Significato materiale della moltiplicazione tra negativi
Ultimamente mi sono ritrovato a pensare alla moltiplicazione tra negativi perché ho scoperto che l'uso corrente di essi è molto più recente di quanto pensassi.
http://www.uop-perg.unipa.it/master_sit ... gativi.htm
Tra l'altro già il nome "negativo" fa pensare a qualcosa per cui i matematici avessero una certa repulsione...
In particolare la moltiplicazione tra due negativi è una cosa che ho imparato perché "è così" e poi non mi sono posto più di tanto il problema perché "ha sempre funzionato" ma si può dare un significato materiale, fisico o geometrico a questa operazione che giustifichi in modo intutivo questa operazione? Credo che discutere su questo sia utile sia perché è interessante rflettere su cose date per scontate (ma magari non lo sono) sia perché potrebbe servire alla didattica.
L'unico esempio convincente che ho trovato è quello dell'area di un rettangolo nel III quadrante nel piano cartesiano con un vertice nell'origine però forse non è così intuitivo pensando ad esempio ad un ragazzo delle medie (o a quanto pare agli antichi matematici...) bisogna "costruire" il piano cartesiano e non si parla di alcun fatto reale.
http://www.treccani.it/scuola/tesine/nu ... llaro.html
Riprendendo:
+ x + = + è banale
- x + = - basta pensare a un certo numero di debiti di pari importo o alla temperatura che scende di un certo numero di gradi ogni giorno (come caso base partendo da 0)
+ x - = - come sopra mantenendo la proprietà commutativa
- x - = + perché è così importante che sia così? solo per esclusione? per simmetria? ha un significato materiale?
Altri link sui numeri relativi
http://www.chihapauradellamatematica.or ... Storia.htm
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ip ... radice.htm (questo dice di dare a segno meno il significato di "opposto" e così dovrebbe andare tutto a posto ma con la moltiplicazione tra negativi non mi convince, applicata al caso della temperatura che ho citato io sarebbe invertire il tempo, invece di scendere sale quindi è aumentata, cioè è positiva, ma così si rischia solo di fare confusione)
http://miviendadire.blogspot.it/2010/04 ... 2556286652
http://www.uop-perg.unipa.it/master_sit ... gativi.htm
Tra l'altro già il nome "negativo" fa pensare a qualcosa per cui i matematici avessero una certa repulsione...
In particolare la moltiplicazione tra due negativi è una cosa che ho imparato perché "è così" e poi non mi sono posto più di tanto il problema perché "ha sempre funzionato" ma si può dare un significato materiale, fisico o geometrico a questa operazione che giustifichi in modo intutivo questa operazione? Credo che discutere su questo sia utile sia perché è interessante rflettere su cose date per scontate (ma magari non lo sono) sia perché potrebbe servire alla didattica.
L'unico esempio convincente che ho trovato è quello dell'area di un rettangolo nel III quadrante nel piano cartesiano con un vertice nell'origine però forse non è così intuitivo pensando ad esempio ad un ragazzo delle medie (o a quanto pare agli antichi matematici...) bisogna "costruire" il piano cartesiano e non si parla di alcun fatto reale.
http://www.treccani.it/scuola/tesine/nu ... llaro.html
Riprendendo:
+ x + = + è banale
- x + = - basta pensare a un certo numero di debiti di pari importo o alla temperatura che scende di un certo numero di gradi ogni giorno (come caso base partendo da 0)
+ x - = - come sopra mantenendo la proprietà commutativa
- x - = + perché è così importante che sia così? solo per esclusione? per simmetria? ha un significato materiale?
Altri link sui numeri relativi
http://www.chihapauradellamatematica.or ... Storia.htm
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ip ... radice.htm (questo dice di dare a segno meno il significato di "opposto" e così dovrebbe andare tutto a posto ma con la moltiplicazione tra negativi non mi convince, applicata al caso della temperatura che ho citato io sarebbe invertire il tempo, invece di scendere sale quindi è aumentata, cioè è positiva, ma così si rischia solo di fare confusione)
http://miviendadire.blogspot.it/2010/04 ... 2556286652
Risposte
Benvenuto sul forum Roberto Montanari
Questa mi piace: mi identifico con la madre.
