Soluzioni Esame di Stato 2007
Le trovate qui (seconda prova): http://www.matematicamente.it/matura/index.html
Risposte
"luca.barletta":
Se trovate qualche errore o avete qualche dubbio sulle soluzioni usate questo topic, grazie.
Se nn erro nel problema 1 ordinario cioè problema 2 pni, il triangolo è disegnato con l'angolo 2 alfa visibilmente più piccolo dell'angolo alfa!
E' solo una piccola imperfezione che nn pregiudica l'esattezza di tutto il procedimento, credo...
Cmq ho avuto a che fare anche io con questa prova... -.-
Devo dire che non coincide molto con il programma fatto... specie la quadratura del cerchio e altre cose... eppoi c'erano delle parti molto noiose nel problema che ho citato sopra... calcoli kilometrici che mi sono seccato di fare
Però il triangolo aureo rendeva questo problema il + bello forse
Bye!
"Fioravante Patrone":
[quote="luca.barletta"]Se trovate qualche errore o avete qualche dubbio sulle soluzioni usate questo topic, grazie.
qui:
https://www.matematicamente.it/matura/20 ... ma%202.pdf
punto 4.
a.
è citato Lindermann, che è ovviamente Lindemann
b.
"quadrature del cerchio" è "quadratura del cerchio"[/quote]
farò presente ai solutori
"luca.barletta":
Se trovate qualche errore o avete qualche dubbio sulle soluzioni usate questo topic, grazie.
qui:
https://www.matematicamente.it/matura/20 ... ma%202.pdf
punto 4.
a.
è citato Lindermann, che è ovviamente Lindemann
b.
"quadrature del cerchio" è "quadratura del cerchio"
Innanzitutto salve a tutti, visto che questo è il mio primo messaggio. Volevo dire, riguardo alla maturità PNI, che ho trovato assurdo il quesito sui gruppi: sarei interessato ad un dato statistico per sapere in quanti licei è stato trattato come argomento..
Ecco la soluzione sintetica.
Consideriamo i casi limite.
a) da fig1 e fig2 deduciamo che ,allorche' e' $hat(B)=60°$, le rette AC e BC
diventano parallele e C va all'infinito.
Poiche' non vi sono altri casi in cui C diventa un punto improprio,si ricava che il
luogo richiesto,avendo 2 soli punti all'infinito, e' una iperbole $gamma$.
Dimostriamo che $gamma$ passa per $B(1,0),C'(1/3,0)$ .
Da fig3 per il teorema dei seni si ha:
$(BC)/(AC)=(sin 2epsilon)/(sin epsilon)=2cos epsilon$ .
Facciamo ora ruotare BC attorno a B in senso antiorario ( cioe' facciamo tendere
$epsilon$ a zero) .Il punto C si portera' in un punto C' di AB tale che sia:
$BC'=2*AC'$ .
Ma e' AC'+C'B=AB=1 e dunque sara' $AC'=1/3$,ovvero $gamma$ passa per $C'(1/3,0)$ .
Facciamo ora ,(fig4),ruotare AC attorno ad A in senso antiorario ( cioe' facciamo tendere
$2 epsilon$ a $pi$) . Il punto C si portera' in un punto di AB tale che sia
$BC=0$ e cio' prova che C va a coincidere con B ovvero $gamma$ passa per B(1,0) .
Pertanto possiamo concludere che $gamma$ e' un'iperbole avente come asse trasverso
l'asse x,come centro di simmetria il punto medio di BC' ovvero il punto $M(2/3,0)$ .
Inoltre gli asintoti hanno coefficienti angolari dati da $+-tan(60°)=+-sqrt3$ e sono quindi
le rette di equazione $y=+-sqrt3(x-2/3)$ ,mentre l'asse trasverso ha lunghezza $2a=BC'=2/3$ .
Quindi :
$a=1/3,b=a*sqrt3=(sqrt3)/3,c=sqrt(a^2+b^2)=2/3$ .
I fuochi sono allora i punti $(-2/3+2/3,0)=(0,0)$ ,che coincide con A, e $(2/3+2/3,0)= (4/3,0)$ .
Infine $gamma$ ha equazione:
$((x-2/3)^2)/(1/9)-(y^2)/(1/3)=1$ ossia $3x^2-4x-y^2+1=0$ .
