Zeri di una funzione
non l'ho ancora provato, perchè l'ho giusto pensato questa mattina come cosa...
questo l'ho pensato pensando alle noiose funzioni per cui ci vuole per esempio la bisezione per trovare lo zero.
quindi:
Hp: la funzione deve essere continua in un intervallo [a,b] e derivabile in [a,b]. Inoltre in questo intervallo deve contenere solo uno zero (essere quindi monotona crescente o decrescente).
segue che:
la retta passante per per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)) interseca l'asse delle ascisse in un punto approssimabile dentro un certo range di errore al punto $X_0$ dellla funzione.
questo perchè, se si guarda la derivata in a e in b, esse indicano la pendenza della retta tangente in questi due punti e quindi la pendenza della curva.
1.se f'(a)=f'(b) allora la funzione ha la stessa pendenza e quindi la retta passante per a e b intersecherà $X_0$ esattamente nel punto.
2.se i due valori sono dissimili per poco allora anche i punti intermedi tra a e b avranno pendenza simile ai du punti punti e quindi se si fa passare la retta passante per a e b essa avrà tangente simile alla curva e quindi al valore della derivata in quei punti, quindi approssima $X_0$ abbastanza bene.
3.se f'(a) è completamente diverso da f'(b) allora basterà intersecare un altro punto più in basso della curva con una retta parallela all'asse delle ascisse, e riformare l'intervallo, così nel nuovo intervallo formato [a,c] ad esempio, si rifà lo stesso discorso.
questo ultimo punto possiamo farlo tranquillamente grazie alle ipotesi dette, essendo derivabile e continua nell'intervallo, possiamo prendere un sottointervallo chiuso di [a,b] dove restano invariate sempre le ipotesi che valevano per [a,b].
certamente se si fa passare la retta per i due punti essa sarà tanto più vicina all'$X_0$ della funzione quanto è più simile il valore delle derivate.
la cosa che resta da vedere è come vedere l'errore che si commette rispetto al punto reale $X_0$ e quello trovato con questo sistema...
ps: è giusto come cosa?...
vi piace? 
questo l'ho pensato pensando alle noiose funzioni per cui ci vuole per esempio la bisezione per trovare lo zero.
quindi:
Hp: la funzione deve essere continua in un intervallo [a,b] e derivabile in [a,b]. Inoltre in questo intervallo deve contenere solo uno zero (essere quindi monotona crescente o decrescente).
segue che:
la retta passante per per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)) interseca l'asse delle ascisse in un punto approssimabile dentro un certo range di errore al punto $X_0$ dellla funzione.
questo perchè, se si guarda la derivata in a e in b, esse indicano la pendenza della retta tangente in questi due punti e quindi la pendenza della curva.
1.se f'(a)=f'(b) allora la funzione ha la stessa pendenza e quindi la retta passante per a e b intersecherà $X_0$ esattamente nel punto.
2.se i due valori sono dissimili per poco allora anche i punti intermedi tra a e b avranno pendenza simile ai du punti punti e quindi se si fa passare la retta passante per a e b essa avrà tangente simile alla curva e quindi al valore della derivata in quei punti, quindi approssima $X_0$ abbastanza bene.
3.se f'(a) è completamente diverso da f'(b) allora basterà intersecare un altro punto più in basso della curva con una retta parallela all'asse delle ascisse, e riformare l'intervallo, così nel nuovo intervallo formato [a,c] ad esempio, si rifà lo stesso discorso.
questo ultimo punto possiamo farlo tranquillamente grazie alle ipotesi dette, essendo derivabile e continua nell'intervallo, possiamo prendere un sottointervallo chiuso di [a,b] dove restano invariate sempre le ipotesi che valevano per [a,b].
certamente se si fa passare la retta per i due punti essa sarà tanto più vicina all'$X_0$ della funzione quanto è più simile il valore delle derivate.
la cosa che resta da vedere è come vedere l'errore che si commette rispetto al punto reale $X_0$ e quello trovato con questo sistema...
ps: è giusto come cosa?...
vi piace?
Risposte
Hp: la funzione deve essere continua in un intervallo [A,B] e derivabile in [A,B]. Inoltre in questo intervallo deve contenere solo uno zero (essere quindi monotona crescente o decrescente).
