Uguaglianze goniometriche
Qualche tempo fa ho chiesto un aiuto per dimostrare le seguenti uguaglianze goniometriche,
1) cos(2*pi/7) + cos(4*pi/7) + cos(6*pi/7) = -1/2;
2) cos(pi/7)*cos(3*pi/7) = cos(11*pi/42)*cos(17*pi/42);
3) cos(pi/(2n+1))*cos(2*pi/(2n+1))*...*cos(n*pi/(2n+1)) = (1/2)^n, per ogni n intero positivo.
Nel frattempo mi sono dato delle risposte.
La 1) si può dimostrare utilizzando le formule di prostaferesi all'espressione,
cos(0)+ cos(2*pi/7) + cos(4*pi/7) + cos(6*pi/7)
e applicando al prodotto di coseni che ne deriva, la formula,
cos(a)*cos(2a)*cos(4a) = (sen(8a))/(8sen(a)).
La 2) è equivalente alla 1): basta applicare le formule di Werner.
Un tentativo di risolvere la 3) può essere quello di riordinare in gruppi i fattori al primo membro in modo da poter applicare più volte la formula,
cos(a)*cos(2a)*...*cos((2^k)a) = (sen (2^(k+1)a) )/( 2^(k+1) sen(a) ).
Come invece si potrebbe dimostrare l'uguglianza goniometrica,
4) cos(2*pi/(2n+1))+cos(4*pi/(2n+1))+...+cos(2n*pi/(2n+1)) = -1/2, per ogni n intero positivo?
Modificato da - angelo il 14/05/2003 11:31:54
1) cos(2*pi/7) + cos(4*pi/7) + cos(6*pi/7) = -1/2;
2) cos(pi/7)*cos(3*pi/7) = cos(11*pi/42)*cos(17*pi/42);
3) cos(pi/(2n+1))*cos(2*pi/(2n+1))*...*cos(n*pi/(2n+1)) = (1/2)^n, per ogni n intero positivo.
Nel frattempo mi sono dato delle risposte.
La 1) si può dimostrare utilizzando le formule di prostaferesi all'espressione,
cos(0)+ cos(2*pi/7) + cos(4*pi/7) + cos(6*pi/7)
e applicando al prodotto di coseni che ne deriva, la formula,
cos(a)*cos(2a)*cos(4a) = (sen(8a))/(8sen(a)).
La 2) è equivalente alla 1): basta applicare le formule di Werner.
Un tentativo di risolvere la 3) può essere quello di riordinare in gruppi i fattori al primo membro in modo da poter applicare più volte la formula,
cos(a)*cos(2a)*...*cos((2^k)a) = (sen (2^(k+1)a) )/( 2^(k+1) sen(a) ).
Come invece si potrebbe dimostrare l'uguglianza goniometrica,
4) cos(2*pi/(2n+1))+cos(4*pi/(2n+1))+...+cos(2n*pi/(2n+1)) = -1/2, per ogni n intero positivo?
Modificato da - angelo il 14/05/2003 11:31:54
Risposte
Grazie mille per le risposte date.
Molto elegante la dimostrazione di lupo grigio, anche se credo sarebbe più divertente provare a trovarne una che utilizza solo formule goniometriche classiche.
Quando ho detto che f(n) non è una funzione, ma una successione, ovviamente intendevo dire che f(n) non è una funzione definita in un intervallo dell'asse reale.
D'altra parte le successioni vengono definite come funzioni da N in R o in C.
Angelo
Molto elegante la dimostrazione di lupo grigio, anche se credo sarebbe più divertente provare a trovarne una che utilizza solo formule goniometriche classiche.
Quando ho detto che f(n) non è una funzione, ma una successione, ovviamente intendevo dire che f(n) non è una funzione definita in un intervallo dell'asse reale.
D'altra parte le successioni vengono definite come funzioni da N in R o in C.
Angelo
L'output della tua immagine gif non va; proviamo con:
Questa funziona ed è in formato jpg, il che dovrebbe significare che le immagini sul forum possono essere visualizzate solo se in formato jpg... Ma a questo punto mi domando come abbia fatto lupo grigio...
ciao
fireball
Modificato da - fireball il 16/05/2003 22:51:46
Questa funziona ed è in formato jpg, il che dovrebbe significare che le immagini sul forum possono essere visualizzate solo se in formato jpg... Ma a questo punto mi domando come abbia fatto lupo grigio...
ciao
fireball
Modificato da - fireball il 16/05/2003 22:51:46
Grazie fire! Dovrei avere un vecchio sito su xoom... lo sfrutterò!
ciao!
goblyn
ciao!