Naturalmente di detta curva occorre considerare solo la parte riferita
alle limitazioni imposte dal problema.
karl
Corso ordinario:
Per il problema 2 esercizio 1 io ho fatto la prima cosa che mi veniva in mente:
ho posto $h = x + r$ ,
dove $h$ è l'altezza del triangolo e $r$ è il raggio della circonferenza e $x$ variabile.
Poi ho posto $b = 2*sqrt(r^2 - x^2)$ , dove $b$ è la base del triangolo.
Poi ho messo $A = (b*h)/2$ , dove A è l'area del triangolo.
Ho derivato $A$, posto $A' >= 0$, trovato il valore $x$ massimo.
Secondo voi questo ragionamento può servire per individuare il triangolo isoscele di area massima ?
Ieri non mi sono accorto che con questo ragionamento considero tutti i triangoli possibili, ero troppo teso, in prima fila davanti alla cattedra
mentre tutti dietro parlavano e copiavano. Una buffonata.
L'esercizio 2 l'ho svolto interamente, però per il quadrilatero circoscritto non ho usato la tangente ma coseno e Pitagora. Alla fine è la stessa cosa solo che non ho svolto i calcoli perchè ero stanco
.
Il 3 ho usato la sostituzione, $(2*pi/n) = t$ quindi è evidente il limite notevole, l'unico che so
Il 4 della quadratura del cerchio non ho scritto nulla per evitare di scrivere buffonate dal momento che non sapevo in cosa consistesse questa cosa.
Passando ai quesiti:
Il 4 l'ho svolto senza usare seno e coseno ma con Pitagora. Alla fine mi pare mi venisse $V = (2*pi)/(9*sqrt(3)$ che è la forma non razionalizzata del risultato.
Il 6.
Il quesito 7 ho fatto la prima parte facendo anche l'esempio con il seno che è una funzione dispari. La seconda no perchè faceva troppo caldo
.
Il 10 l'ho svolto mettendo la Terra in un sistema di cordinate $x,y,z$ e usando seno e coseno. Peccato che mi sia dimenticato di mettere $r$, che è il raggio della terra, davanti al coseno e seno.
Secondo voi 5-6 punti li prendo ?
C'è da dire che, secondo me, questa prova era sì difficile, ma non impossibile. Anzi, quella dell'anno scorso mi è parsa più difficile. Alcune cose erano davvero impossibili, ma allo stesso tempo semplici se hai avuto la fortuna di studiarle, vedi quadratura del cerchio che non so quale professore abbia trovato il tempo di spiegare in classe con tutti gli argomenti del programmma di matematica.
I quesiti erano semi-fattibili se si era mediamente preparati, nel senso che riuscivi a farne una parte. Lo scopo del quesito del prezzo penso che fosse quello di allentare la tensione se proprio non riuscivi a fare nulla.
Alla fine se riuscivi a copiare e a parlare questa prova era fattibile. Diciamo che nella mia classe i professori che controllavano nelle ultime ore ogni 5-10 minuti riprendevano qualcuno perchè parlava. Ma se ne stavano tranquilli seduti alla cattedra lasciando scorrere davanti ai loro occhi la sceneggiata
che fregatura-buffonata. Spero di uscire al più presto.
Per il problema 2 esercizio 1 io ho fatto la prima cosa che mi veniva in mente:
ho posto $h = x + r$ ,
dove $h$ è l'altezza del triangolo e $r$ è il raggio della circonferenza e $x$ variabile.
Poi ho posto $b = 2*sqrt(r^2 - x^2)$ , dove $b$ è la base del triangolo.
Poi ho messo $A = (b*h)/2$ , dove A è l'area del triangolo.
Ho derivato $A$, posto $A' >= 0$, trovato il valore $x$ massimo.
Secondo voi questo ragionamento può servire per individuare il triangolo isoscele di area massima ?
Ieri non mi sono accorto che con questo ragionamento considero tutti i triangoli possibili, ero troppo teso, in prima fila davanti alla cattedra
mentre tutti dietro parlavano e copiavano. Una buffonata.L'esercizio 2 l'ho svolto interamente, però per il quadrilatero circoscritto non ho usato la tangente ma coseno e Pitagora. Alla fine è la stessa cosa solo che non ho svolto i calcoli perchè ero stanco
.Il 3 ho usato la sostituzione, $(2*pi/n) = t$ quindi è evidente il limite notevole, l'unico che so
Il 4 della quadratura del cerchio non ho scritto nulla per evitare di scrivere buffonate dal momento che non sapevo in cosa consistesse questa cosa.
