Soluzione amara
Posto qui questo problema sebbene sia un problemino di Algebra. La soluzione a questo problema non è difficile ma, come suggerisce il titolo, lascia l'amaro in bocca poichè e come se non risolvesse il problema. Vediamo se qualcuno invece trova una soluzione "diretta".
Dire se esistono due numeri irrazionali $a$ e $b$ tali per cui $a^b$ è razionale.
Dire se esistono due numeri irrazionali $a$ e $b$ tali per cui $a^b$ è razionale.
Risposte
[OT]
è oltretutto una questione interessante vedere la "dimostrazione amara" nell'ambito della logica intuizionistica che, per altro, non l'accetta.
è oltretutto una questione interessante vedere la "dimostrazione amara" nell'ambito della logica intuizionistica che, per altro, non l'accetta.
Forse sono stato frainteso, non ho mai detto che la soluzione amara non è una soluzione, essa risolve il problema in modo logicamente corretto, quindi è una soluzione a tutti gli effetti, ed è la più geniale di tutti perchè in mezza riga senza studio particolare si conclude. L'unica cosa è che uno si aspetta di trovare esplicitamente $a$ e $b$, ma il quesito chiede solo di far vedere che esistono $a$ e $b$. Non trovo quindi nessuna incoerenza con quanto affermato.
E' chiaro poi che non c'è nessuna gara di genialità; il mio intervento era solo per sottolineare il fatto che le soluzioni dirette che avete proposto hanno tutte la stessa radice che è l'impostazione di Arrigo, era solo per dire che non si tratta di approcci diversi tra loro.
E' chiaro poi che non c'è nessuna gara di genialità; il mio intervento era solo per sottolineare il fatto che le soluzioni dirette che avete proposto hanno tutte la stessa radice che è l'impostazione di Arrigo, era solo per dire che non si tratta di approcci diversi tra loro.
Su, ragazzi, non è successo nulla !
Adesso, giusto per divertirci, sarebbe interessante verificare se la soluzione di Sergio e la mia sono totalmente equivalenti.
La mia, secondo me, è molto semplice ed è generale. Essa prevede tutte le possibilità a partire da un qualunque irrazionale $a$.
La riassumo (s.e.e.o.).
$a in R - Q$.
$b = ln(m/n) / ln a$ (1) con $m, n$ interi positivi
$b in R - Q$ se e solo se non esistono $\mu, \nu$ interi positivi per cui $(m/n)^\nu = a^\mu$ (2)
allora $a^b = m/n in Q$.
ps. se $a$ è trascendente, la condizione (2) è automaticamente soddisfatta.
Adesso, giusto per divertirci, sarebbe interessante verificare se la soluzione di Sergio e la mia sono totalmente equivalenti.
La mia, secondo me, è molto semplice ed è generale. Essa prevede tutte le possibilità a partire da un qualunque irrazionale $a$.
La riassumo (s.e.e.o.).
$a in R - Q$.
$b = ln(m/n) / ln a$ (1) con $m, n$ interi positivi
$b in R - Q$ se e solo se non esistono $\mu, \nu$ interi positivi per cui $(m/n)^\nu = a^\mu$ (2)
allora $a^b = m/n in Q$.
ps. se $a$ è trascendente, la condizione (2) è automaticamente soddisfatta.
In realtà la soluzione che più mi piace è quella amara, è incredibilmente facile ed è corretta; si noti che il quesito non diceva di trovare $a$ e $b$ bensì di dire solo se esistono. Quindi la soluzione amara (che non ho trovato io, l'ho letta su un poster in dipartimento) è quella più geniale, quindi i miei complimenti vanno prima a Steven che l'ha ri-trovata.
Quanto alle soluzioni esplicite proposte credo che tutte marcino sopra la stessa idea costruttiva che è quella che ha dato Arrigo per primo, sebbene non completa in tutti i dettagli. Non facciamo i bambini e diamo a Cesare quel che è di Cesare.
Quanto alle soluzioni esplicite proposte credo che tutte marcino sopra la stessa idea costruttiva che è quella che ha dato Arrigo per primo, sebbene non completa in tutti i dettagli. Non facciamo i bambini e diamo a Cesare quel che è di Cesare.
"anonymous_af8479":
La soluzione :
$a ^ {{ln {m/n}}/{ln a}} = m/n$ ... ... ... (1)
con $m,n$ interi positivi che ho presentato sopra contiene le vostre soluzioni.
Infatti.
Se $a$ è irrazionale, basta che ${ln {m/n}}/{ln a}$ lo sia perchè le condizioni del problema siano soddisfatte.
Perchè ${ln {m/n}}/{ln a}$ sia irrazionale basta che non sia :
${ln {m/n}}/{ln a} = \mu / \nu$
per nessun $\mu, \nu$ interi positivi.
