Teorema dei cerchi baciantisi

blackdie
Qulacuno sa dimostrare la formula presente su questo sito a http://www.matematicamente.it/cimolin/formula/formula3.htm
o anche link?

Grazie
Ciao!

Risposte
blackdie
trovata la dimostrazione!
:-D



Siano $C_i$ i=1...4 4 circonferenze tali che ognuna tange le altre tre.
Ora, sia$D_1$ la circonferenza che passa per i punti di tangenza tra $C_2,C_3,C_4$. Similmente siano definite $D_2,D_3,D_4$.. E' evidente che anche queste 4 circonferenze si tangono nello stesso modo e negli stessi punti.

Ora, siano A,B,C i centri di $C_1,C_2,C_3$; allora $D_4$ è cerchio inscritto (1) o exscritto (2) del triangolo ABC.

Chiamiamo $h_i$ la curvatura (l'inverso del raggio) di $C_i$ e $k_i$ la curvatura di $C_i$ .

Se siamo nel caso (1) si avrà :
$h_1=1/(s-a) h_2=1(/s-b) h_3=1/(s-c) k_4=+-1/r$

dove a,b,c sono i lati, s è il semiperimetro, r è il raggio del cerchio inscritto. Il segno più o meno dipende dal fatto che H_4 tanga gli altri esternamente o internamente.

Se siamo nel caso (2) si avrà :
$h_1=-1/(s) h_2=1(/s-c) h_3=1/(s-b) k_4=+-1/r_a$

Dove $r_a$ è il raggio del cerchio exscritto opposto al vertice A e il meno in $h_1$ si deve al fatto cerchio contiene gli altri. che tale

In entrambi i casi si ha $h_2h_3+h_3h_1+h_1h_2=(k_4)^2$ e cicliche; simmetricamente $k_2k_3+k_3k_1+k_1k_2=(h_4)^2$ e cicliche.
Quindi $(sum h_i)^2=sum (h_i)^2+sum 2h_ih_j=sum (h_i)^2+sum (k_i)^2$ e per simmetria anche $(sum k_i)^2= sum (k_i)^2+sum (h_i)^2$

Da ciò $sum h_i=sum k_i>0$ .
Del resto, osserviamo che $(h_1+h_2+h_3-h_4)(h_1+h_2+h_3+h_4)=(h_1)^2+(h_2)^2+(h_3)^2-(h_4)^2+2(k_4)^2$ da cui, sostituendo i quadrati con le somme di prodotti, si ottiene che
$(h_1+h_2+h_3-h_4)(h_1+h_2+h_3+h_4)=2k_4(k_1+k_2+k_3+k_4)$
e dunque $(h_1+h_2+h_3-h_4)=2(k_4) ( e cicliche).
Sommando le quattro espressioni e elevando al quadrato si ottiene $sum (h_1)^2=sum (k_1)^2
e dunque $2(sum (h_1)^2)=sum (h_1)^2 +sum (k_1)^2=(sum (h_1))^2.

carlo232
"blackdie":
Qulacuno sa dimostrare la formula presente su questo sito a http://www.matematicamente.it/cimolin/formula/formula3.htm
o anche link?

Grazie
Ciao!


Come dice il sito la dimostrazione richiede un sacco di calcoli, io ho trovato la formula per il raggio del cerchio tra tre cerchi
di cui però due uguali (quindi un caso particolare di cerchi baciantosi).Spero che qualcuno che si intende di più di geometria e abbia molta pazienza riesca a risolvere il caso generale.

Consideriamo tre cerchi, due uguali e di raggio $r_1$ e uno di raggio $r_2$. Noi vogliamo trovare la formula che ci dia il raggio $x$ del cerchio conpreso tra questi tre cerchi che sono tangenti tra loro (purtropppo non so come inserire un disegno ma spero capiate bene lo stesso).

Siano $A$ e $B$ i centri dei due cerchi uguali, sia invece $C$ il centro dell'altro cerchio. Consideriamo il triangolo $ABC$, di
base $AB$, per prima cosa calcoliamo la sua altezza $h$, con Pitagora si ottiene che

$h^2=(r_1+r_2)^2-r_1^2=2r_1r_2+r_2^2$

Adesso denotiamo con $p$ la lunghezza del segmento che ha come estremi il punto medio di $AB$ e il centro del cerchio di raggio $x$, si capisce subito che $p=h-r_2-x$, ma anche sempre con Pitagora

$p^2+r_1^2=(r_1+x)^2$

$p^2=2r_1x+x^2$

quindi

$(h-r_2-x)^2=(sqrt(2r_1r_2+r_2^2)-r_2-x)^2=2r_1x+x^2$

a questo punto svolgento il quadrato e spostando i termini al primo membro si ottiene (a meno che abbia sbagliato i calcoli)

$x=(r_1r_2+r_2^2-r_2sqrt(2r_1r_2+r_2^2))/(r_1-r_2+sqrt(2r_1r_2+r_2^2))$

non ho verificato se soddisfa la relazione di Cartesio, perchè non ho la pazienza di eseguire tutti i calcoli, spero sia giusto.


Ciao, ciao! :wink: :wink:

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