Teorema preferito
Qual'è il vostro teorema e/o dimostrazione preferiti/o?
Il mio per adesso è il teorema di esistenza e unicità locale del PdC (problema di Cauchy)
Il mio per adesso è il teorema di esistenza e unicità locale del PdC (problema di Cauchy)
Risposte
"j18eos":cioè: in che senso il TFCI risolve il problema delle equazioni differenziali ed offre una risoluzione?
Allora non ho capito questo:[quote="emanuele78"]...il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale è ... Innovativo (perchè introduce e come dicevo risolve il problema delle equazioni differenziali), Risolutore (perchè offre una metodologia di risoluzione)...
Qui non ho capito, oltre a non avermi risposto in merito:
"emanuele78":La probabilità è una bestemmia della matematica? La teoria della misura non è più che sufficiente per parlare di probabilità? Perché la probabilità associata all'algebra ed all'aritmetica ti sembra incredibile?
...Per me parlare di probabilità in Matematica assomiglia ad una bestemmia. In ogni caso se la parola probabilità entra nella Matematica forse è il caso di riconsiderarLa sotto una nuova prospettiva... Se ci fate caso si è riusciti ad associare la parola Probabilità... all'Algebra ed Aritmetica, incredibile...
"emanuele78":Io non l'ho studiato, ma conosco che è un problema bello complicato!
...Navier-Stokes penso lo studino tutti...
"emanuele78":C'entrano perché hai parlato di una presunta superiorità del TFCI in matematica rispetto ad altri teoremi; alcuni stupendi e sconnessi dallo stesso, e io te ne ho fornito uno, secondo il mio gusto.
...Non so cosa centri il sapere Navier Stokes o Kolomogorv o Smolev o l'Analisi Complessa con il mio discorso...
"emanuele78":Domanda: ma sei un teorico dei numeri o uno che si crede tale? Perché i primi, a mio parere, sono dei matematici con le palle quadrate, i secondi... Sono un signore e non mi esprimo.
...Il punto è che l'Ipotesi di Riemann non è un caso rimane il più grande problema aperto della Matematica, uno dei due problemi non risolti dei problemi di Hilbert.
Un problema che va ben al di là della Teoria della Misura o di qualche altro teorema. Significa comprendere l'essenza dell'Aritmetica, anzi è proprio l'assenza di una metrica (che forse noi non vediamo) in questi numeri con così importanti proprietà che lo rende necessario...
"emanuele78":[/quote]
...Esisterà pure una differenza tra Teorema Fondamentale e Teorema non Fondamentale, esisterà pure un motivo perchè schiere di matematici da Cambridge a Princenton o Stanford si occupano o si sono occupati di quel problema.
Ma infatti tu hai espresso una tua preferenza che io rispetto.
Io ho semplicemente espresso la mia preferenza ed ho argomentato a riguardo i motivi della mia scelta. Tutto qui.
Non sono un teorico dei numeri, solo un appassionato della Teoria dei Numeri, ma come dicevo ciò non mi ha impedito di scegliere il TFCI come preferito.
Un altro che mi piace molto e il Teorema di Bezout che in alcuni casi equivale al Teorema Fondamentale dell Algebra
Personalmente ritengo che la Golden Age della Matematica sia stata tra il 1700 ed il 1900, adesso vedo solo generalizzazioni su generalizzazioni.
Ma a pensarci bene sono tutte le materie scientifiche che non stanno conoscendo i progressi che si vedevano in passato.
Francamente non riesco vedere persone del calibro di Gauss, Newton, Einstein in giro. Osservo un comportamento asintotico della conoscenza umana.
Allora non ho capito questo:
Qui non ho capito, oltre a non avermi risposto in merito:
"emanuele78":cioè: in che senso il TFCI risolve il problema delle equazioni differenziali ed offre una risoluzione?
...il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale è ... Innovativo (perchè introduce e come dicevo risolve il problema delle equazioni differenziali), Risolutore (perchè offre una metodologia di risoluzione)...
Qui non ho capito, oltre a non avermi risposto in merito:
"emanuele78":La probabilità è una bestemmia della matematica? La teoria della misura non è più che sufficiente per parlare di probabilità? Perché la probabilità associata all'algebra ed all'aritmetica ti sembra incredibile?
