Teoria dei numeri

[jack110]

salve a tutti!
volevo sapere come si arriva alla formula che forinsce la somma dei quadrati dei primi n numeri interi

n*(n+1)*(2n+1)/6

ma senza utilizzare una dimostrazione per induzione.
grazie

[jack110]

grazie karl, bella dimostrazione; io avevo pensato costruire figure formate da quadrati di lato unitario e di calcolarne l' area, ma il tuo metodo mi sembra nettamente più semplice...

[Sk_Anonymous]

Si parte dalla formula :
(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1
Facendo variare x da 1 ad n,risulta:
2^3-1^3=3*(1^2)+3*(1)+1
3^3-2^3=3*(2^2)+3*(2)+1
.....................
(n+1)^3-n^3=3*(n^2)+3*(n)+1
Sommando ed eliminando i termin opposti:
(n+1)^3-1=3S(2)+3S(1)+n
[S(2)=somma quadrati;S(1)=somma dei primi n naturali]
Da cui :
3S(2)=(n+1)^3-(n+1)-3*n*(n+1)/2 ovvero
6S(2)=(n+1)[2(n+1)^2-2-3n]
6S(2)=(n+1)(2n^2+n) ed infine:
S(2)=n(n+1)(2n+1)/6
Esistono anche altri procedimenti.
karl.