualche ragionamento nella sezione delle Secondarie di Secondo Grado o di Analisi.
Ad esempio, questo (tratto da Prodi) mi pare sufficientemente sensato:
Dati due numeri $a,b>0$, si consideri l’equazione:
\[
\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + b} = 0\; .
\]
Si dimostri che essa ha due soluzioni reali e che, suddiviso ciascuno degli intervalli $]- b, 0[$ e $]0, a[$ in tre intervalli uguali, le due soluzioni si trovano nei tratti centrali. (Per far vedere che le soluzioni sono solo due, si tenga presente che la funzione $1/(x - alpha)$ è decrescente sia in $]alpha , +oo[$ sia in $]-oo , alpha[$.)
È un esercizio dimostrativo, non è di tipo geometrico (che non piace allo OP) e si risolve conoscendo quel po’ di teoria che si deve conoscere al termine di un liceo.
L’obiettivo dell’esercizio è comunque scrivere una dimostrazione, cioè giustificare con calcoli ed argomentazioni logiche e coerenti i passaggi che consentono di ottenere la tesi, i.e. 1 che l’equazione $1/(x - a) + 1/x + 1/(x + b) = 0$ ha solo due soluzioni in campo reale e 2 che tali soluzioni sono localizzate lì dove indica il testo, partendo dalle ipotesi, i.e. $a,b > 0$.
Per scrivere una dimostrazione, uno deve cercare di individuare una strada, proprio come si fa nella risoluzione di problemi di Geometria al biennio.
Nei problemi di Geometria la via maestra è “disegnare una figura e ragionare su di essa”; ed anche in questo caso è possibile appoggiare i propri ragionamenti su un’appropriata rappresentazione grafica.
In generale, valgono i consigli che do ai miei studenti e che ho riassunto qui (parlando dei problemi di Geometria, ma sono del tutto generali).
Se non riesci, prova innanzitutto ad assegnare un paio di valori ad $a$ e $b$ e vedere ciò dove ti porta; poi pensa a cosa accade nel caso generico.
Se ancora non va, prova a postare qualche ragionamento nella sezione delle Secondarie di Secondo Grado o di Analisi.
[ot]Pure secondo me proporre di dimostrare il teorema fondamentale delle relazioni di equivalenza sia una richiesta esagerata per un liceale, che non conosce nemmeno la teoria ingenua degli insiemi.[/ot]Tornando a rispondere alle due domande dell'OP: l'algebra lineare è una branca dell'algebra, che si utilizza per costruire un modello della geometria di Euclide.
La topologia è un settore estremamente astratto, e preferisco non descrivertelo; d'altronde, ogni primo corso di topologia generale è impostato in maniera abbastanza personalizzata da parte del docente.
La topologia è un settore estremamente astratto, e preferisco non descrivertelo; d'altronde, ogni primo corso di topologia generale è impostato in maniera abbastanza personalizzata da parte del docente.
Sì e no.
Comunque non è un prerequisito.
Comunque non è un prerequisito.
Infatti, non ha nessun senso porre quella domanda ad un liceale...
"marco2132k":Dimostra che [...][/quote]
[quote="ProPatria"]Non ho problemi invece per quanto riguarda teoremi [...], l'insiemistica
Non ti sembra una richiesta un tantino esagerata per un liceale?
No, sta per l’insieme quoziente per la relazione \( {\mathrel{E}_f} \). Nel caso te lo stessi chiedendo, \( S\cong T \), se S e T sono insiemi, denota una biiezione \( S\to T \).
O, meglio, cosa intendi per “diviso”?
O, meglio, cosa intendi per “diviso”?
"marco2132k":Dimostra che ogni funzione \( f\colon S\to T \) suriettiva induce una biiezione \( S/{\mathrel{E}_f}\cong T \) [/quote]
[quote="ProPatria"]Non ho problemi invece per quanto riguarda teoremi [...], l'insiemistica
Il simbolo "/" sta per diviso?
"Luca.Lussardi":
Se e' solo un fatto di contenuti è diverso, comunque ricorda che di geometria ne vedrai parecchia a matematica, è per altro il ramo della matematica più vasto e sviluppato che ci sia, certo non vedrai triangoli o criteri di similitudine tra essi, però comunque di geometria si tratta.
Capisco, grazie dell'informazione allora. Spero vivamente di esserne all'altezza
"j18eos":
Penso che l'OP si riferisca alla così detta geometria scolastica, che nulla ha a che vedere con la così detta geometria universitaria.
