Teorema dei residui ed integrali fratti
Ciao a tutti,
sono un ragazzo appassionato di matematica, ma è da poco che la studio "seriamente"....
Studiando le trasformate di Laplace ho incontrato il metodo dei residui, come tecnica di anti-trasformazione.....non so se è una cosa già nota ed usata.....ma ho trovato la tecnica utile anche per scomporre in frazioni "elementari" una funzione fratta piu articolata.....la cosa è utile per esempio, quando si deve risolvere un integrale fratto......torno a dire, essendo da poco tempo che studio, non so se è una cosa già utilizzata!
Sicuramente è una tecnica piu' lunga e meno agevole.....ma puo' essere sempre vista come un'alternativa!!!
Fatemi sapere qualcosa
Se volete la posto!
sono un ragazzo appassionato di matematica, ma è da poco che la studio "seriamente"....
Studiando le trasformate di Laplace ho incontrato il metodo dei residui, come tecnica di anti-trasformazione.....non so se è una cosa già nota ed usata.....ma ho trovato la tecnica utile anche per scomporre in frazioni "elementari" una funzione fratta piu articolata.....la cosa è utile per esempio, quando si deve risolvere un integrale fratto......torno a dire, essendo da poco tempo che studio, non so se è una cosa già utilizzata!
Sicuramente è una tecnica piu' lunga e meno agevole.....ma puo' essere sempre vista come un'alternativa!!!
Fatemi sapere qualcosa
Se volete la posto!
Risposte
Ok.......a presto!
"Alexp":
Ti è arrivata la mail con l'allegato?........fammi sapere!
Si si, la prima è anche la seconda... forse era solo questione di zippare... la guarderò appena avrò tempo poi ti faccio sapere.
Ti è arrivata la mail con l'allegato?........fammi sapere!
"Alexp":
Inviato!
Ho ricevuto la tua mail... ma non l'allegato.
Riprova, non so il motivo, comunque se ad esempio è un documento di word .doc inviamelo compresso perchè con documenti non compressi mi è già capitato che non mi arrivassero.
Inviato!
"Alexp":
@Carlo23........se ti interessa il mio "lavoro" sui residui e gli integrali fratti postami il tuo indirizzo mail.....perchè qui non riesco ad inserirlo!
Comunque penso si tratti di una banalità, magari anche con errori.......
Ciao
Alexp
è bourbaky91@libero.it e lo stesso vale per il mio contatto windows messenger. Comunque per il futuro informazioni come l'indirizzo e-mail di un utente del forum sono riperibili dal profilo dell'utente... a meno che questi desideri tenerle private.
Mandami pure i tuoi lavori!
Se gli troverò interessanti gli pubblicherò a mio nome 
@Carlo23........se ti interessa il mio "lavoro" sui residui e gli integrali fratti postami il tuo indirizzo mail.....perchè qui non riesco ad inserirlo!
Comunque penso si tratti di una banalità, magari anche con errori.......
Ciao
Alexp
Comunque penso si tratti di una banalità, magari anche con errori.......
Ciao
Alexp
Mi si permetta di aggiungere qualcosa a quanto già detto finora.
Innanzitutto non so se questo risultato è dovuto a Hermite ma in generale col termine "formula di Hermite" si indica un tipo di decomposizione che esprime una funzione razionale fratta come somma di una funzione razionale fratta (a sua volta eventualmente decomponibile in fratti semplici) e della derivata di una opportuna funzione razionale fratta, senza limitazioni alcune sull'ordine degli zeri del denominatore e senza la restrizione al campo reale.