"Bob5409":
(per mia madre, due negazioni erano tassative, mentre una sola poteva anche essere discussa)
Questa mi piace: mi identifico con la madre.
Riporto un contributo alla questione (è la rielaborazione di un post non mio, ma che mi appassiona)
Il punto, è motivare regola per cui il prodotto di due negativi è positivo, tralasciando le dimostrazioni, per restare su argomenti "naturali" (=intuitivi).
Quello che mi sembra più convincente, lo dicevano i latini:
due negazioni affermano
(cosa per nulla scontata: per mia madre, due negazioni erano tassative, mentre una sola poteva anche essere discussa )
Questo però, secondo me, ha delle belle implicazioni...
Primo di tutto, che i numeri negativi, sono una negazione.
Per esempio, se annoto 100 per ricordarmi che ho un CREDITO di 100 €, allora il DEBITO di 10€ lo annoterò con il segno negativo, per ricordarmi che -quando li sommo- devo fare una sottrazione.
Questo esempio chiarisce -in modo intuitivo- che il numero è senza il segno (quando conto i 10€, conto 1, 2, 3... indipendentemente che siano a debito o a credito), e che il segno è un attributo aggiuntivo, che agisce solo quando, su un insieme di numeri, intendo applicare la somma.
Più specificatamente, il segno ci permette di gestire l'opposto dell'addizione, cioè la sottrazione.
Dato che la sottrazione, è una operazione opposta alla somma, si intuisce che se ne facciamo una seconda volta l'opposto, torniamo alla somma.
Ecco quindi che la regola che due negazioni affermano, giustifica questa singolare proprietà del prodotto tra numeri negativi.
Il concetto di "opposto" (descritto così bene nel secondo link), è strettamente legato al concetto di numero negativo.
Qui ha a che fare con "il contrario", cioè con l'ammissione che esistono solo due possibilità (se ce ne fossero, ad esempio, 3, non sarebbe più vero che, cercando 2 volte l'opposto, si torna all'inizio).
Vi ho portato fuori del seminato ?
Il punto, è motivare regola per cui il prodotto di due negativi è positivo, tralasciando le dimostrazioni, per restare su argomenti "naturali" (=intuitivi).
Quello che mi sembra più convincente, lo dicevano i latini:
due negazioni affermano
(cosa per nulla scontata: per mia madre, due negazioni erano tassative, mentre una sola poteva anche essere discussa
)Questo però, secondo me, ha delle belle implicazioni...
Primo di tutto, che i numeri negativi, sono una negazione.
Per esempio, se annoto 100 per ricordarmi che ho un CREDITO di 100 €, allora il DEBITO di 10€ lo annoterò con il segno negativo, per ricordarmi che -quando li sommo- devo fare una sottrazione.
Questo esempio chiarisce -in modo intuitivo- che il numero è senza il segno (quando conto i 10€, conto 1, 2, 3... indipendentemente che siano a debito o a credito), e che il segno è un attributo aggiuntivo, che agisce solo quando, su un insieme di numeri, intendo applicare la somma.
Più specificatamente, il segno ci permette di gestire l'opposto dell'addizione, cioè la sottrazione.
Dato che la sottrazione, è una operazione opposta alla somma, si intuisce che se ne facciamo una seconda volta l'opposto, torniamo alla somma.
Ecco quindi che la regola che due negazioni affermano, giustifica questa singolare proprietà del prodotto tra numeri negativi.
Il concetto di "opposto" (descritto così bene nel secondo link), è strettamente legato al concetto di numero negativo.
Qui ha a che fare con "il contrario", cioè con l'ammissione che esistono solo due possibilità (se ce ne fossero, ad esempio, 3, non sarebbe più vero che, cercando 2 volte l'opposto, si torna all'inizio).