...Per me parlare di probabilità in Matematica assomiglia ad una bestemmia. In ogni caso se la parola probabilità entra nella Matematica forse è il caso di riconsiderarLa sotto una nuova prospettiva... Se ci fate caso si è riusciti ad associare la parola Probabilità... all'Algebra ed Aritmetica, incredibile...
"emanuele78":Io non l'ho studiato, ma conosco che è un problema bello complicato!
...Navier-Stokes penso lo studino tutti...
"emanuele78":C'entrano perché hai parlato di una presunta superiorità del TFCI in matematica rispetto ad altri teoremi; alcuni stupendi e sconnessi dallo stesso, e io te ne ho fornito uno, secondo il mio gusto.
...Non so cosa centri il sapere Navier Stokes o Kolomogorv o Smolev o l'Analisi Complessa con il mio discorso...
"emanuele78":Domanda: ma sei un teorico dei numeri o uno che si crede tale? Perché i primi, a mio parere, sono dei matematici con le palle quadrate, i secondi... Sono un signore e non mi esprimo.
...Il punto è che l'Ipotesi di Riemann non è un caso rimane il più grande problema aperto della Matematica, uno dei due problemi non risolti dei problemi di Hilbert.
Un problema che va ben al di là della Teoria della Misura o di qualche altro teorema. Significa comprendere l'essenza dell'Aritmetica, anzi è proprio l'assenza di una metrica (che forse noi non vediamo) in questi numeri con così importanti proprietà che lo rende necessario...
"emanuele78":Questa mi sembra una questione di lana caprima.
...Esisterà pure una differenza tra Teorema Fondamentale e Teorema non Fondamentale, esisterà pure un motivo perchè schiere di matematici da Cambridge a Princenton o Stanford si occupano o si sono occupati di quel problema.
Non metto in dubbio che vi siano Teoremi importanti, ma di Fondamentali c'è ne sono veramente pochi.
"j18eos":Mai sentito parlare delle equazioni di Navier-Stokes? o degli spazi di Sobolev.
[quote="emanuele78"]...il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale è... Innovativo (perchè introduce e come dicevo risolve il problema delle equazioni differenziali), Risolutore (perchè offre una metodologia di risoluzione)...
Una domanda: ma di analisi complessa (1, per non dire 2) non sai nulla?
"emanuele78":Mai sentito parlare di Kolmogorov e di teoria della misura? Io ipotizzo di no![/quote]
...Per me parlare di probabilità in Matematica assomiglia ad una bestemmia. In ogni caso se la parola probabilità entra nella Matematica forse è il caso di riconsiderarLa sotto una nuova prospettiva. Aspetto quest'ultimo che non mi sembra sia stato preso molto in considerazione, quasi che ci fosse vergogna.
Se ci fate caso si è riusciti ad associare la parola Probabilità (sulla quantità di primi che si possono trovare all'interno di un range) all'Algebra ed Aritmetica, incredibile...
Navier-Stokes penso lo studino tutti, lo stesso dicasi per Kolmogorov.
Ma non è questo il punto. Non so cosa centri il sapere Navier Stokes o Kolomogorv o Smolev o l'Analisi Complessa con il mio discorso.
Il punto è che l'Ipotesi di Riemann non è un caso rimane il più grande problema aperto della Matematica, uno dei due problemi non risolti dei problemi di Hilbert.
Un problema che va ben al di là della Teoria della Misura o di qualche altro teorema. Significa comprendere l'essenza dell'Aritmetica, anzi è proprio l'assenza di una metrica (che forse noi non vediamo) in questi numeri con così importanti proprietà che lo rende necessario.
Esisterà pure una differenza tra Teorema Fondamentale e Teorema non Fondamentale, esisterà pure un motivo perchè schiere di matematici da Cambridge a Princenton o Stanford si occupano o si sono occupati di quel problema.
Non metto in dubbio che vi siano Teoremi importanti, ma di Fondamentali c'è ne sono veramente pochi.
"emanuele78":Mai sentito parlare delle equazioni di Navier-Stokes?, o degli spazi di Sobolev? Così tu affermi di saper integrare, a titolo di esempio, \(\displaystyle e^{-x^2}\) mediante la sola dimostrazione?
...il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale è ... Innovativo (perchè introduce e come dicevo risolve il problema delle equazioni differenziali), Risolutore (perchè offre una metodologia di risoluzione)...