Passando ai quesiti:
Il 4 l'ho svolto senza usare seno e coseno ma con Pitagora. Alla fine mi pare mi venisse $V = (2*pi)/(9*sqrt(3)$ che è la forma non razionalizzata del risultato.
Il 6.
Il quesito 7 ho fatto la prima parte facendo anche l'esempio con il seno che è una funzione dispari. La seconda no perchè faceva troppo caldo
.Il 10 l'ho svolto mettendo la Terra in un sistema di cordinate $x,y,z$ e usando seno e coseno. Peccato che mi sia dimenticato di mettere $r$, che è il raggio della terra, davanti al coseno e seno.
Secondo voi 5-6 punti li prendo ?
C'è da dire che, secondo me, questa prova era sì difficile, ma non impossibile. Anzi, quella dell'anno scorso mi è parsa più difficile. Alcune cose erano davvero impossibili, ma allo stesso tempo semplici se hai avuto la fortuna di studiarle, vedi quadratura del cerchio che non so quale professore abbia trovato il tempo di spiegare in classe con tutti gli argomenti del programmma di matematica.
I quesiti erano semi-fattibili se si era mediamente preparati, nel senso che riuscivi a farne una parte. Lo scopo del quesito del prezzo penso che fosse quello di allentare la tensione se proprio non riuscivi a fare nulla.
Alla fine se riuscivi a copiare e a parlare questa prova era fattibile. Diciamo che nella mia classe i professori che controllavano nelle ultime ore ogni 5-10 minuti riprendevano qualcuno perchè parlava. Ma se ne stavano tranquilli seduti alla cattedra lasciando scorrere davanti ai loro occhi la sceneggiata
che fregatura-buffonata. Spero di uscire al più presto.
Vorrei fare alcune considerazioni sulla soluzione proposta.
A) Il punto C e' l'intersezione della retta AC di equazione
(1) $y=xtan(2alpha)=(2xtan(alpha))/(1-tan^2(alpha))$
con la retta BC di equazione $y=(x-1)tan(pi-alpha)=(1-x)tan(alpha)$
Da qui si ricava $tan(alpha)=y/(1-x)$ che sostituito nella (1) porta in
modo rapido alla equazione del luogo .
B) Riguardo al problema di massimo ,dopo essere arrivati alla funzione da massimizzare ,si puo'
osservare che essa si puo' scrivere anche come prodotto di due fattori positivi a somma costante:
$f(alpha)=sin^2alpha(1+4cos^2alpha)=sin^2alpha(5-4sin^2alpha)=1/4*(4sin^2alpha)*(5-4sin^2alpha);0
Per la limitazione e' sicuramente $sin^2alpha>0;5-4sin^2alpha>0;4sin^2alpha+5-4sin^2alpha=5$
Per una nota regola tale prodotto e' massimo quando i due fattori che lo compongono sono uguali:
$4sin^2alpha=5-4sin^2alpha$ da cui si ricava che $sinalpha=(sqrt(10))/4;alpha=arcsin(sqrt(10)/4)=52°13'$
C) Se $hat(ABC)=36°$ allora e' $hat(BAC)=hat(BCA)=72°$,ovvero il triangolo diventa isoscele su AC
e quindi,detta CN l'altezza relativa ad AC,e':
$AC=2*AN=2*ABsin18°=2*1*(sqrt5-1)/4=(sqrt5-1)/2$
Ho anche una soluzione sintetica del problema che postero' in seguito,giusto per chi (come me)
s'interessa di tali questioni.
karl
A) Il punto C e' l'intersezione della retta AC di equazione
(1) $y=xtan(2alpha)=(2xtan(alpha))/(1-tan^2(alpha))$
con la retta BC di equazione $y=(x-1)tan(pi-alpha)=(1-x)tan(alpha)$
Da qui si ricava $tan(alpha)=y/(1-x)$ che sostituito nella (1) porta in
modo rapido alla equazione del luogo .