Vi ho portato fuori del seminato ?
"Bob5409":L'approccio pragmatico dice: "Funziona, perché ti agiti tanto ? Se non lo capisci, non importa, basta che qualcuno più preparato di te l'abbia capito, e sia in grado di applicarlo a casi concreti, in modo utile a tutti quanti"
...approccio il cui palese carattere deleterio tengo ad evidenziare con il mio caso personale.
Al liceo classico mi venivano presentate formule -non certo per colpa dell'insegnante, che anzi stimo moltissimo, ma per la quantità di tempo irrisoria a disposizione- senza dimostrazioni di sorta e, non avendo la minima idea di come fossero state derivate, credevo di essere un deficiente perché, per esempio, non mi appariva tanto autoevidente che \(ax^2+bx+c=0\Rightarrow x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2}\), fatto che credevo essere banalmente vero -non possedevo neanche il concetto di dimostrazione matematica- agli occhi di tutte le persone matematicamente più dotate di me! Nonostante alle medie fossi bravino in matematica ("ottimo" ad ogni compito in classe dalla prima alla terza), mi sono scoraggiato tanto da perdere interesse nei confronti delle scienze esatte e ridurmi ad una media del 6, per dedicarmi alle sole discipline umanistiche, per riacquistarlo solo due anni fa, sentendo ormai insopportabile il senso di impotente ignoranza che si prova guardando il cielo e non avendo la più pallida idea del perché sia azzurro. Così a 33 anni mi sono immerso in studi da autodidatta di matematica e fisica che mi stanno colmando di felicità: adesso so perché \(ax^2+bx+c=0\Rightarrow x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2}\) e di ogni fatto matematico cerco una dimostrazione.
Nessuna ironia. Lo dico spesso ai miei studenti: il miglior modo per verificare se sei completamente padrone di un argomento è spiegarlo a qualche compagno che non lo ha capito.
Mi ha stupito (piacevolmente) trovare citato il mio post scherzoso sui numeri negativi (http://miviendadire.blogspot.it/2010/04/negativi.html) in questo scambio di battute.
Intervengo per ribadire un disagio (mio, ma immagino possa essere condiviso), che emerge ogni volta che la dimostrazione logica sembra portarci "lontano" dalla realtà.
E' un po' la differenza tra matematica e fisica: la seconda -assidua utilizzatrice della logica matematica- è sempre alla ricerca della conferma fornita dalle misure, mentre la prima sembra potersi concedere il lusso dell'astrattismo.
Anche per la fisica, la distanza tra rappresentazione matematica, e realtà percepibile, diventa spesso enorme; ad esempio quando ci si addentra nella meccanica quantistica.
E questo mi sembra non stia portando fortuna a quella branca, che negli ultimi decenni sta facendo passi da lumaca.
Intervengo per ribadire un disagio (mio, ma immagino possa essere condiviso), che emerge ogni volta che la dimostrazione logica sembra portarci "lontano" dalla realtà.
E' un po' la differenza tra matematica e fisica: la seconda -assidua utilizzatrice della logica matematica- è sempre alla ricerca della conferma fornita dalle misure, mentre la prima sembra potersi concedere il lusso dell'astrattismo.
Anche per la fisica, la distanza tra rappresentazione matematica, e realtà percepibile, diventa spesso enorme; ad esempio quando ci si addentra nella meccanica quantistica.
E questo mi sembra non stia portando fortuna a quella branca, che negli ultimi decenni sta facendo passi da lumaca.