Una domanda: ma di analisi complessa (1, per non dire 2) non sai nulla? Il lemma di Hartogs, ad esempio, è tradotto in geometria algebrica e in algebra commutativa.
"emanuele78":Mai sentito parlare di Kolmogorov e di teoria della misura? Io ipotizzo di no!
...Per me parlare di probabilità in Matematica assomiglia ad una bestemmia. In ogni caso se la parola probabilità entra nella Matematica forse è il caso di riconsiderarLa sotto una nuova prospettiva. Aspetto quest'ultimo che non mi sembra sia stato preso molto in considerazione, quasi che ci fosse vergogna.
Se ci fate caso si è riusciti ad associare la parola Probabilità (sulla quantità di primi che si possono trovare all'interno di un range) all'Algebra ed Aritmetica, incredibile...
"Martino":
Sicuramente emanuele78 per "teorema sui numeri primi" intende l'ipotesi di Riemann.
Grazie,
mi sembrava ovvio. Anche perchè avevo parlato di una forma chiusa sulla distribuzione dei numeri primi.
Trovo veramente assurdo, incredibile ecc ecc che non si capisca esattemente quale sia il successivo numero primo, cioè una legge che lega un numero primo al successivo. Penso a tutte le proprietà dei primi per esempio che anche gli insiemi quozienti di primi sono sempre domini di integrità.
Per me parlare di probabilità in Matematica assomiglia ad una bestemmia. In ogni caso se la parola probabilità entra nella Matematica forse è il caso di riconsiderarLa sotto una nuova prospettiva. Aspetto quest'ultimo che non mi sembra sia stato preso molto in considerazione, quasi che ci fosse vergogna.
Se ci fate caso si è riusciti ad associare la parola Probabilità (sulla quantità di primi che si possono trovare all'interno di un range) all'Algebra ed Aritmetica, incredibile.
Ritornando al topic.
Chiaramente nel punto 2 facevo una generalizzazione sul fatto che il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale è un risultato talmente importante per l'Analisi che tutti gli altri teoremi dell'Analisi francamente scompaiono in termini di importanza al confronto. Non mi sembra che in Analisi 2, Analisi Funzionale e Superiore vi siano Teoremi all'Altezza di quel risultato.
Anche perchè come dicevo il processo di derivazione e integrazione introduce e risolve anche il problema di quando ad essere incognita è una funzione stessa. Insomma siamo veramente di fronte ad un Teorema Fondamentale.
Esso è al contempo Chiarificatore (chiarisce appunto la connessione tra derivazione ed integrazione), Innovativo (perchè introduce e come dicevo risolve il problema delle equazioni differenziali), Risolutore (perchè offre una metodologia di risoluzione). Queste considerazioni che ho scritto le ho spesso trovate studiando le varie branche dell'Analisi, non sono mie, io le ho solo messe insieme.
Poi chiaramente ognuno ha la propria opinione.
Sicuramente emanuele78 per "teorema sui numeri primi" intende l'ipotesi di Riemann.
"gugo82":
[quote="emanuele78"]Il Teorema sui Numeri Primi è troppo importante per la matematica per essere ancora irrisolto, è il più grande problema aperto.
Non si capisce di quale fantomatico teorema sui primi tu stia parlando.[/quote]
Forse mi sbaglio, ma quando ho letto il messaggio avevo inteso la Congettura di Goldbach.
Mi piacerebbe capire quali sarebbero le tue argomentazioni a riguardo. Così tanto per capire
"emanuele78":
[...] non posso non considerare come il teorema preferito il Teorema Fondamendale del Calcolo Integrale. Questo è un teorema che è davvero fondamentale non solo per la matematica ma per l umanità. Vediamone i motivi:
1) stabilisce e chiarisce la relazione inversa tra derivata ed integrale
Ciò è falso... Il TFCI non stabilisce questa cosa.
"emanuele78":
2) chiude sostanzialmente l Argomento Analisi Matematica attraverso una circolarità di relazione inversa che non si trova in nessuna altra branca della Matematica, un matematico studiandolo ha quel senso di appagamento che si ha quando una persona sa di aver chiuso nel migliore dei modi un argomento. Con esso inizia e praticamente finisce l argomento equazione differenziale essendo il risultato dell integrazione una funzione che altro non era che una incognita.