B) Riguardo al problema di massimo ,dopo essere arrivati alla funzione da massimizzare ,si puo'
osservare che essa si puo' scrivere anche come prodotto di due fattori positivi a somma costante:
$f(alpha)=sin^2alpha(1+4cos^2alpha)=sin^2alpha(5-4sin^2alpha)=1/4*(4sin^2alpha)*(5-4sin^2alpha);0
Per la limitazione e' sicuramente $sin^2alpha>0;5-4sin^2alpha>0;4sin^2alpha+5-4sin^2alpha=5$
Per una nota regola tale prodotto e' massimo quando i due fattori che lo compongono sono uguali:
$4sin^2alpha=5-4sin^2alpha$ da cui si ricava che $sinalpha=(sqrt(10))/4;alpha=arcsin(sqrt(10)/4)=52°13'$
C) Se $hat(ABC)=36°$ allora e' $hat(BAC)=hat(BCA)=72°$,ovvero il triangolo diventa isoscele su AC
e quindi,detta CN l'altezza relativa ad AC,e':
$AC=2*AN=2*ABsin18°=2*1*(sqrt5-1)/4=(sqrt5-1)/2$
Ho anche una soluzione sintetica del problema che postero' in seguito,giusto per chi (come me)
s'interessa di tali questioni.
karl
Io Purtroppo ne sono riuscito a fare solo tre :3-8-10; In compenso il problema 1 l'ho svolto tutto con l'eccezione della sicurezza x il punto 4 in quanto ho utilizzato il metodo dei rettangoli
"Hitme":
una cosa, problema 1 punto 4, io ho usato il metodo dei rettangoli su un intervallo limitato e ho detto che l'approssimazione aumenta con l'aumentare dell'intervallo e con il diminuire degli "intervallini" con cui suddivido l'intervallo, secondo voi potrebbe darmelo per buono?
Io pure, però ho preso l'inervallo (0,F), che dite troppo piccolo come intervallo? Ma ora qualcuno ci può dire come andava fatto senza usare quella mostruosa sommatoria? E poi, ragà, i quesiti li avete fatti tutti (5 naturalmente)?
abbiamo corretto un errore sulla soluzione al quesito 2 corso ordinamento, controllate la sol corretta
abbiamo corretto un errore sulla soluzione al quesito 8 corso ordinamento, controllate la sol corretta
"Hitme":
[quote="fu^2"]ankio ho fatto lo stesso, ma con i metodi dei trapezi, ma ho deciso io un intervallo, tipo[0,10] e l'ho suddiviso in 5...
io ho scelto [0,5] e suddiviso in 5, speriamo bene fu^2![/quote]
eeheh penso cmq sia giusto
perchè poi ho descritto il metodo e vaffan brodo 
comunque la maturità l'ho trovata pesantucci, soprattitto i quesiti quest'anno...
"Giova411":
Ho visto la prova e, devo dire, mazzatona... Era difficilissima! Poveri maturandi!!!
Esagerato.
Il problema 2 era fattibilissimo, l'unico inghippo era la quarta domanda che toccava un argomento di solito non trattato diffusamente.
Mica possono dare sempre compiti da terza media come l'anno scorso.
P.S.: mi riferisco al compito dell'ordinamento normale (non PNI).
"Giova411":
Ho visto la prova e, devo dire, mazzatona... Era difficilissima! Poveri maturandi!!!
Anche secondo me era pesante!
"fu^2":
ankio ho fatto lo stesso, ma con i metodi dei trapezi, ma ho deciso io un intervallo, tipo[0,10] e l'ho suddiviso in 5...
io ho scelto [0,5] e suddiviso in 5, speriamo bene fu^2!
Ho visto la prova e, devo dire, mazzatona... Era difficilissima! Poveri maturandi!!!
ankio ho fatto lo stesso, ma con i metodi dei trapezi, ma ho deciso io un intervallo, tipo[0,10] e l'ho suddiviso in 5...
una cosa, problema 1 punto 4, io ho usato il metodo dei rettangoli su un intervallo limitato e ho detto che l'approssimazione aumenta con l'aumentare dell'intervallo e con il diminuire degli "intervallini" con cui suddivido l'intervallo, secondo voi potrebbe darmelo per buono?
grazie
arriveranno al più presto
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