In sostanza, in nessun esame ti verrà chiesto, per esempio, di dimostrare che un triangolo è rettangolo se e solo se il suo ortocentro coincide con uno dei suoi vertici[nota]Teorema "scemo".[/nota], oppure che un triangolo è ottusangolo se e solo se il suo ortocentro è un punto esterno al triangolo[nota]Teorema per nulla "scemo".[/nota], e, per completezza, non ti verrà mai chiesto di dimostrare che un triangolo è acutangolo se e solo se il suo ortocentro è un punto interno al triangolo[nota]Neanche questo è un teorema "scemo".[/nota].
D'altra parte, devi conoscere un po' tutta la nomenclatura della geometria scolastica, e saper fare almeno i disegni corretti; non che questo siano conoscenze fondamentali, ma riderebbero i polli e le mosche nel vederti disegnare un quadrato quando ti venga chiesto esplicitamente di disegnare una circonferenza...
Per quanto riguarda la così detta geometria universitaria: è tutt'altra cosa; i mattoncini di base di quest'ultima sono l'algebra lineare e la topologia, argomenti che ti verranno spiegati ex novo.
Si, mi riferivo a quella scolastica essendo l'unica che fin'ora ho avuto modo di studiare. Ti ringrazio per quello che hai scritto perché mi ha incoraggiato parecchio, però forrei farti qualche domanda ora
come reputi l'algebra lineare e la topologia a livello di difficoltà rispetto alle altre branche? Ma soprattutto di cosa si occupano in generale? Scusa l'insistenza, di domande purtroppo ne ho veramente molte
"ProPatria":Dimostra che ogni funzione \( f\colon S\to T \) suriettiva induce una biiezione \( S/{\mathrel{E}_f}\cong T \), dove \( {\mathrel{E}_f} \) è una relazione binaria in \( S \) definita come \( x\mathrel{E}_f y \) se e solo se \( f(x)=f(y) \) (tale relazione è di fatto una relazione di equivalenza, detta nucleo di equivalenza di \( f \)). Chi è tale biiezione quando \( f \) è la proiezione canonica di un prodotto cartesiano \( f=\pi_i\colon X_1\times X_2\to X_i \), per il tuo \( i=1,2 \) preferito?
Non ho problemi invece per quanto riguarda teoremi [...], l'insiemistica
Penso che l'OP si riferisca alla così detta geometria scolastica, che nulla ha a che vedere con la così detta geometria universitaria.
In sostanza, in nessun esame ti verrà chiesto, per esempio, di dimostrare che un triangolo è rettangolo se e solo se il suo ortocentro coincide con uno dei suoi vertici[nota]Teorema "scemo".[/nota], oppure che un triangolo è ottusangolo se e solo se il suo ortocentro è un punto esterno al triangolo[nota]Teorema per nulla "scemo".[/nota], e, per completezza, non ti verrà mai chiesto di dimostrare che un triangolo è acutangolo se e solo se il suo ortocentro è un punto interno al triangolo[nota]Neanche questo è un teorema "scemo".[/nota].
D'altra parte, devi conoscere un po' tutta la nomenclatura della geometria scolastica, e saper fare almeno i disegni corretti; non che questo siano conoscenze fondamentali, ma riderebbero i polli e le mosche nel vederti disegnare un quadrato quando ti venga chiesto esplicitamente di disegnare una circonferenza...
Per quanto riguarda la così detta geometria universitaria: è tutt'altra cosa; i mattoncini di base di quest'ultima sono l'algebra lineare e la topologia, argomenti che ti verranno spiegati ex novo.
In sostanza, in nessun esame ti verrà chiesto, per esempio, di dimostrare che un triangolo è rettangolo se e solo se il suo ortocentro coincide con uno dei suoi vertici[nota]Teorema "scemo".[/nota], oppure che un triangolo è ottusangolo se e solo se il suo ortocentro è un punto esterno al triangolo[nota]Teorema per nulla "scemo".[/nota], e, per completezza, non ti verrà mai chiesto di dimostrare che un triangolo è acutangolo se e solo se il suo ortocentro è un punto interno al triangolo[nota]Neanche questo è un teorema "scemo".[/nota].
D'altra parte, devi conoscere un po' tutta la nomenclatura della geometria scolastica, e saper fare almeno i disegni corretti; non che questo siano conoscenze fondamentali, ma riderebbero i polli e le mosche nel vederti disegnare un quadrato quando ti venga chiesto esplicitamente di disegnare una circonferenza...
Per quanto riguarda la così detta geometria universitaria: è tutt'altra cosa; i mattoncini di base di quest'ultima sono l'algebra lineare e la topologia, argomenti che ti verranno spiegati ex novo.
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