- L'approccio pragmatico dice: "Funziona, perché ti agiti tanto ? Se non lo capisci, non importa, basta che qualcuno più preparato di te l'abbia capito, e sia in grado di applicarlo a casi concreti, in modo utile a tutti quanti"
L'approccio didattico dice: "Non si deve fare imparare a memoria la regola, ma mostrare il significato della regola, e far capire che non si tratta di una regola arbitraria"
[/list:u:2i49utoe]
La regola della moltiplicazione dei numeri negativi, l'ho usata per anni ed anni di scuola, ma solo quando ho cercato di spiegarla a mia figlia, mi sono reso conto (con sorpresa), che per quella regola non avevo nessuno schema "materiale" a cui appoggiarmi.
Né, mi pare, sia emerso esserci, da parte di nessuno dei partecipanti a questo thread
Concedetemi di tradire, per un attimo, lo scopo di questo forum, e di scivolare sul personale: mi sono detto "ma che cavolo stiamo facendo ?"
In effetti, questo dubbio a me sta venendo sempre più spesso, e vi prego di trattenervi dalla facile ironia.
@gugo
La dimostrazione formale che dicevi 'ho trovata (nel senso che l'ho trovata scritta da te, non che l'ho fatta da solo... non mi ero accorto subito che eri sempre tu)
regola-dei-segni-t23596.html
e dal thread si capisce anche che o lo metti come assioma per trovare proprietà che ti aspetti o non lo metti ed esce come teorema quindi in parte è questione di punti di vista e avete ragione entrambi. Anche se ho riaperto il discorso "dimostrazione formale" possiamo richiuderlo visto che è già lì, al limite la sede è quella per parlarne.
Per dare un senso a questo thread e non renderlo una copia dell'altro vorrei riaprire il discorso a partire dalle dimostrazioni del teorema di Pitagora che hai citato e dal "senso materiale" citato nel titolo che comunque visto che ho parlato anche di significato fisico o geometrico vorrei rinominare "senso intuitivo" anche perché parlare di "senso materiale" fa venire in mente veramente un'applicazione a qualcosa che si può toccare come il contare le pere sui rami per usare il tuo stesso esempio.
@gundam
hai inviato il messaggio proprio un attimo prima di me...
La dimostrazione formale che dicevi 'ho trovata (nel senso che l'ho trovata scritta da te, non che l'ho fatta da solo... non mi ero accorto subito che eri sempre tu)
regola-dei-segni-t23596.html
e dal thread si capisce anche che o lo metti come assioma per trovare proprietà che ti aspetti o non lo metti ed esce come teorema quindi in parte è questione di punti di vista e avete ragione entrambi. Anche se ho riaperto il discorso "dimostrazione formale" possiamo richiuderlo visto che è già lì, al limite la sede è quella per parlarne.
Per dare un senso a questo thread e non renderlo una copia dell'altro vorrei riaprire il discorso a partire dalle dimostrazioni del teorema di Pitagora che hai citato e dal "senso materiale" citato nel titolo che comunque visto che ho parlato anche di significato fisico o geometrico vorrei rinominare "senso intuitivo" anche perché parlare di "senso materiale" fa venire in mente veramente un'applicazione a qualcosa che si può toccare come il contare le pere sui rami per usare il tuo stesso esempio.
@gundam
hai inviato il messaggio proprio un attimo prima di me...
Qui sicuramente sono io il pivellino, dato che ho ancora molto da studiare. Dimostrare la regola dei segni però non è immediato, nel senso che bisognerebbe conoscere come si "costruisce" l'insieme dei numeri interi (insieme quoziente tra l'insieme dei numeri naturali rispetto una certa relazione di equivalenza), e da questo poi risulta chiaro perché meno per meno fa più.
Comunque rimanendo ad un livello un pò "inferiore", provo a darti qualche indicazione.