I valori delle derivate agli estremi dell'intervallo non devono essere molto discostanti tra loro.
ts: la retta passante per i punti A(a,f(a)) e B(b,f(b)), dove A e B sono gli estremi dell'intervallo, intersecherà le ascisse nel punto $X_0$ che sarà anche un'approssimazione di dove la curva taglia a sua volta l'asse delle ascisse.
motivazione:
se facciamo passare una retta per AB e applichiamo il th di lagrange all'intervallo[A,B], troviamo sicuarmente almeno un punto che ha tangente parallela a questa retta (sicuramente ci sarà almeno un punto in quanto in un intervallo di questo tipo, con queste ipotesi, la curva deve assumere tutti i valori compresi tra A e B, per la proprietà di Darbou). quindi se applichiamo una rototraslazione alla curva in modo che la retta AB sia parallela e adiacente all'asse delle ascisse, abbiamo che f(A)=f(B), possiamo applicare il th di Rolle (caso particolare di lagrange) e ci accorgiamo che il punto o i punti trovati con lagrange son massimi o minimi dassoluti dell'intervallo (se son due bene, se il punto è solo uno allora l'altro massimo o il minimo a seconda di dov'è il punto c, sarà costituito da A o da B indistintamente dato che xA0xB) per il th di weiestrass.
quindi lo zero della funzione sarà compreso in questo intervallo, cioè tra lo spazio costituito dalla differenza tra il massimo e il minimo.
Esso sarà quindi il suo errore assoluto.
quindi se f'(A) e circa uguale a f'(B) allora, essendo la funzione monotona crescente o descrescente anche tutti i punti appartenenti a questo intervallo avranno una pendenza che non si discosta troppo dalla pendenza degli estremi e quindi l'errore commesso nel trovare lo zero sarà minore in quanto varia meno la differenza tra massimo e minimo.
se prendiamo intervalli sempre più piccoli allora la differenza si assottiglieà sempre di più rendendo il risultato più preciso.
ora è più attendibile il mio metodo?---nel caso dove ho sbagliato tanto?
I valori delle derivate agli estremi dell'intervallo non devono essere molto discostanti tra loro.
ts: la retta passante per i punti A(a,f(a)) e B(b,f(b)), dove A e B sono gli estremi dell'intervallo, intersecherà le ascisse nel punto $X_0$ che sarà anche un'approssimazione di dove la curva taglia a sua volta l'asse delle ascisse.
motivazione:
se facciamo passare una retta per AB e applichiamo il th di lagrange all'intervallo[A,B], troviamo sicuarmente almeno un punto che ha tangente parallela a questa retta (sicuramente ci sarà almeno un punto in quanto in un intervallo di questo tipo, con queste ipotesi, la curva deve assumere tutti i valori compresi tra A e B, per la proprietà di Darbou). quindi se applichiamo una rototraslazione alla curva in modo che la retta AB sia parallela e adiacente all'asse delle ascisse, abbiamo che f(A)=f(B), possiamo applicare il th di Rolle (caso particolare di lagrange) e ci accorgiamo che il punto o i punti trovati con lagrange son massimi o minimi dassoluti dell'intervallo (se son due bene, se il punto è solo uno allora l'altro massimo o il minimo a seconda di dov'è il punto c, sarà costituito da A o da B indistintamente dato che xA0xB) per il th di weiestrass.
quindi lo zero della funzione sarà compreso in questo intervallo, cioè tra lo spazio costituito dalla differenza tra il massimo e il minimo.
Esso sarà quindi il suo errore assoluto.
quindi se f'(A) e circa uguale a f'(B) allora, essendo la funzione monotona crescente o descrescente anche tutti i punti appartenenti a questo intervallo avranno una pendenza che non si discosta troppo dalla pendenza degli estremi e quindi l'errore commesso nel trovare lo zero sarà minore in quanto varia meno la differenza tra massimo e minimo.
se prendiamo intervalli sempre più piccoli allora la differenza si assottiglieà sempre di più rendendo il risultato più preciso.
ora è più attendibile il mio metodo?---nel caso dove ho sbagliato tanto?
beh la dimostrazione potrei provarci.. anzi è il passo successivo, prima volevo vedere se funzionava, chiedendo a voi...
x ora è solo diciamo una "congettura"...
