Teorema di Cauchy

[fireball1]

Rieccomi ancora con le mie dimostrazioni [;)].
Questa volta volevo sapere se è corretta
questa mia dimostrazione del Teorema di Cauchy...
Dopo aver fatto tutte le ipotesi (funzioni
continue in [a ; b] , derivabili in (a ; b) etc...),
si deve dimostrare che, detto c un punto appartenente
all'intervallo [a ; b], si ha:
(f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)
Il mio libro come al solito la fa un po' più lunga.
Io ho pensato che si possa dimostrare così:
dividiamo il numeratore e il denominatore della
frazione al primo membro per b - a
Otteniamo: (f(b) - f(a))/(b - a) [1] ; (g(b) - g(a))/(b - a) [2]
Ma per il Teorema di Lagrange o del valor medio,
la [1] è uguale a f'(c) e la [2] è uguale a g'(c).
Ecco dunque dimostrato che (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)

Tutto giusto? C'è qualcosa che non va?

[fireball1]

OK, dunque ho preso una bella cantonata...
Grazie per essere intervenuti!

[Nidhogg]

Teorema di Cauchy. Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabili nell'intervallo aperto (a,b) e se la derivata g'(x) non si annulla mao, allora esiste almeno un punto c di (a,b) per il quale si ha: (f(b)-f(a))/((g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c). In questa situazione le ipotesi del teorema di Lagrange sono rispettate da entrambe le funzioni f e g, possiamo scrivere: (f(b) - f(a))/(b - a) [1] ; (g(b) - g(a))/(b - a) [2]. Ma per il teorema di Lagrange... Questa dimostrazione però non è corretta, infatti è stato applicato due volte il teorema di Lagrange. La scrittura corretta dovrebbe essere:
f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)
g'(d)=(g(b) - g(a))/(b - a)
con c e d non necessariamente uguali. Ovviamente non può essere ottenuta direttamente la tesi del teorema di Cauchy.

[Sk_Anonymous]

Effettivamente qualcosa che non va c'e': non e' detto che il punto c sia lo stesso.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it