Terne pitagoriche

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Mi scrive un insegnante di scuola media

"Egregio collega,
insegno matematica nelle scuole medie e una mia alunna molto intelligente ha notato che il prodotto dei primi due numeri di una terna pitagorica è sempre divisibibile per 6. Io sono solo un povero naturalista, ma la cosa mi ha intrigato, ho preso qualche centinaio di terne, le ho elaborate con excel e ho trovato che addirittura il prodotto dei primi due numeri di una terna pitagorica è sempre divisibibile per 12.
Sarà vero per tutte le terne? C'è una ragione? Mi sono chiesto: non è possibile avere due numeri primi come primi due numeri di una terna? Ho consultato vari siti ma non ho trovato risposta. Nel vs sito cui collaborano insigni matematici, forse qualcuno potrà rispondere a me e alla mia alunna."

[Sk_Anonymous]

Provo a dare una soluzione piu' ...friendly!
Indico la terna con $m^2-n^2,2mn,m^2+n^2$ (m>n) e pongo
$P=2mn(m-n)(m+n)$
1)La presenza del fattore 2 in P rende quest'ultimo divisibile per 2
2) Se almeno uno dei fattori m ed n e' pari allora P e' ulteriormente
divisibile per 2 e quindi divisibile per 4.Se m ed n sono entrambi dispari
la loro somma ( o la loro differenza) e' pari e quindi anche in questo caso
P e' divisibile per 4.
3) Resta da dimostrare che P e' divisibile anche per 3.
Se m (oppure n) e' divisibile per 3 la cosa e' dimostrata.Se invece m ed n sono entrambi
non divisibili per 3 allora essi sono della forma 3p+1 o 3p+2 dato che il resto
della divisione per 3 e' 1 oppure 2.Pertanto si hanno i seguenti casi (k>h):
a)m=3k+1,n=3h+1
b)m=3k+1,n=3h+2
c)m=3k+2,n=3h+1
d)m=3k+2,n=3h+2
Esamino i vari casi:
a)m=3k+1,n=3h+1
In tal caso risulta m-n=3(k-h) che e' divisibile per 3 e pertanto lo e' pure P
b)m=3k+1,n=3h+2
In tal caso risulta m+n=3(k+h+1) che e' divisibile per 3 e pertanto lo e' pure P
c)m=3k+2,n=3h+1
In tal caso risulta m+n=3(k+h+1) che e' divisibile per 3 e pertanto lo e' pure P
d)m=3k+2,n=3h+2
In tal caso risulta m-n=3(k-h) che e' divisibile per 3 e pertanto lo e' pure P
C.V.D.
karl

[carlo232]

Tutte le terne pitagoriche $a,b,c$ sono tali che

$a=alpha^2-beta^2=(alpha-beta)(alpha+beta)$

$b=2alphabeta$

$c=alpha^2+beta^2$

con $alpha,beta in NN$ e ovviamente a meno di permutazioni tra $a$ e $b$, ora abbiamo che $a$ è primo sse $alpha-beta=1$ e $2beta+1$ è primo, mentre $b$ è primo solo se $alphabeta=1$ cioè se $alpha=1,beta=1$.

Del resto $ab=2alphabeta(alpha-beta)(alpha+beta)$ e per enumerazione modulo $3$ si verifica essere divisibile sempre per $3$, mentre sempre per enumerazione modulo $2$ si ha che $alphabeta(alpha-beta)(alpha+beta)$ è sempre divisibile per $2$.