Superficie della sfera...
Salve,
è la prima volta che scrivo in questo forum. Ho un problema: visto la mia ignoranza in matematica, non riesco a capire perché il calcolo della superficie di una sfera di raggio R centrata nell'origine, nel modo descritto sotto non è corretto:
Superficie = 2 * [Integrale da 0 a R di (2*pi*sqrt(R^2-x^2)*dx)]
infatti risulta (pi^2)*(R^2)
Mentre il calcolo del volume con una procedura simile risulta corretto:
Volume = 2 * [Integrale da 0 a R di (pi*(R^2-x^2)*dx)]
Sarà forse per il fatto che l'errore commesso sul bordo della sfera è rilevante nel caso del calcolo della superficie, mentre conta poco (errore del secondo ordine) nel caso del calcolo del volume?
Spero in un vostro aiuto. Grazie in anticipo.
Alberto.
è la prima volta che scrivo in questo forum. Ho un problema: visto la mia ignoranza in matematica, non riesco a capire perché il calcolo della superficie di una sfera di raggio R centrata nell'origine, nel modo descritto sotto non è corretto:
Superficie = 2 * [Integrale da 0 a R di (2*pi*sqrt(R^2-x^2)*dx)]
infatti risulta (pi^2)*(R^2)
Mentre il calcolo del volume con una procedura simile risulta corretto:
Volume = 2 * [Integrale da 0 a R di (pi*(R^2-x^2)*dx)]
Sarà forse per il fatto che l'errore commesso sul bordo della sfera è rilevante nel caso del calcolo della superficie, mentre conta poco (errore del secondo ordine) nel caso del calcolo del volume?
Spero in un vostro aiuto. Grazie in anticipo.
Alberto.
Risposte
Va be', visto che nessuno mi risponde ( 
) ), allora mi rispondo da solo, dato che ho capito dove sta l'errore! Che stupido!
L'errore sta nell'aver moltiplicato l'area del cilindretto infinitesimo ( 2*pi*sqrt(R^2-x^2) ) per dx e non per la lunghezza dell'arco infinitesimo di circonferenza che "spazzolo" muovendomi della quantità dx (sull'asse x).
In questo modo (come avevo intuito ma non me lo spiegavo) commetto un errore del primo ordine di infinitesimo e non del secondo ordine come invece si fa considerando la lunghezza dell'arco "spazzolato".
Quindi nella formula il dx va sostituito con:
sqrt(1+(x^2)/(R^2-x^2))*dx
In questo modo si arriva ad un semplicissimo integrale che produce il risultato cercato.
Naturalmente riporto qui la risposta in modo che chiunque fosse al mio livello matematico (molto basso) e quindi non avesse capito dove fosse l'errore, ora lo capirebbe.
Un saluto,
Alberto.
) ), allora mi rispondo da solo, dato che ho capito dove sta l'errore! Che stupido!L'errore sta nell'aver moltiplicato l'area del cilindretto infinitesimo ( 2*pi*sqrt(R^2-x^2) ) per dx e non per la lunghezza dell'arco infinitesimo di circonferenza che "spazzolo" muovendomi della quantità dx (sull'asse x).
In questo modo (come avevo intuito ma non me lo spiegavo) commetto un errore del primo ordine di infinitesimo e non del secondo ordine come invece si fa considerando la lunghezza dell'arco "spazzolato".
Quindi nella formula il dx va sostituito con:
sqrt(1+(x^2)/(R^2-x^2))*dx
In questo modo si arriva ad un semplicissimo integrale che produce il risultato cercato.
Naturalmente riporto qui la risposta in modo che chiunque fosse al mio livello matematico (molto basso) e quindi non avesse capito dove fosse l'errore, ora lo capirebbe.
Un saluto,
Alberto.
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