La formula dimostrata da carlo23 è invero limitata al caso di funzioni razionali fratte con zeri semplici al denominatore (non necessariamente reali) ma è un caso particolare di un risultato più generale. In sostanza, essendo tutti gli zeri del denominatore semplici, i coefficienti $a_k$ calcolati non sono altro che i residui della funzione nei punti $z_k$, ovvero $R[z_k]$. Dobbiamo dunque provare che tali residui si calcolano effettivamente come ci ha suggerito carlo23. A tal proposito sussiste il seguente
Lemma: Sia $f(z)=(A(z))/(B(z))$ e sia $z_0$ zero semplice per $B(z)$, risulta $R_{f}[z_0]=(A(z_0))/(B'(z_0))$
In tal modo si estende il risultato postato da carlo23 anche a funzioni razionali fratte con numeratore diverso da $1$
Una veloce verifica della validità di tale lemma è la seguente:
$f(z)=(A(z))/(B(z))$
$(z-z_0)f(z)=(z-z_0)(A(z))/(B(z))$
$(z-z_0)f(z)=A(z)(z-z_0)/(B(z)-B(z_0))$ ricordando che $B(z_0)=0$ e dunque il denominatore non cambia
ora si deve solo passare al limite per $z to z_0$ a entrambi i membri e notare che a primo membro abbiamo la definizione stessa di residuo in presenza di un polo semplice e a secondo membro compare il reciproco di un rapporto incrementale
Innanzitutto non so se questo risultato è dovuto a Hermite ma in generale col termine "formula di Hermite" si indica un tipo di decomposizione che esprime una funzione razionale fratta come somma di una funzione razionale fratta (a sua volta eventualmente decomponibile in fratti semplici) e della derivata di una opportuna funzione razionale fratta, senza limitazioni alcune sull'ordine degli zeri del denominatore e senza la restrizione al campo reale.
La formula dimostrata da carlo23 è invero limitata al caso di funzioni razionali fratte con zeri semplici al denominatore (non necessariamente reali) ma è un caso particolare di un risultato più generale. In sostanza, essendo tutti gli zeri del denominatore semplici, i coefficienti $a_k$ calcolati non sono altro che i residui della funzione nei punti $z_k$, ovvero $R[z_k]$. Dobbiamo dunque provare che tali residui si calcolano effettivamente come ci ha suggerito carlo23. A tal proposito sussiste il seguente
Lemma: Sia $f(z)=(A(z))/(B(z))$ e sia $z_0$ zero semplice per $B(z)$, risulta $R_{f}[z_0]=(A(z_0))/(B'(z_0))$
In tal modo si estende il risultato postato da carlo23 anche a funzioni razionali fratte con numeratore diverso da $1$
Una veloce verifica della validità di tale lemma è la seguente:
$f(z)=(A(z))/(B(z))$
$(z-z_0)f(z)=(z-z_0)(A(z))/(B(z))$
$(z-z_0)f(z)=A(z)(z-z_0)/(B(z)-B(z_0))$ ricordando che $B(z_0)=0$ e dunque il denominatore non cambia
ora si deve solo passare al limite per $z to z_0$ a entrambi i membri e notare che a primo membro abbiamo la definizione stessa di residuo in presenza di un polo semplice e a secondo membro compare il reciproco di un rapporto incrementale
"laura.todisco":
Se la memoria non mi inganna, si chiama "formula di Hermite", ma è valida solo per radici reali e non multiple; vero? E' quella?
Può darsi l'abbia scoperta per primo Hermite... si non è valida per radici multiple come ho già scritto
Se la memoria non mi inganna, si chiama "formula di Hermite", ma è valida solo per radici reali e non multiple; vero? E' quella?
Non male come metodo, carlo23!... potrebbe anche fare risparmiare un bel pò di calcoli in certi casi
Mi spiace che Alexp non si sia fatto più sentire 
... comunque colgo l'occasione per mostrare un metodo già conosciuto per scomporre l'inverso di un polinomio particolare in "frazioni elementari"
Il polinomio $P_n(x)$ di grado $n$ ha tutte le radici distinte, allora
$1/(P_n(x))=(alpha_1)/(x-z_1)+(alpha_2)/(x-z_2)+(alpha_3)/(x-z_3)+...+(alpha_n)/(x-z_n)$
dove $alpha_k=1/(P'_n(z_k))$
Dimostrazione
Per induzione la formula è banalmente vera per $n=1$, supponiamo sia vera per $n$ e dimostriamo che è vera per $n+1$
$1/(P_n(x))=(alpha_1)/(x-z_1)+(alpha_2)/(x-z_2)+(alpha_3)/(x-z_3)+...+(alpha_n)/(x-z_n)$
ora sia $P_(n+1)(x)=P_n(x)(x-z_(n+1))$ dove $z_(n+1)!=z_k forall k<=n$
$1/(P_(n+1)(x))=1/(P_n(x)(x-z_(n+1)))=(alpha_1)/((x-z_1)(x-z_(n+1)))+(alpha_2)/((x-z_2)(x-z_(n+1)))+...+(alpha_n)/((x-z_n)(x-z_(n+1)))$
e scomponendo in due ogni termine con coefficiente $alpha$
$1/(P_(n+1)(x))=(alpha_1)/((x-z_1)(z_1-z_(n+1)))-(alpha_1)/((x-z_(n+1))(z_1-z_(n+1)))+(alpha_2)/((x-z_2)(z_2-z_(n+1)))-(alpha_2)/((x-z_(n+1))(z_2-z_(n+1)))+...(alpha_n)/((x-z_n)(z_n-z_(n+1)))-(alpha_n)/((x-z_(n+1))(z_n-z_(n+1)))$
e
$1/(P_(n+1)(x))=(alpha_1)/((x-z_1)(z_1-z_(n+1)))+(alpha_2)/((x-z_2)(z_2-z_(n+1)))+...(alpha_n)/((x-z_n)(z_n-z_(n+1)))+1/((x-z_(n+1))P_n(z_(n+1)))$
essendo $1/(P'_(n+1)(x))=1/(P'_n(x)(x-z_(n+1))+P_n(x))$ segue la tesi.
