Trasformazioni di Hankel: chi ne sa qualcosa?
Ragazzi un amico mi chiede notizie su trasformata di Hankel, bibliografia ed applicazioni.
Sapete qualcosa? mi e' completamente ignota. basterebbero anche solo titoli di libri, poi ci pensa da solo.
grazie
Rowena
Sapete qualcosa? mi e' completamente ignota. basterebbero anche solo titoli di libri, poi ci pensa da solo.
grazie
Rowena
Risposte
"lupo grigio":
cara Rowena
apprezzo assai la ‘cortesia’ da te mostrata nei confronti di quel ‘tale’ che ti ha invitato a ‘non far perdere tempo a lui e ad altri’… Il fatto è che io al posto tuo avrei usato un linguaggio assai più ‘appropriato’ e cioè… vabbeh!, lasciamo perdere…
ti devo rispondere?
vabbé, lasciamo perdere
chi legge giudica, se vuole
cara Rowena
apprezzo assai la ‘cortesia’ da te mostrata nei confronti di quel ‘tale’ che ti ha invitato a ‘non far perdere tempo a lui e ad altri’… Il fatto è che io al posto tuo avrei usato un linguaggio assai più ‘appropriato’ e cioè… vabbeh!, lasciamo perdere…
Per ‘premiarti’ ti illustro un noto fenomeno fisico che può essere descritto in maniera elegante con la trasformata di Hankel. Un secolo e mezzo fa un tale Fresnel, il teorizzatore dell’ottica ondulatoria, ha caratterizzato per primo in maniera quantitativa la diffrazione luminosa prodotta da un foro circolare ‘sottile’ [ove per sottile si intende dell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda della luce impiegata nell’esperimento…]. Un tipi diagramma di diffrazione prodotto da un foro circolare è illustrato nella figura seguente…
Se lo schermo è posto ‘distante’ dall’apertura [al limite all’infinito…] è possibile dimostrare che il campo sullo schermo stesso è, a meno di un fattore costante, il modulo elevato al quadrato della trasformata di Fourier spaziale dell’apertura stessa. Ricordando la formula della Trasformata di Hankel…
$g(q)= 2*pi int_0^(+oo) f (r) * J_0((2*pi*q*r)*r*dr$ (1)
… nel nostro caso è…
$f(r) = 1$ per $rr_0$ (2)
Con semplici calcoli si trova dunque…
$g(q) = r_0/q*J_1(2*pi*q*r_0)$ (3)
… in cui $j_1(rho)$ e la funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1. A meno di un fattore di scala si ha che il campo luminoso sullo schermo ha una espressione del tipo…
$A(rho)= J_c^2(rho)$ (4)
… dove…
$J_c(x)= (J_1(x/2))/(x/2)$ (5)
Ricordando lo sviluppo il serie della funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1…
$J_1(x)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n * (x/2)^(2n+1)/(n!*(n+1)!)$ (6)
… si ricava…
$J_c(z)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*z^(2n+1)/(n!*(n+1)!)$ (7)
Il grafico della $J_c$ mostrato qui di seguito…
E’ una bella funzione, dello stesso genere della ormai celebre $sinc(x)=sin x/x$ la quale, cosa che nessuna persona di buon senso ormai dubita più, etc… etc…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
apprezzo assai la ‘cortesia’ da te mostrata nei confronti di quel ‘tale’ che ti ha invitato a ‘non far perdere tempo a lui e ad altri’… Il fatto è che io al posto tuo avrei usato un linguaggio assai più ‘appropriato’ e cioè… vabbeh!, lasciamo perdere…
Per ‘premiarti’ ti illustro un noto fenomeno fisico che può essere descritto in maniera elegante con la trasformata di Hankel. Un secolo e mezzo fa un tale Fresnel, il teorizzatore dell’ottica ondulatoria, ha caratterizzato per primo in maniera quantitativa la diffrazione luminosa prodotta da un foro circolare ‘sottile’ [ove per sottile si intende dell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda della luce impiegata nell’esperimento…]. Un tipi diagramma di diffrazione prodotto da un foro circolare è illustrato nella figura seguente…
Se lo schermo è posto ‘distante’ dall’apertura [al limite all’infinito…] è possibile dimostrare che il campo sullo schermo stesso è, a meno di un fattore costante, il modulo elevato al quadrato della trasformata di Fourier spaziale dell’apertura stessa. Ricordando la formula della Trasformata di Hankel…
$g(q)= 2*pi int_0^(+oo) f (r) * J_0((2*pi*q*r)*r*dr$ (1)
… nel nostro caso è…
$f(r) = 1$ per $r
Con semplici calcoli si trova dunque…
$g(q) = r_0/q*J_1(2*pi*q*r_0)$ (3)
… in cui $j_1(rho)$ e la funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1. A meno di un fattore di scala si ha che il campo luminoso sullo schermo ha una espressione del tipo…
$A(rho)= J_c^2(rho)$ (4)
… dove…
$J_c(x)= (J_1(x/2))/(x/2)$ (5)
Ricordando lo sviluppo il serie della funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1…
$J_1(x)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n * (x/2)^(2n+1)/(n!*(n+1)!)$ (6)
… si ricava…
$J_c(z)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*z^(2n+1)/(n!*(n+1)!)$ (7)
Il grafico della $J_c$ mostrato qui di seguito…
E’ una bella funzione, dello stesso genere della ormai celebre $sinc(x)=sin x/x$ la quale, cosa che nessuna persona di buon senso ormai dubita più, etc… etc…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
La tasformata di Hankel non è altro che un caso particolare di Trasformata di Fourier bidimensionale. Data una funzione di due variabili $f(x,y)$ radialmente simmetrica, ossia è …
$f(x,y)= f(rho)$ (1)
Grazie sei stato gentilissimo
"Fioravante Patrone":
carina, davvero
Mi sa che non ci siamo capiti, non l'ho detto con cattiveria
"Fioravante Patrone":
Evitavi perdite di tempo a Marco83 ed anche a me
Ok Marco83 può aver perso 10 secondi a cercare "hankel transform" su wikipedia, ma tu ne hai persi addirittura 20 a leggere il messaggio e a rispondere, come potro' ripagarvi?