Partiamo dal fatto che:
[tex]b + (-b) =0[/tex], cioè la somma di un elemento con l'opposto è uguale a zero, e
[tex]a \ast 0 = 0[/tex], cioè il prodotto di un elemento con zero è uguale a zero. Ora però posso anche scrivere:
[tex]a \ast [b+(-b)] = a \ast b + a \ast (-b) = ab - ab = 0[/tex], sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma, ok, e da cui possiamo quindi dire che "più per più uguale più" e "più per meno uguale meno". Ora se facciamo:
[tex]-a \ast 0 = -a \ast [b + (-b)] = -a \ast b + (-a) \ast (-b) = -ab + ab = 0[/tex], anche in questo caso dato che l'operazione deve essere uguale a zero, allora la somma tra [tex]-ab[/tex] e [tex](-a)(-b)[/tex], affinchè sia zero, il prodotto tra due quantità negative deve essere positivo, da cui il noto risultato che "meno per meno uguale più".
Spero di non aver scritto troppe fesserie, nel caso non mi offendo se mi tirano le orecchie e mi correggono
Comunque rimanendo ad un livello un pò "inferiore", provo a darti qualche indicazione.
Partiamo dal fatto che:
[tex]b + (-b) =0[/tex], cioè la somma di un elemento con l'opposto è uguale a zero, e
[tex]a \ast 0 = 0[/tex], cioè il prodotto di un elemento con zero è uguale a zero. Ora però posso anche scrivere:
[tex]a \ast [b+(-b)] = a \ast b + a \ast (-b) = ab - ab = 0[/tex], sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma, ok, e da cui possiamo quindi dire che "più per più uguale più" e "più per meno uguale meno". Ora se facciamo:
[tex]-a \ast 0 = -a \ast [b + (-b)] = -a \ast b + (-a) \ast (-b) = -ab + ab = 0[/tex], anche in questo caso dato che l'operazione deve essere uguale a zero, allora la somma tra [tex]-ab[/tex] e [tex](-a)(-b)[/tex], affinchè sia zero, il prodotto tra due quantità negative deve essere positivo, da cui il noto risultato che "meno per meno uguale più".
Spero di non aver scritto troppe fesserie, nel caso non mi offendo se mi tirano le orecchie e mi correggono
"gugo82":
Ah, ed a proposito: le opinioni di Bruna Cavallaro in quell'articolo su Treccani le ho trovate abbastanza risibili.
È del tutto normale che, con la crescita dei ragazzi (e con la crescita della consapevolezza umana), l'idea di numero si svincoli dal suo significato elementare e diventi più astratta: se ciò non fosse avvenuto, noi non avremmo la Matematica che ci ritroviamo, ma conteremo ancora le pere sui rami.
E la questione della numenclatura!
Qui hai due espresso ben due opinioni (una sull'articolo e una su come insegnare la matematica da un certo punto in poi) possiamo cominciare a fare un discorso costruttivo. Ametto che la cosa delle temperature è stata un po' estemporanea, ha molto più senso l'esempio dei debiti.
"gugo82":
[quote="Bruna Cavallaro, su Treccani.it,":192wus05]Già il loro nome, numeri negativi – anzi l'aggettivo che li contraddistingue – indica qualcosa di 'non buono', come se possedessero qualità negative.
Certo... Infatti, anche gli anodi delle pile sono dei tipacci, solo perchè sono chiamati "poli negativi".
E vogliamo parlarne dei tasti per diminuire il volume della TV sui telecomandi?!? Hanno tutti il segno meno... Saranno malvagi?
Scempiaggini.
[/quote]
Anch'io l'ho scritto ma in effetti stavo solo citando, non sostenevo certo che fossero "cattivi" e non credo neanche l'autore, dicevo riportando che forse il nome dà l'idea della repulsione che si era avuto in passato per essi (come "finti" e "absurdi") è il punto di vista di chi li ha trattati, non una proprietà oggettiva
"gugo82":
Inoltre, il giochetto col rettangolo è artefatto, cioè è una cosa inventata appositamente per dare un "senso materiale" (ohmioDioperdonami!) a qualcosa che non ce l'ha.