goblyn
Si, l'immagine dev'essere online, non puoi inserire immagini sul tuo pc. Ti conviene crearti uno spazio web, ad esempio con XOOM! La registrazione è totalmente gratis e per di più lo spazio web è illimitato! Una volta creato il tuo spazio web, puoi entrarvi via FTP e inserire tutto ciò che vuoi illimitatamente, incluse immagini!! Inutile dire che lo spazio web serve fondamentalmente a fare siti, comunque puoi usarlo anche come "archivio online" dei tuoi files, ripeto per di più anche illimitato!!
ciao
fireball
ciao
fireball
x lupo
A proposito di figurine, l'immagine che hai usato dev'essere on-line da qualche parte se no non viene visualizzata, giusto? Non posso usare immagini che ho sul mio PC? Ovvero, quella che viene visualizzata non è una copia ma è l'immagine originale?
A proposito di figurine, l'immagine che hai usato dev'essere on-line da qualche parte se no non viene visualizzata, giusto? Non posso usare immagini che ho sul mio PC? Ovvero, quella che viene visualizzata non è una copia ma è l'immagine originale?
Bella la figurina in fondo... 
...e molto elegante la dimostrazione! L'idea di collegare i termini della sommatoria alle radici dell'unità mi è piaciuta proprio.
Angelo però preferiva una dimostrazione senza numeri complessi, per questo stiamo cercando un'altra strada!
ciao lupo!
...e molto elegante la dimostrazione! L'idea di collegare i termini della sommatoria alle radici dell'unità mi è piaciuta proprio.
Angelo però preferiva una dimostrazione senza numeri complessi, per questo stiamo cercando un'altra strada!
ciao lupo!
cari amici
se ho ben capito il quesito posto all’inizio da Angelo era il seguente: come si può dimostrare che vale la relazione…
cos[2*pi/(2n+1)]+cos[4*pi/(2n+1)]+...+cos[2n*pi/(2n+1)] = -1/2 [1]
per ogni n intero positivo?…
Il metodo apparentemente più semplice, anche se probabilmente non l'unico, potrebbe partire dalla soluzione dell’equazione algebrica di grado 2n+1…
x^(2n+1) -1 = 0 [2]
… la quale, come è noto, ammette come soluzioni le radici di ordine 2n+1 dell’unità…
ak = e^[j*2*pi*k/(2n+1)] k= 0,1,…,2n [3]
La conoscenza delle radici consente di fattorializzare il polinomio che compare nella [2] scrivendo…
x^(2n+1) –1 = (x-ao)*(x-a1)*…*(x-a2n) [4]
Se in questo polinomio andiamo a calcolare il coefficiente del termine x^2n, che sappiamo essere nullo, otteniamo la relazione…
Sum [0<=k<=2n] e^[j*2*pi*k/(2n+1)] = 1 + Sum [1<=k<=n] 2*cos [2*pi*k/(2n+1)] = 0 [5]
… la quale ovviamente è equivalente alla [1], la cui validità si voleva dimostrare.
cordiali saluti
lupo grigio
se ho ben capito il quesito posto all’inizio da Angelo era il seguente: come si può dimostrare che vale la relazione…
cos[2*pi/(2n+1)]+cos[4*pi/(2n+1)]+...+cos[2n*pi/(2n+1)] = -1/2 [1]
per ogni n intero positivo?…
Il metodo apparentemente più semplice, anche se probabilmente non l'unico, potrebbe partire dalla soluzione dell’equazione algebrica di grado 2n+1…
x^(2n+1) -1 = 0 [2]
… la quale, come è noto, ammette come soluzioni le radici di ordine 2n+1 dell’unità…
ak = e^[j*2*pi*k/(2n+1)] k= 0,1,…,2n [3]
La conoscenza delle radici consente di fattorializzare il polinomio che compare nella [2] scrivendo…
x^(2n+1) –1 = (x-ao)*(x-a1)*…*(x-a2n) [4]
Se in questo polinomio andiamo a calcolare il coefficiente del termine x^2n, che sappiamo essere nullo, otteniamo la relazione…
Sum [0<=k<=2n] e^[j*2*pi*k/(2n+1)] = 1 + Sum [1<=k<=n] 2*cos [2*pi*k/(2n+1)] = 0 [5]
… la quale ovviamente è equivalente alla [1], la cui validità si voleva dimostrare.
cordiali saluti
lupo grigio
Per essere una funzione... lo è! Associa ad ogni elemento di N un elemento di R (in questo caso addirittura di Z). Inoltre ad ogni elemento del dominio (N) corrisponde uno ed un sol elemento del codominio (Z). Il dominio è composto da punti isolati e quindi come dici tu non ha senso parlare di calcolo differenziale.