Questo equivale a porre che non sia mai :
$(m/n)^{\nu} = a^\mu$ .
Se $a$ è trascendente, la condizione è sempre soddisfatta, se $a$ è irrazionale non trascendente bisogna vedere caso per caso.
Nell'esempio $a = sqrt(2)$ e $b = log_sqrt(2) 3$, poichè :
$log_sqrt(2) 3 = ln 3 / ln sqrt(2)$,
N/m$
basta porre nella (1) $m = 3$ e $n = 1$ e controllare che $(3/1)^{\nu} = (sqrt(2))^\mu$ non valga mai, come in effetti è.
S. e. e. o.
Non vorrei sembrare litigioso (su una questione non particolarmente rilevante) ma mi pare che nella tua proposta non fornissi la dimostrazione e che suggerissi di prendere $a$ trascendente.
Riguardo alla forma (1) , di per se' non e' che un altro modo di scrivere il problema: se $a^b=n/m$ e' chiaro che $b=\log_a(n/m)=\log(n/m)/\log(a)$ -quindi se c'e' una soluzione essa e' per forza contenuta nella (1) ....
Invece il bello della dim. di Segio e' che devi solo sapere che $\sqrt(2)$ e' irrazionale per esibire $a$ e $b$ con le proprieta' richieste..
Lunga vita a Sergio.
La soluzione :
$a ^ {{ln {m/n}}/{ln a}} = m/n$ ... ... ... (1)
con $m,n$ interi positivi che ho presentato sopra contiene le vostre soluzioni.
Infatti.
Se $a$ è irrazionale, basta che ${ln {m/n}}/{ln a}$ lo sia perchè le condizioni del problema siano soddisfatte.
Perchè ${ln {m/n}}/{ln a}$ sia irrazionale basta che non sia :
${ln {m/n}}/{ln a} = \mu / \nu$
per nessun $\mu, \nu$ interi positivi.
Questo equivale a porre che non sia mai :
$(m/n)^{\nu} = a^\mu$ .
Se $a$ è trascendente, la condizione è sempre soddisfatta, se $a$ è irrazionale non trascendente bisogna vedere caso per caso.
Nell'esempio $a = sqrt(2)$ e $b = log_sqrt(2) 3$, poichè :
$log_sqrt(2) 3 = ln 3 / ln sqrt(2)$,
basta porre nella (1) $m = 3$ e $n = 1$ e controllare che $(3/1)^{\nu} = (sqrt(2))^\mu$ non valga mai, come in effetti è.
S. e. e. o.
$a ^ {{ln {m/n}}/{ln a}} = m/n$ ... ... ... (1)
con $m,n$ interi positivi che ho presentato sopra contiene le vostre soluzioni.
Infatti.
Se $a$ è irrazionale, basta che ${ln {m/n}}/{ln a}$ lo sia perchè le condizioni del problema siano soddisfatte.
Perchè ${ln {m/n}}/{ln a}$ sia irrazionale basta che non sia :
${ln {m/n}}/{ln a} = \mu / \nu$
per nessun $\mu, \nu$ interi positivi.
Questo equivale a porre che non sia mai :
$(m/n)^{\nu} = a^\mu$ .
Se $a$ è trascendente, la condizione è sempre soddisfatta, se $a$ è irrazionale non trascendente bisogna vedere caso per caso.
Nell'esempio $a = sqrt(2)$ e $b = log_sqrt(2) 3$, poichè :
$log_sqrt(2) 3 = ln 3 / ln sqrt(2)$,
basta porre nella (1) $m = 3$ e $n = 1$ e controllare che $(3/1)^{\nu} = (sqrt(2))^\mu$ non valga mai, come in effetti è.
S. e. e. o.
Mi pare proprio che la tecnica di Sergio funzioni 
Riassumendo lui dice prendiamo $a=\sqrt{2}$ e $b=\log_{\sqrt{2}}(3)=\log_2(9)$.
Chiaramente $a^b=3$ e $a$ e' irrazionale. Inoltre
$b\in QQ$ se e solo se $\log_2(9)=n/m$ con $n,m\in NN$ se e solo se $9=2^{n/m}$ se e solo se $9^m=2^n$ impossibile.
E bravo Sergio !!!
Riassumendo lui dice prendiamo $a=\sqrt{2}$ e $b=\log_{\sqrt{2}}(3)=\log_2(9)$.
Chiaramente $a^b=3$ e $a$ e' irrazionale. Inoltre
$b\in QQ$ se e solo se $\log_2(9)=n/m$ con $n,m\in NN$ se e solo se $9=2^{n/m}$ se e solo se $9^m=2^n$ impossibile.