Come detto sopra, nella Geometria Elementare, ma anche in Teoria della Misura -quando non si abbia a che fare con misure troppo strane-, l'area di un insieme del piano è (quando pure esista) un numero nonnegativo; non ha alcun senso considerare aree negative (almeno, non fino a che si abbia una certa maturità matematica). E facendo il gioco del rettangolo si corre il rischio di dare al bambino l'idea che un insieme Geometrico Elementare possa aver area negativa.*
Sembri dire che non hanno senso aree negative ma perché allora dici anche "almeno, non fino a che si abbia una certa maturità matematica"? ti riferisci agli integrali?
In effetti con meno per meno mi era sembrato perfetta, mi era sfuggito il fatto che così escono aree negative in due quadranti, anch'io ora lo rigetto sia come spiegazione sia come uso didattico.
"gugo82":
In queste cose concordo con S. G. Kranz il quale, nel suo How to Teach Mathematics, in merito alle "applicazioni" consiglia:
When you give applications, tell the truth. Or else don't give any.
Credo di aver capito ma non sono sicuro, forse perchè non so a cosa si riferisce la citazione.
"gugo82":
[quote="ufo.rob"]Anche nel sito linkato c'è un esempio che immagino mettendo a e b positivi al posto di 2 e 5 sia la dimostrazione che intendi tu
http://www.uop-perg.unipa.it/master_sit ... 0segni.htm
Immagini male.
E comunque, dato che parlare di formalismo non ti interessa, è meglio non approfondire (farebbe perder tempo ad entrambi).
[/quote]
Diciamo la domanda verteva sul "senso materiale" ma poiché tu sembri sostenere che non c'è e che l'unico senso è dato dalla dimostrazione, riportarla (o accennarla o linkarla) poteva essere interessante. Io ho solo detto che a non tutti basta la dimostrazione per ricordarsi.
"gugo82":
Come sei suscettibile!
Non ho cercato di chiudere alcunché: non è nel mio stile.
Ti ho solo consigliato di parlarne con gente più esperta (di me e di te), quali sono gli insegnanti delle Secondarie che bazzicano il forum.
Qui ammetto che ci sono rimasto un po' male anche se forse non ne avevo motivo.
"gugo82":
Dall'OP non si capisce minimamente che tu voglia spiegare qualcosa a chichessia, né che tu voglia fare "un discorso più generale".
Mi sembrava chiaro: ho scoperto che nella storia matematica l'uso sistematico della moltiplicazione tra negativi e più recente di quanto pensassi e quindi mi sono chiesto perché la storia dei numeri negativi sia stata così travagliata, sapere perché può aiutare anche a spiegare. E poi l'avevi scritto anche che tu che non ti spiegavi se il problema era mio o dovevo spiegarlo quindi avevi già centrato entrambi gli argomenti io credo che si capisse che il "problema" era mio ma una risposta sarebbe stata utile anche per la didattica
"gugo82":
P.S.: Per mostrare qualcosa di simile all'uso dei numeri negativi, potrebbero piuttosto essere d'aiuto le antiche dimostrazioni grafiche del Teorema di Pitagora... Ma che te lo dico a fare?
Nelle tue approfondite ricerche su internet le avrai sicuramente già trovate.
Scusa ma allora hai un'idea di senso geometrico della moltiplicazione tra negativi! (avevo scritto materiale, fisico o geometrico) riportarlo può essere interessante inoltre io non ho mai detto di avere una conoscenza approfondita perché ho fatto ricerche su Internet, tanto che ho chiesto.
Sinceramente, sono stanco di parlare con pivellini che, per un nonnulla, tacciano gli altri di atteggiamenti censòri.
Qui non ti sembra di essere stato tu suscettibile? io ho solo detto che mi è sembrato che volessi chiudere in fretta la discussione, ora con la risposta precedente ho capito di no data la lunghezza.
Interessante la storia del TFA allora vedi che come ho scritto io a volte è utile discutere anche di cose semplici?
Per riassumere: potresti darmi qualche dettaglio in più sulla dimostrazione della regola dei segni a cui ti riferivi e a quale dimostrazione del teorema di Pitagora ti riferivi? le poche che conosco non mi sembrano facciano molta luce sull'uso edi numeri negativi.