Su ragazzi non c'e' bisogno di arrabbiarsi, mi avete equivocato.
Mi posso scusare per aver accidentalmente ripetuto il msg di risposta 2 volte ma siamo tra persone civili non c'e' bisogno di inalberarsi.
"Rowena":
Su Wikipedia ci so andare pure io (e anche lui)
carina, davvero
"Rowena":
Quello che volevo chiedere è: OLTRE A CIO' CHE SI TROVA SU WIKI, conoscete qualche libro che parli di questa trasformazione, e soprattutto delle sue applicazioni in modo da poterci fare 1 tesina?
se volevi chiedere questo, perché non l'hai detto subito?
faccio notare che nel primo post avevi detto: "mi e' completamente ignota"
Evitavi perdite di tempo a Marco83 ed anche a me
La tasformata di Hankel non è altro che un caso particolare di Trasformata di Fourier bidimensionale. Data una funzione di due variabili $f(x,y)$ radialmente simmetrica, ossia è …
$f(x,y)= f(rho)$ (1)
… in cui …
$rho=sqrt(x^2+y^2)$ (2)
…, allora la Trasformata di Fourier di $f(x,y)$ diviene 'Trasformata di Hankel'. Se indichiamo con $g(u,v)$ la trasformata di $f(x,y)$ è per definizione…
$g(u,v)= int_(-oo)^(+oo) int_(-oo)^(+oo) f(rho)*e^(-2*pi*(ux+vy))* dx*dy$ (3)
Con le sostituzioni…
$x+j*y= rho e^(j*theta)$
$u+j*v= q*e^(j*phi)$ (4)
… e un po’ di manipolazioni la (3) diviene…
$g(q)= 2*pi*int_0^(+oo) f(rho)* J_0 (2pi*q*rho)*rho*drho$ (5)
… in cui $J_0(z)$ è la funzione di Bessel di primo tipo di ordine $0$…
La (5) è utile [tra le tante altre cose…] in tutti i problemi di propagazione a ‘simmetria cilindrica’ [ossia ‘radialmente invarianti’] quali per esempio il campo irradiato da un’antenna omnidirezionale, la propagazione di un fascio luminoso in una fibra ottica, eccetera…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$f(x,y)= f(rho)$ (1)
… in cui …
$rho=sqrt(x^2+y^2)$ (2)
…, allora la Trasformata di Fourier di $f(x,y)$ diviene 'Trasformata di Hankel'. Se indichiamo con $g(u,v)$ la trasformata di $f(x,y)$ è per definizione…
$g(u,v)= int_(-oo)^(+oo) int_(-oo)^(+oo) f(rho)*e^(-2*pi*(ux+vy))* dx*dy$ (3)
Con le sostituzioni…
$x+j*y= rho e^(j*theta)$
$u+j*v= q*e^(j*phi)$ (4)
… e un po’ di manipolazioni la (3) diviene…
$g(q)= 2*pi*int_0^(+oo) f(rho)* J_0 (2pi*q*rho)*rho*drho$ (5)
… in cui $J_0(z)$ è la funzione di Bessel di primo tipo di ordine $0$…
La (5) è utile [tra le tante altre cose…] in tutti i problemi di propagazione a ‘simmetria cilindrica’ [ossia ‘radialmente invarianti’] quali per esempio il campo irradiato da un’antenna omnidirezionale, la propagazione di un fascio luminoso in una fibra ottica, eccetera…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Su Wikipedia ci so andare pure io (e anche lui)
Quello che volevo chiedere è: OLTRE A CIO' CHE SI TROVA SU WIKI, conoscete qualche libro che parli di questa trasformazione, e soprattutto delle sue applicazioni in modo da poterci fare 1 tesina?
Quello che volevo chiedere è: OLTRE A CIO' CHE SI TROVA SU WIKI, conoscete qualche libro che parli di questa trasformazione, e soprattutto delle sue applicazioni in modo da poterci fare 1 tesina?
Su Wikipedia ci so andare pure io (e anche lui)
Quello che volevo chiedere è: OLTRE A CIO' CHE SI TROVA SU WIKI, conoscete qualche libro che parli di questa trasformazione, e soprattutto delle sue applicazioni in modo da poterci fare 1 tesina?
Quello che volevo chiedere è: OLTRE A CIO' CHE SI TROVA SU WIKI, conoscete qualche libro che parli di questa trasformazione, e soprattutto delle sue applicazioni in modo da poterci fare 1 tesina?
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