Teorema di Archimede sull'area della parabola
Sui miei testi viene solo citato. COme lo si dimostra con la geometria elementare?
Risposte
"eafkuor":
carina questa dimostrazione, mi pare di averla letta su un qualche libro prima che introducesse gli integrali
Non so dirti, io l'ho trovata da solo quando avevo 13-14 anni... ah che bei tempi
carina questa dimostrazione, mi pare di averla letta su un qualche libro prima che introducesse gli integrali
"carlo23":
[quote="blackdie"]Sui miei testi viene solo citato. Come lo si dimostra con la geometria elementare?
Con il metodo dell'esaustione, tu vuoi sapere l'area sottesa da una parabola di equazione $y=x^2$ tra $x=0$ e $x=k$ allora dividi l'intervallo sull'asse delle x tra $x=0$ e $x=k$ in $n$ segmenti uguali che usi come base per costruire dei rettangoli sotto la parabola, l'emmesimo rettangolo da sinistra deve avere altezza $((km)/n)^2$. A questo punto trovi la formula per calcolare l'area dei rettangoli (che sarà inferiore a quella della parabola), fai tendere $n$ a $infty$ e trovi che
l'area sotto la parabola è $k^3/3$.
se riesco ti posto i passaggi,
certamente se uno conosce l'analisi risolve il problema senza tutto sto procedimento[/quote]
L'area dell'emmesimo rettangolo sarà $k/n$ per $((km)/n)^2$ (base per altezza) quindi $(k^3 m^2)/n^3$, l'area di tutti i rettangoli è
$sum_(m=1)^n (k^3 m^2)/n^3 =(k^3)/n^3 sum_(m=1)^n (m^2) $
la somma dei primi $n$ quadrati è $(2n^3+3n^2+n)/6$ (lo puoi dimostrare con facilità per induzione) e quindi l'area dei rettangoli è
$(k^3/n^3)(2n^3+3n^2+n)/6=k^3/3+k^3/(2n^2)+k^3/(6n)$
se fai tendere $n$ a infinito gli ultimi due termini tendono a zero è hai
$k^3/3$
Ciao, spero di esserti stato utile (comunque sti libri senza dimostrazioni sono proprio vergognosi)
"blackdie":
Sui miei testi viene solo citato. Come lo si dimostra con la geometria elementare?
Con il metodo dell'esaustione, tu vuoi sapere l'area sottesa da una parabola di equazione $y=x^2$ tra $x=0$ e $x=k$ allora dividi l'intervallo sull'asse delle x tra $x=0$ e $x=k$ in $n$ segmenti uguali che usi come base per costruire dei rettangoli sotto la parabola, l'emmesimo rettangolo da sinistra deve avere altezza $((km)/n)^2$. A questo punto trovi la formula per calcolare l'area dei rettangoli (che sarà inferiore a quella della parabola), fai tendere $n$ a $infty$ e trovi che
l'area sotto la parabola è $k^3/3$.
se riesco ti posto i passaggi,
certamente se uno conosce l'analisi risolve il problema senza tutto sto procedimento
fai l'integrale....
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