Ma quando mai...
"emanuele78":
Il Teorema sui Numeri Primi è troppo importante per la matematica per essere ancora irrisolto, è il più grande problema aperto.
Non si capisce di quale fantomatico teorema sui primi tu stia parlando.
Spesso ho riflettuto su questa domanda e pur trovando l Algebra ed in essa l Aritmetica Modulare la parte più interessante della Matematica, certamente la più affascinante non posso non considerare come il teorema preferito il Teorema Fondamendale del Calcolo Integrale. Questo è un teorema che è davvero fondamentale non solo per la matematica ma per l umanità. Vediamone i motivi:
1) stabilisce e chiarisce la relazione inversa tra derivata ed integrale
2) chiude sostanzialmente l Argomento Analisi Matematica attraverso una circolarità di relazione inversa che non si trova in nessuna altra branca della Matematica, un matematico studiandolo ha quel senso di appagamento che si ha quando una persona sa di aver chiuso nel migliore dei modi un argomento. Con esso inizia e praticamente finisce l argomento equazione differenziale essendo il risultato dell integrazione una funzione che altro non era che una incognita. Esiste un residuo sche non viene risolto da questo teorema che è la costante c che si aggiunge al risultato dell integrazione. Non c e dunque una perfetta simmetria tra derivata ed integrale, una parte d informazione si perde nel passaggio da derivata ad integrale o meglio integrando non conosceremo mai a priori la condizione iniziale. Peccato!
3) nessun teorema ha mai avuto neanche lontanamente un impatto così profondo sulla vita umana, pensate a tutte le volte che viene applicato dalla Fisica all Economia,
Esiste un altro teorema che puo eguagliare questo?
No, non ancora. Ma ritengo che un teorema che possa dimostrare una forma chiusa dei numeri primi possa eguagliarlo, avendo quest'ultimo ripercussioni enormi su tutta l algebra in particolare sull aritmetica modulare e la Teoria dei Gruppi.
Il Teorema sui Numeri Primi è troppo importante per la matematica per essere ancora irrisolto, è il più grande problema aperto.
1) stabilisce e chiarisce la relazione inversa tra derivata ed integrale
2) chiude sostanzialmente l Argomento Analisi Matematica attraverso una circolarità di relazione inversa che non si trova in nessuna altra branca della Matematica, un matematico studiandolo ha quel senso di appagamento che si ha quando una persona sa di aver chiuso nel migliore dei modi un argomento. Con esso inizia e praticamente finisce l argomento equazione differenziale essendo il risultato dell integrazione una funzione che altro non era che una incognita. Esiste un residuo sche non viene risolto da questo teorema che è la costante c che si aggiunge al risultato dell integrazione. Non c e dunque una perfetta simmetria tra derivata ed integrale, una parte d informazione si perde nel passaggio da derivata ad integrale o meglio integrando non conosceremo mai a priori la condizione iniziale. Peccato!
3) nessun teorema ha mai avuto neanche lontanamente un impatto così profondo sulla vita umana, pensate a tutte le volte che viene applicato dalla Fisica all Economia,
Esiste un altro teorema che puo eguagliare questo?
No, non ancora. Ma ritengo che un teorema che possa dimostrare una forma chiusa dei numeri primi possa eguagliarlo, avendo quest'ultimo ripercussioni enormi su tutta l algebra in particolare sull aritmetica modulare e la Teoria dei Gruppi.
Il Teorema sui Numeri Primi è troppo importante per la matematica per essere ancora irrisolto, è il più grande problema aperto.
"dan95":
[quote="Zero87"]Andando a memoria e non ricordandomi il nome, ricordo che m'aveva stupito - e continua a farlo - il teorema che dice che se due funzioni $f,g$ di variabile complessa sono tali che $f=g$ in $A \subset \CC$ aperto, allora $f=g$ in $\CC$.
Teorema del prolungamento analitico?[/quote]
Quello dice una cosa simile, però me ne ricordo un altro. Va bene, quando ripasserò a casa - entro fine anno
- andrò a riprendere le mie dispense di qualche anno fa e scioglierò questo mio dubbio. 
"Zero87":
Andando a memoria e non ricordandomi il nome, ricordo che m'aveva stupito - e continua a farlo - il teorema che dice che se due funzioni $f,g$ di variabile complessa sono tali che $f=g$ in $A \subset \CC$ aperto, allora $f=g$ in $\CC$.