E bravo Sergio !!!
Non vorrei dire una cavolata, ma questo faceva parte dei 23 problemi di Hilbert?
O era simile?!
Mi pare che il professore di algebra ce l'abbia mostrato in questi giorni parlando di elementi algebrici e trascendenti.
O era simile?!
Mi pare che il professore di algebra ce l'abbia mostrato in questi giorni parlando di elementi algebrici e trascendenti.
Sì, la soluzione di Sergio è fondamentalmente la stessa di Arrigo, arrivata prima, e alla luce di quanto osservato nel post precedente è quindi corretta come strada. Faccio notare però che richiede l'uso di un pesante risultato, che è la trascendenza di $e$. La soluzione "amara" usa solo l'irrazionalità della radice di due, ma non esibisce esattamente la risposta, dice solo che è una delle due.
"Sergio":
[quote="ViciousGoblin"][quote="Luca.Lussardi"]Probabilmente è corretto ma è incompleto; devi dimostrare che $e^p=n^q$ è impossibile.
Sara' la trascendenza di $e$ ?[/quote]
Direi la trascendenza di $e^p$ con $p$ algebrico e diverso da 0 (teorema di Lindemann-Weierstrass), mentre $n^q$ è un intero (se, come non costa nulla assumere, $q$ è un intero positivo -- cioè se $p/q<0 => p<0$).
Ovviamente preciso che, se per caso quanto ho detto regge, il teorema l'ho appena scoperto per caso
E aggiungo che, a me principiante, non pare necessario: se $e^p=n^q$, allora $e$ dovrebbe dividere $n^q$ dal momento che divide $e^p$, ma che $e$ possa essere un divisore di un intero o di un razionale mi sembra alquanto impossibile...[/quote]
Scusami Sergio, ma $e$ non e' mica un intero . Quindi non ha senso dire che $e$ dovrebbe dividere $n^q$, a meno che tu non ti metta nei reali e allora e' ovvio che $e$ divide $n^q$.
Poi mi pare che sia la trascendenza di $e$ perche' se $e^p=n^q$ allora $e$ sarebbe soluzione dell'equazione $x^p-n^q=0$, che e' a coefficienti interi.
"Luca.Lussardi":
Probabilmente è corretto ma è incompleto; devi dimostrare che $e^p=n^q$ è impossibile.
Sara' la trascendenza di $e$ ?
Mmm forse era meglio la soluzione amara
Probabilmente è corretto ma è incompleto; devi dimostrare che $e^p=n^q$ è impossibile.
Propongo una via un po' più generale.
$a^{{ ln (m/n) }/{ ln a }} = m/n$
con $m,n$ interi positivi ed $a$ trascendente.
Funzionerà ?
Se $a$ fosse irrazionale non trascendente, l'esponente non sarebbe in generale irrazionale per cui si dovrebbe vedere caso per caso ...
$a^{{ ln (m/n) }/{ ln a }} = m/n$
con $m,n$ interi positivi ed $a$ trascendente.
Funzionerà ?
Se $a$ fosse irrazionale non trascendente, l'esponente non sarebbe in generale irrazionale per cui si dovrebbe vedere caso per caso ...
Bravo, questa è una variante della soluzione "amara", va bene anche $\sqrt 2^{\sqrt 2}$. In realtà non risolve il problema come uno se lo aspetta, osservare che non importa se $\sqrt 3^{\sqrt 2}$ è razionale o no, in ogni caso si può concludere.
$(sqrt3)^sqrt2$.
Se fosse razionale, avremmo la tesi.
Se fosse irrazionale, allora considero
$((sqrt3)^sqrt2)^(sqrt2)$
cioè un irrazionale (appunto $(sqrt3)^sqrt2$ elevato un altro irrazionale, cioè $sqrt2$).
Ma questo numero altro non è che
$(sqrt3)^(sqrt2*sqrt2)$ ovvero $(sqrt3)^2$ ciè $3$, razionale.
In ambo i casi si riesce a trovare un razionale esprimibile come potenza di base ed esponente irrazionali.
Se fosse razionale, avremmo la tesi.
Se fosse irrazionale, allora considero
$((sqrt3)^sqrt2)^(sqrt2)$
cioè un irrazionale (appunto $(sqrt3)^sqrt2$ elevato un altro irrazionale, cioè $sqrt2$).
Ma questo numero altro non è che
$(sqrt3)^(sqrt2*sqrt2)$ ovvero $(sqrt3)^2$ ciè $3$, razionale.
In ambo i casi si riesce a trovare un razionale esprimibile come potenza di base ed esponente irrazionali.
Era sottinteso che si trattasse di numeri reali.
Che so, forse: $a\ =\ e$ e $b\ =\ ipi$
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