Ciao Ciao
... comunque colgo l'occasione per mostrare un metodo già conosciuto per scomporre l'inverso di un polinomio particolare in "frazioni elementari" Il polinomio $P_n(x)$ di grado $n$ ha tutte le radici distinte, allora
$1/(P_n(x))=(alpha_1)/(x-z_1)+(alpha_2)/(x-z_2)+(alpha_3)/(x-z_3)+...+(alpha_n)/(x-z_n)$
dove $alpha_k=1/(P'_n(z_k))$
Dimostrazione
Per induzione la formula è banalmente vera per $n=1$, supponiamo sia vera per $n$ e dimostriamo che è vera per $n+1$
$1/(P_n(x))=(alpha_1)/(x-z_1)+(alpha_2)/(x-z_2)+(alpha_3)/(x-z_3)+...+(alpha_n)/(x-z_n)$
ora sia $P_(n+1)(x)=P_n(x)(x-z_(n+1))$ dove $z_(n+1)!=z_k forall k<=n$
$1/(P_(n+1)(x))=1/(P_n(x)(x-z_(n+1)))=(alpha_1)/((x-z_1)(x-z_(n+1)))+(alpha_2)/((x-z_2)(x-z_(n+1)))+...+(alpha_n)/((x-z_n)(x-z_(n+1)))$
e scomponendo in due ogni termine con coefficiente $alpha$
$1/(P_(n+1)(x))=(alpha_1)/((x-z_1)(z_1-z_(n+1)))-(alpha_1)/((x-z_(n+1))(z_1-z_(n+1)))+(alpha_2)/((x-z_2)(z_2-z_(n+1)))-(alpha_2)/((x-z_(n+1))(z_2-z_(n+1)))+...(alpha_n)/((x-z_n)(z_n-z_(n+1)))-(alpha_n)/((x-z_(n+1))(z_n-z_(n+1)))$
e
$1/(P_(n+1)(x))=(alpha_1)/((x-z_1)(z_1-z_(n+1)))+(alpha_2)/((x-z_2)(z_2-z_(n+1)))+...(alpha_n)/((x-z_n)(z_n-z_(n+1)))+1/((x-z_(n+1))P_n(z_(n+1)))$
essendo $1/(P'_(n+1)(x))=1/(P'_n(x)(x-z_(n+1))+P_n(x))$ segue la tesi.
Ciao Ciao
"Alexp":
Ciao a tutti,
sono un ragazzo appassionato di matematica, ma è da poco che la studio "seriamente"....
Studiando le trasformate di Laplace ho incontrato il metodo dei residui, come tecnica di anti-trasformazione.....non so se è una cosa già nota ed usata.....ma ho trovato la tecnica utile anche per scomporre in frazioni "elementari" una funzione fratta piu articolata.....la cosa è utile per esempio, quando si deve risolvere un integrale fratto......torno a dire, essendo da poco tempo che studio, non so se è una cosa già utilizzata!
Sicuramente è una tecnica piu' lunga e meno agevole.....ma puo' essere sempre vista come un'alternativa!!!
Fatemi sapere qualcosa
Se volete la posto!
Beh, se non posti non possiamo dirti niente
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