Però si può analizzare il comportamento di f(n+1)-f(n) e cercare di dimostare che vale 0 per ogni n. Dimostrare che f(n) è costante sarebbe molto elegante, ma in effetti mi sembra un po' incasinato...
A presto... magari con la dimostrazione!
ciao
Però si può analizzare il comportamento di f(n+1)-f(n) e cercare di dimostare che vale 0 per ogni n. Dimostrare che f(n) è costante sarebbe molto elegante, ma in effetti mi sembra un po' incasinato...
A presto... magari con la dimostrazione!
ciao
goblyn
E' vero, anzi quella formula è valida per ogni x elemento di un campo K con x diverso da 1 ( dove 1 è l'elemento "unità" di K ).
f(n)=S[k=1;n] cos( 2k*pi/(2n+1) ) sfortunatamente non è una funzione, ma una successione, di conseguenza la dimostrazione della costanza non è così semplice, certamente non si può utilizzare la scorciatoia del calcolo differenziale.
Angelo
f(n)=S[k=1;n] cos( 2k*pi/(2n+1) ) sfortunatamente non è una funzione, ma una successione, di conseguenza la dimostrazione della costanza non è così semplice, certamente non si può utilizzare la scorciatoia del calcolo differenziale.
Angelo
Sì hai ragione. Anzi, quella formula è valida per ogni z complesso (infatti io l'ho utilizzata così). Scusa la svista!
Per quanto riguarda gli esponenziali... non c'è una regola generale, dipende dai casi!
Non ho ancora avuto modo di pensare ad una dimostrazione alternativa... ma ti do uno spunto: se si riesce a dimostrare che la funzione f(n)=S[k=1;n] cos( 2k*pi/(2n+1) ) è costante allora è anche pari a f(1)=-1/2...
Per quanto riguarda gli esponenziali... non c'è una regola generale, dipende dai casi!
Non ho ancora avuto modo di pensare ad una dimostrazione alternativa... ma ti do uno spunto: se si riesce a dimostrare che la funzione f(n)=S[k=1;n] cos( 2k*pi/(2n+1) ) è costante allora è anche pari a f(1)=-1/2...
Apprezzo molto il tuo interessamento e ti ringrazio per le tue risposte.
Vorrei solo fare due considerazioni.
1) La formula,
S[k=0;n](x^k) = (1-x^(k+1)) / (1-x)
trattandosi di una sommatoria finita, è valida per ogni x diverso da 1, anche per x>1 e per x<=-1.
2) L'utilizzo degli esponenziali complessi sembra essere utile solo quando ci sono espressioni goniometriche costiuite da somme o differenze, ma quando ci sono prodotti come nel caso della terza uguaglianza pare che anche gli esponenziali complessi non siano così utili.
Angelo
Vorrei solo fare due considerazioni.
1) La formula,
S[k=0;n](x^k) = (1-x^(k+1)) / (1-x)
trattandosi di una sommatoria finita, è valida per ogni x diverso da 1, anche per x>1 e per x<=-1.
2) L'utilizzo degli esponenziali complessi sembra essere utile solo quando ci sono espressioni goniometriche costiuite da somme o differenze, ma quando ci sono prodotti come nel caso della terza uguaglianza pare che anche gli esponenziali complessi non siano così utili.
Angelo
Ho utilizzato gli esponenziali complessi per poter utilizzare la formula
S[k=0;n](x^k) = (1-x^(k+1)) / (1-x) se |x|<1
Intendeva essere un suggerimento per dimostrare anche le altre uguaglianze! In generale questo procedimento è molto utile in casi più complessi. Ovviamente ogni problema, per le sue peculiarità, presenta una o più scorciatoie (come quella che hai delineato tu)!
Ad esempio, per dimostrare la 4) (nuova versione), tale procedimento è applicabile e porta ad una soluzione immediata. Lo scotto da pagare è l'introduzione dei numeri complessi.
Comunque ora ci penso!
ciao
Intendeva essere un suggerimento per dimostrare anche le altre uguaglianze! In generale questo procedimento è molto utile in casi più complessi. Ovviamente ogni problema, per le sue peculiarità, presenta una o più scorciatoie (come quella che hai delineato tu)!
Ad esempio, per dimostrare la 4) (nuova versione), tale procedimento è applicabile e porta ad una soluzione immediata. Lo scotto da pagare è l'introduzione dei numeri complessi.
Comunque ora ci penso!
ciao
Goblin hai perfettamente ragione, infatti l'uguaglianza che intendevo scrivere era la seguente,
4) cos(2*pi/(2n+1))+cos(4*pi/(2n+1))+...+cos(2n*pi/(2n+1)) = -1/2, per ogni n intero positivo.
A causa dell'utilizzo di copia-incolla non mi sono accorto di aver scritto un'altra cosa.