cmq se nn distano troppo i valori delle derivate (rapporti 1:10, 1:20) è comodo cm metodo... devi avere diciamo culo ehehehe
scherzo...xò cm metodo funziona... poi che sia scomodo o no dipende dai casi a mio parere... insomma cmq mi pare di capire che nn ti piaccia più di tanto ehehe
va beh tanto è nato cm una serata che nn avevo niente da fare.. però è soddisfacente.. roa penso un pò a come motivare questo fatto in modo più formale, cm mi dicevi
ciao e grazie delle risposte.. se qualcun altro vuole smontare in altro modo è ben accolto eheh
x ora è solo diciamo una "congettura"...
cmq se nn distano troppo i valori delle derivate (rapporti 1:10, 1:20) è comodo cm metodo... devi avere diciamo culo ehehehe
scherzo...xò cm metodo funziona... poi che sia scomodo o no dipende dai casi a mio parere... insomma cmq mi pare di capire che nn ti piaccia più di tanto ehehe
va beh tanto è nato cm una serata che nn avevo niente da fare.. però è soddisfacente.. roa penso un pò a come motivare questo fatto in modo più formale, cm mi dicevi
ciao e grazie delle risposte.. se qualcun altro vuole smontare in altro modo è ben accolto eheh
Beh se restringi sempre di più l'intervallo considerato in un intorno dello zero della funzione allora deve tronarti per forza un valore molto vicino a quest'ultimo e questo grazie alla continuità della funzione.
Nel caso della funzione $y=logx$ il lavoro viene semplice perchè già sappiamo che $1$ è uno zero e quindi viene semplice andare a pescare l'intervallo dove fare i calcoli; non a caso hai considerato [0.1, 1.1]. Invece metti che ti trovi ad avere a che fare con una funzione magari complicata di cui non conosci a priori gli zeri...come fai? Dovresti metterti a calcolare un sacco di derivate e intersezioni e perderesti molto tempo. Inoltre un buon metodo di approssimazione degli zeri prevede anche la determinazione di una maggiorazione dell'errore e una opportuna dimostrazione matematica che nel tuo caso non ci sono.
Quello che dici sicuramente è vero, però non credo possa andare bene come metodo di approssimazione degli zeri.
Nel caso della funzione $y=logx$ il lavoro viene semplice perchè già sappiamo che $1$ è uno zero e quindi viene semplice andare a pescare l'intervallo dove fare i calcoli; non a caso hai considerato [0.1, 1.1]. Invece metti che ti trovi ad avere a che fare con una funzione magari complicata di cui non conosci a priori gli zeri...come fai? Dovresti metterti a calcolare un sacco di derivate e intersezioni e perderesti molto tempo. Inoltre un buon metodo di approssimazione degli zeri prevede anche la determinazione di una maggiorazione dell'errore e una opportuna dimostrazione matematica che nel tuo caso non ci sono.
Quello che dici sicuramente è vero, però non credo possa andare bene come metodo di approssimazione degli zeri.
se prendo quindi in esame l'intervallo [0.1,1.1] della funzione $y=lnx$, per cui la derivata $y'=1/x$, $f'(A)=1/(0.1)=10$, mentre $f'(B)=1/(1.1)=0.90909090...=(90)/(99)$
quindi $f(A)=ln(0.1)=-2,3$ mentre $f(B)=ln(1.1)=0,095$
la retta passante per AB avrà equazione $(x-(1)/(10))/((11)/(10)-(1)/(10))=(y+(23)/(10))/((95)/(1000)+(23)/(10))
che a conti fatti taglia l'asse delle x nel punto $x=(5041)/(4790)=1,05
è il punto approssimato mi pare anche bene e i valori delle derivate noti che nn differiscono troppo.
se guardiamo nel tuo intervallo una derivata vale 10 (in 0.1) l'altra vale 1/100=0,01 (in 100) la differenza è enorme, infatti se facciamo passare la retta per questi due punti troviamo che
$A(1/(10),(-23)/10))$ e $B(100,(46)/(10))$
la retta avrà quindi equazione $(x-(1)/(10))/(100-(1)/(10))=(y+(23)/(10))/((46)/(10)+(23)/(10))
taglia le ascisse in $x=(167)/5=33,4$
però possiamo notere che nel primo caso la differenza tra i valori delle pendenze era circa 1:10, questo è 1:1000!!!!!!
