Triangolo rettangolo.

[Lord K]

Osserviamo la segente costruzione.

Siano AB e BC due segmenti di lunghezza fissata formanti nel punto B un angolo di 90 gradi. Vogliamo calcolare il segmento che congiunge A e C. Ci vengono proposti due procedimenti:

1) Il primo è il consueto teorema di pitagora che ci porta al valore usuale che soddisfa $AC^2=AB^2+BC^2$

2) Il secondo è il seguente. Si costruisca il rettangolo ABCD doppio del triangolo ABC. Si trovi il punto E come punto di incrocio tra la mediana di AD e quella di CD. Si consideri il poligono (a forma di scala) formato dal rettangolo tolto del rettangolo più piccolo di spigoli E e D. Si ridenominino gli altri spigoli come F e G. Si proceda anlogamente con i rettangoli formati da A, F, E e la parallela di AF e poi con il rettangolo E, G, C e la parallela a GC passante per E.

La forma che si viene piano piano a creare è una scala con gradini via via più piccoli la cui lunghezza (per costruzione) è sempre AB+BC. Se facciamo tendere il limite di questa suddivisione all'infinito ottengo esattamente AC con lunghezza pari esattamente ad AB+BC, mi sapete dire per quale ragione???? (Io non ne ho idea!)

Grazie a tutti i commentatori in anticipo!

[gugo82]

Un po' di Analisi II potrebbe bastare per risolvere questo enigma.

La lunghezza di una curva regolare a tratti $Gamma$, parametrizzata da $(x(t),y(t))$ sull'intervallo $[a,b]$, è data dal valore dell'integrale $\mathcal{L}(Gamma)=\int_a^b sqrt(x'^2(t)+y'^2(t))" d"t$; questa espressione restituisce la più nota $\mathcal{L}(f)=\int_a^b sqrt(1+f'^2(x))" d"x$ se la curva $Gamma$ è il grafico della funzione $f:[a,b]to RR$.

Supponiamo per semplicità che $AB=BC=sqrt2$.
Con una rotazione, possiamo immaginare che il segmento $AC$ sia parallelo all'asse $x$, di modo che essa sia il grafico della funzione costante $f(x)=1$ in $[-1,1]$, e che la "scala" al passo $n$-esimo sia il grafico di una funzione $f_n$ composta da un numero finito, ma crescente con $n$, di "gradini" ognuno con i lati paralleli ad una delle bisettrici (si ottiene una figura a "dente di sega").
La successione di funzioni $f_n$ tende uniformemente alla funzione costante $f$ (questo si può vedere anche graficamente), però la successione delle derivate $f'_n$ non converge uniformemente alla funzione nulla $f'=0$: infatti nelle ipotesi in cui siamo ogni funzione $f'_n$ è costante a tratti ed assume unicamente i valori $pm 1$, perciò $"sup"|f'_n-f'|="sup"|f'_n|=1$. Ad esempio in figura sono mostrati i grafici di $f_2, f'_2$ e di $f_3,f'_3$ (le derivate in sono in rosso):
[asvg]xmin=-2;
xmax=2;
ymin=-2;
ymax=2;
axes("labels","grid");
line([-1,1],[-0.5,1.5]);
line([-0.5,1.5],[0,1]);
line([0,1],[0.5,1.5]);
line([0.5,1.5],[1,1]);
stroke="red";
line([-1,1],[-0.5,1]);
line([-0.5,-1],[0,-1]);
line([0,1],[0.5,1]);
line([0.5,-1],[1,-1]);[/asvg]

[asvg]xmin=-2;
xmax=2;
ymin=-2;
ymax=2;
axes("labels","grid");
line([-1,1],[-0.75,1.25]);
line([-0.75,1.25],[-0.5,1]);
line([-0.5,1],[-0.25,1.25]);
line([-0.25,1.25],[0,1]);
line([0.25,1.25],[0,1]);
line([0.5,1],[0.25,1.25]);
line([0.75,1.25],[0.5,1]);
line([1,1],[0.75,1.25]);
stroke="red";
line([-1,1],[-0.75,1]);
line([-0.75,-1],[-0.5,-1]);
line([-0.5,1],[-0.25,1]);
line([-0.25,-1],[0,-1]);
line([0.25,1],[0,1]);
line([0.5,-1],[0.25,-1]);
line([0.75,1],[0.5,1]);
line([1,-1],[0.75,-1]);[/asvg]
Ora, data la formula di $\mathcal{L}(f)$, affinchè si possa scrivere $\mathcal{L}(f)=lim_(n to +oo)\mathcal{L}(f_n)$ in tutta sicurezza dovremmo avere convergenza uniforme di $f'_n$ verso $f'=0$, cosa che come detto non accade affatto; pertanto è del tutto lecito che la lunghezza della linea $AC$ sia distinta dal limite delle spezzate che la approssimano.

Mi rendo conto che non è proprio il massimo della correttezza, ma rende l'idea del perchè le due lunghezze siano diverse.