Ma in ogni caso, se fosse stata quell'altra l'uguaglianza da dimostrare, non era necessario scomodare gli esponenziali complessi, visto che il primo e l'ultimo coseno hanno gli argomenti supplementari, il secondo e il penultimo pure e così via ( a due a due i coseni si eliderebbero ottenendo come risultato della sommatoria 0).
Io comunque, se possibile, preferirei una dimostrazione della 4) che utilizzi solo formule goniometriche "elementari".
Angelo
4) cos(2*pi/(2n+1))+cos(4*pi/(2n+1))+...+cos(2n*pi/(2n+1)) = -1/2, per ogni n intero positivo.
A causa dell'utilizzo di copia-incolla non mi sono accorto di aver scritto un'altra cosa.
Ma in ogni caso, se fosse stata quell'altra l'uguaglianza da dimostrare, non era necessario scomodare gli esponenziali complessi, visto che il primo e l'ultimo coseno hanno gli argomenti supplementari, il secondo e il penultimo pure e così via ( a due a due i coseni si eliderebbero ottenendo come risultato della sommatoria 0).
Io comunque, se possibile, preferirei una dimostrazione della 4) che utilizzi solo formule goniometriche "elementari".
Angelo
Ciao Angelo.
Formule utili:
cos(x) = 1/2*(exp(jx)+exp(-jx))
sin(x) = 1/(2j)*(exp(jx)-exp(-jx))
S[k=0;n](x^k) = (1-x^(k+1)) / (1-x) se |x|<1
dove S[k=0;n] sta per sommatoria su k che va da 0 a n.
Osserviamo che la 4) può essere scritta come segue:
S[k=1;2n] cos( k*pi/(2n+1) )
Se scriviamo i coseni come esponenziali complessi e operiamo la sostituzione:
q=exp(j*pi/(2n+1))
la nostra sommatoria diventa:
1/2 * ( S[k=1;2n] (q^k) + S[k=1;2n] (q^(-k)) )
Ora calcoliamo separatamente le due sommatorie:
S[k=1;2n] (q^k) = S[k=0;2n] (q^k) - 1 =
=(1-q^(2n+1))/(1-q) - 1
S[k=1;2n] (q^(-k)) = S[k=0;2n] (q^(-k)) - 1 =
=(1-q^(-2n-1))/(1-1/q) - 1
Ora:
q^(2n+1)=exp(j*pi)=-1
q^(-2n-1)=exp(-j*pi)=-1
Quindi le due sommatorie (S1 e S2) varranno rispettivamente:
S1 = 2/(1-q) - 1
S2 = 2/(1-1/q) - 1
Si ottiene quindi S1+S2=0 e quindi anche
S[k=1;2n] cos( k*pi/(2n+1) ) = 0
e non 1/2.
Ad es.:
n=1
cos(pi/3)+cos(2*pi/3) = 1/2 - 1/2 = 0
Se le sommatorie le estendiamo da 0 a 2n (e non da 1 a 2n) invece le cose cambiano. In questo caso, della sommatoria, sopravvive solo il termine con k=0, e quindi il risultato è 1!
Ciao!
Modificato da - goblyn il 14/05/2003 10:58:22
Modificato da - goblyn il 14/05/2003 11:00:43
Formule utili:
sin(x) = 1/(2j)*(exp(jx)-exp(-jx))
S[k=0;n](x^k) = (1-x^(k+1)) / (1-x) se |x|<1
dove S[k=0;n] sta per sommatoria su k che va da 0 a n.
Osserviamo che la 4) può essere scritta come segue:
Se scriviamo i coseni come esponenziali complessi e operiamo la sostituzione:
la nostra sommatoria diventa:
Ora calcoliamo separatamente le due sommatorie:
=(1-q^(2n+1))/(1-q) - 1
S[k=1;2n] (q^(-k)) = S[k=0;2n] (q^(-k)) - 1 =
=(1-q^(-2n-1))/(1-1/q) - 1
Ora:
q^(-2n-1)=exp(-j*pi)=-1
Quindi le due sommatorie (S1 e S2) varranno rispettivamente:
S2 = 2/(1-1/q) - 1
Si ottiene quindi S1+S2=0 e quindi anche
e non 1/2.
Ad es.:
cos(pi/3)+cos(2*pi/3) = 1/2 - 1/2 = 0
Se le sommatorie le estendiamo da 0 a 2n (e non da 1 a 2n) invece le cose cambiano. In questo caso, della sommatoria, sopravvive solo il termine con k=0, e quindi il risultato è 1!
Ciao!
goblyn
Modificato da - goblyn il 14/05/2003 10:58:22
Modificato da - goblyn il 14/05/2003 11:00:43
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