Teorema del prolungamento analitico?
Andando a memoria e non ricordandomi il nome, ricordo che m'aveva stupito - e continua a farlo - il teorema che dice che se due funzioni $f,g$ di variabile complessa sono tali che $f=g$ in $A \subset \CC$ aperto, allora $f=g$ in $\CC$.
Ora che ci penso, forse ne ho saltato qualche pezzo, [size=50]intanto ha pure segnato l'Italia...[/size]
Comunque ci sono tanti stupefacenti teoremi di Analisi Complessa, come quello che dice che se un polinomio di grado $n$ ha più di $n$ zeri allora può essere solo la funzione identicamente nulla.
Ora che ci penso, forse ne ho saltato qualche pezzo, [size=50]intanto ha pure segnato l'Italia...[/size]
Comunque ci sono tanti stupefacenti teoremi di Analisi Complessa, come quello che dice che se un polinomio di grado $n$ ha più di $n$ zeri allora può essere solo la funzione identicamente nulla.
Da non matematico dico che ancora ne devo conoscere di ancora più belli.
Ma di quelli che conosco, sicuramente sono bellissimi, vere opere d'arte, quello di Banach-Caccioppoli (o Teorema delle Contrazioni), il Teorema di Cantor sulla cardinalità di $RR$ e il Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Ma di quelli che conosco, sicuramente sono bellissimi, vere opere d'arte, quello di Banach-Caccioppoli (o Teorema delle Contrazioni), il Teorema di Cantor sulla cardinalità di $RR$ e il Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Penso che un teorema piuttosto profondo e che mi piacque molto sia il Teorema di Riemann-Roch. Altri teoremi a cui sono "affezionato" sono il Banach fixed-point theorem (per via della dimostrazione costruttiva) e un risultato sulla semicontinuità inferiore della misura 1-dimensionale di Hausdorff che in letteratura è attribuito a Stanisław Gołąb.
"Martino":
Epimenide93, bella quella formulazione di Van Kampen! Dove l'hai pescata?
Proviene dal gioiellino di May.
Se dovessi sceglierne uno adesso sceglierei questo (fonte):
Teorema (Nikolov, Segal, 2007)
In un gruppo profinito finitamente generato un sottogruppo è aperto se e solo se ha indice finito.
In particolare, in un tale gruppo la topologia è completamente determinata dalla struttura algebrica!!
Epimenide93, bella quella formulazione di Van Kampen! Dove l'hai pescata?
Teorema (Nikolov, Segal, 2007)
In un gruppo profinito finitamente generato un sottogruppo è aperto se e solo se ha indice finito.
In particolare, in un tale gruppo la topologia è completamente determinata dalla struttura algebrica!!
Epimenide93, bella quella formulazione di Van Kampen! Dove l'hai pescata?
Non ho né un teorema preferito né la competenza matematica per redigere una lista, ma anch'io trovo per esempio il teorema di Banach-Caccioppoli estremamente affascinante e le sue applicazioni eccezionali, per esempio alla teoria delle equazioni differenziali per dimostrare diversi teoremi di esistenza ed unicità.
Quando lo studiai la prima volta ne parlai entusiasta con mia sorella studentessa in biologia, che sapevo che utilizzava spesso equazioni differenziali, ma mi disse che non le avevano presentato alcuna dimostrazione dei teoremi di esistenza ed unicità.
Personalmente troverei talmente frustrante utilizzare in compiti ed esercizi teoremi tanto importanti senza averne mai studiato una dimostrazione... ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Quando lo studiai la prima volta ne parlai entusiasta con mia sorella studentessa in biologia, che sapevo che utilizzava spesso equazioni differenziali, ma mi disse che non le avevano presentato alcuna dimostrazione dei teoremi di esistenza ed unicità.
Personalmente troverei talmente frustrante utilizzare in compiti ed esercizi teoremi tanto importanti senza averne mai studiato una dimostrazione...
A me piacciono molto i teoremi delle contrazioni (di Banach-Caccioppoli), il teorema di incollamento e il seguente teorma di Cantor:
Non esiste una funzione suriettiva da un insieme al suo insieme delle parti.Ha una dimostrazione davvero unica!
È lunga 255 pagine a detta di wiki.
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