[mickey88]

L'uguaglianza che ho scritto io, cioè $a/n+b/n=sqrt((a/n)^2+(b/n)^2)$ non è un'uguaglianza tout curt, ma si riferisce ai limiti delle due espressioni per $n->oo$ come c'è scritto nella riga precedente. Entrambi i limiti, infatti, valgono zero. Il problema è sorto quando ho pensato di sommare quelle quantità e di riproporre l'identità dopo aver effettuato la somma, identità che, allora, non esiste più..

[ottusangolo]

Un saluto a tutti
Provo a farlo io,anche con conoscenze abbastanza limitate.Ovviamente l'uguaglianza proposta da Mickey è assurda e spero l'abbia risparmiata al prof. in questione.Gli infinitesimi sono un qualcosa di molto delicato e non si possono eliminare a piacimento.L'ordine di infinitesimo ha la sua importanza;anche"qualcosa" di molto piccolo sommata infinite volte può diventare fastidiosamente grande.Quindi $(a/n + b/n)^2 =(a/n)^2 + (b/n)^2 +2ab/n^2$ anche per n molto grande.Altrimenti se fosse lecito trascurare il termine in ab,perchè non trascurare invece quello in a^2 o in b^2 ?
L'apparente paradosso sta proprio in questo tipo di errore concettuale che poi è quello che implicitamente ha fatto Lord K quando dice "ottengo esattamente C" che è una sensazione visiva più che un'affermazione matematica.
Entrando più nello specifico.Data una curva piana (la diagonale, nel nostro caso) se ne voglia calcolare la lunghezza.Si scelga allora un verso di percorrenza e si fissino n punti consecutivi sulla curva.L'idea è quella di trovare una curva di lunghezza nota passante per i suddetti punti ed iterare il procedimento,aumentando via via il numero di punti,e ottenendo cosi una successione di curve.Ovvio però che questa successione non deve essere di curve a caso ma tendente a "coincidere"con la curva che si vuole misurare.Ma cosa vuol dire coincidere?Quali curve vanno bene per approsimare con errore piccolo a piacere la nostra curva?
Ce lo dice la metrica.Se la lunghezza della nostra diagonale è misurata col teorema di pitagora è implicito che siamo in metrica euclidea ( ds^2=dx^2 +dy^2) e la poligonale va bene,la curva a scalino di Lord k,no.Notiamo che la poligonale nella metrica euclidea è la curva più breve che unisce gli n punti consecutivamente. E se cambiamo metrica ? Prendiamo la metrica data da
ds=|dx|+|dy|.In questa metrica è come se la struttura fine dello spazio fosse a reticolato,cioè sono permessi a livello infinitesimale solo spostamenti in orizzontale e in verticale.Allora le cose sono esattamente all'opposto.La curva a scalini approssima bene la diagonale del rettangolo e notiamo che tale curva è proprio quella più breve che unisce n punti consecutivamente.Fine del paradosso.Nella metrica euclidea la diagonale misura così radice di (a^2 + b^2) sia calcolando direttamente o per approssimazioni successive (con poligonali ),nella seconda metrica la diagonale misura a+b, sia calcolandola direttamente,sia per approssimazioni successive (con le curve a scalino).

[mickey88]

Ciao!
Non essendo convinto della correttezza di quanto ho scritto nel post precedente, ho chiesto un parere al mio professore , che mi ha spiegato che il ragionamento che ho fatto non è corretto.
Mi ha anche spiegato dove sta la soluzione della contraddizione, e cioè che se data una curva di una certa lunghezza, noi la approssimiamo con un'altra, non è detto che anche la lunghezza di quest'ultima approssimi la lunghezza della curva data. Ciò è dovuto (pare) al fatto che esiste una funzione che ad ogni curva (di un certo tipo) associa la sua lunghezza e che tale funzione non è continua. Non ho però le conoscenze necessarie per capire bene questa affermazione, quindi sarebbe meglio se lo facesse qualcuno che ha conoscenze più avanzate
Ciao

[mickey88]

Provo a dare una risposta, che ho pensato andando un po' a naso..
Supponiamo di chiamare i nostri cateti $a$ e $b$, e di iterare il processo che Lord K ha presentato $n$ volte. La nostra ipotenusa, quindi, è approssimata da $n$ coppie di segmenti del tipo $(a/n,b/n)$. Sembrerebbe dunque che, al limite, la nostra ipotenusa debba misurare $n(a/n+b/n)$ e quindi $a+b$, mentre ci aspettavamo che misurasse $sqrt(a^2+b^2)$.
Se però consideriamo il fatto che tutte le coppie di segmenti suddette, originano altrettanti piccoli trinagoli rettangoli, per $n->oo$ i cateti di misure $(a/n,b/n)$ "si riducono" a punti, "coincidendo" con le ipotenuse dei triangoli di cui sono cateti e quindi: $a/n+b/n=sqrt((a/n)^2+(b/n)^2)$. infine sommando otteniamo $sqrt(a^2+b^2)$
Che ne pensate?