quindi se prima c'era un errore ridotto, visto che non differivano di troppo, qua è azzardabile un errore del 100% in quanto la differenza tra le due derivate è troppo elevata!
non concordi?
quindi $f(A)=ln(0.1)=-2,3$ mentre $f(B)=ln(1.1)=0,095$
la retta passante per AB avrà equazione $(x-(1)/(10))/((11)/(10)-(1)/(10))=(y+(23)/(10))/((95)/(1000)+(23)/(10))
che a conti fatti taglia l'asse delle x nel punto $x=(5041)/(4790)=1,05
è il punto approssimato mi pare anche bene e i valori delle derivate noti che nn differiscono troppo.
se guardiamo nel tuo intervallo una derivata vale 10 (in 0.1) l'altra vale 1/100=0,01 (in 100) la differenza è enorme, infatti se facciamo passare la retta per questi due punti troviamo che
$A(1/(10),(-23)/10))$ e $B(100,(46)/(10))$
la retta avrà quindi equazione $(x-(1)/(10))/(100-(1)/(10))=(y+(23)/(10))/((46)/(10)+(23)/(10))
taglia le ascisse in $x=(167)/5=33,4$
però possiamo notere che nel primo caso la differenza tra i valori delle pendenze era circa 1:10, questo è 1:1000!!!!!!
quindi se prima c'era un errore ridotto, visto che non differivano di troppo, qua è azzardabile un errore del 100% in quanto la differenza tra le due derivate è troppo elevata!
non concordi?
Hp: la funzione deve essere continua in un intervallo [A,B] e derivabile in [A,B]. Inoltre in questo intervallo deve contenere solo uno zero (essere quindi monotona crescente o decrescente).
I valori delle derivate agli estremi dell'intervallo non devono essere molto discostanti tra loro (più sono simili maggiore è l'approssimazione).
ts: la retta passante per i punti A(a,f(a)) e B(b,f(b)), dove A e B sono gli estremi dell'intervallo, intersecherà le ascisse nel punto $X_0$ che sarà anche un'approssimazione di dove la curva taglia a sua volta l'asse delle ascisse.
certamente se si fa passare la retta per i due punti essa sarà tanto più vicina all'$X_0$ della funzione quanto è più simile il valore delle derivate.
(ora è scritto un pò meglio, prima avevo messo pezzi dell'ipotesi nella tesi(nel punto tre))...
spero si capisca di più ora...
I valori delle derivate agli estremi dell'intervallo non devono essere molto discostanti tra loro (più sono simili maggiore è l'approssimazione).
ts: la retta passante per i punti A(a,f(a)) e B(b,f(b)), dove A e B sono gli estremi dell'intervallo, intersecherà le ascisse nel punto $X_0$ che sarà anche un'approssimazione di dove la curva taglia a sua volta l'asse delle ascisse.
certamente se si fa passare la retta per i due punti essa sarà tanto più vicina all'$X_0$ della funzione quanto è più simile il valore delle derivate.
(ora è scritto un pò meglio, prima avevo messo pezzi dell'ipotesi nella tesi(nel punto tre))...
spero si capisca di più ora...
infatti le pendenze della curva nel punto 0,1 e nel punto 100 son completamente diverse, allora seguendo il punto 3 si ha che devi prendere un intervallo [d,c] sottoinsieme di [a,b] per cui i valori delle derivate agli estremi nn sia così diversi, nel tuo esempio una derivata è quasi 90° mentre l'altra tende a zero a momenti (ho esagerato, ma la differenza è quaesta)...
quindi...
forse se riscrivo in maniera più formalmente corretta è meglio (anche se ho molti impedimenti a questo)
quindi...
forse se riscrivo in maniera più formalmente corretta è meglio
(anche se ho molti impedimenti a questo)
Non penso possa andare bene. Ad esempio se consideri $y=logx$ in un intervallo come $[0.1, 100]$ si vede che essa soddisfa le ipotesi del tuo teorema ma l'intersezione della retta passante per i due punti in esame è ben lontana dall'essere una seppur modesta approssiamazione dello zero della funzione. Inoltre quello che scrivi è molto approssimativo...cerca di essere un pò più formale
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