Per continuare il discorso perchè tu dici che è un teorema e Gundam "solo" che è una definizione per non perdere le proprietà? in pratica dice che è un assioma, ha sbagliato? è un punto di vista diverso?
Tra le altre domande di fianco a - x - = + stavo per mettere anche "solo per mantenere le proprietà?" perché ad esempio per le potenze mi era sembrato naturale però per i negativi mi sembrava strano che si dovesse introdurre la regola "solo" per questo senza un significato più intuitivo a supporto.
"ufo.rob":
@gugo82
Il problema non è come DIMOSTRARLO ma se ha un significato MATERIALE che può servire ANCHE per spiegarlo (o magari a ricordarlo, non a tutti basta la dimostrazione).
A me non è mai capitato di dover moltiplicare temperature negative (fisicamente, non credo che la moltiplicazione di temperature abbia gran senso); non mi è mai capitato di dover calcolare prodotti di aree negative (cos'è, uno scherzo? L'area, essendo una misura, è un numero nonnegativo); etc...
"ufo.rob":
Se avessi visto il primo link avresti visto che Cardano era "sconcertato" dalla regola dei segni e Pascal non trovava necessario introdurre i numeri negativi e li evitava, quindi il "problema" non è solo mio...
I link li ho guardati; ma vi ho trovato solo cose che già sapevo.
Ah, ed a proposito: le opinioni di Bruna Cavallaro in quell'articolo su Treccani le ho trovate abbastanza risibili.
È del tutto normale che, con la crescita dei ragazzi (e con la crescita della consapevolezza umana), l'idea di numero si svincoli dal suo significato elementare e diventi più astratta: se ciò non fosse avvenuto, noi non avremmo la Matematica che ci ritroviamo, ma conteremo ancora le pere sui rami.
E la questione della numenclatura!
"Bruna Cavallaro, su Treccani.it,":2kcq8bnm:
Già il loro nome, numeri negativi – anzi l'aggettivo che li contraddistingue – indica qualcosa di 'non buono', come se possedessero qualità negative.
Certo... Infatti, anche gli anodi delle pile sono dei tipacci, solo perchè sono chiamati "poli negativi".
E vogliamo parlarne dei tasti per diminuire il volume della TV sui telecomandi?!? Hanno tutti il segno meno... Saranno malvagi?
Scempiaggini.
Inoltre, il giochetto col rettangolo è artefatto, cioè è una cosa inventata appositamente per dare un "senso materiale" (ohmioDioperdonami!) a qualcosa che non ce l'ha.
Come detto sopra, nella Geometria Elementare, ma anche in Teoria della Misura -quando non si abbia a che fare con misure troppo strane-, l'area di un insieme del piano è (quando pure esista) un numero nonnegativo; non ha alcun senso considerare aree negative (almeno, non fino a che si abbia una certa maturità matematica). E facendo il gioco del rettangolo si corre il rischio di dare al bambino l'idea che un insieme Geometrico Elementare possa aver area negativa.*
In queste cose concordo con S. G. Kranz il quale, nel suo How to Teach Mathematics, in merito alle "applicazioni" consiglia:
When you give applications, tell the truth. Or else don't give any.
"ufo.rob":
Anche nel sito linkato c'è un esempio che immagino mettendo a e b positivi al posto di 2 e 5 sia la dimostrazione che intendi tu
http://www.uop-perg.unipa.it/master_sit ... 0segni.htm
Immagini male.
E comunque, dato che parlare di formalismo non ti interessa, è meglio non approfondire (farebbe perder tempo ad entrambi).
"ufo.rob":
Hai preso l'atteggiamento che avrei voluto evitare cercando di chiudere la discussione prima che iniziasse, praticamente hai detto: è un teorema punto e basta o vai da un'altra parte.
Come sei suscettibile!
Non ho cercato di chiudere alcunché: non è nel mio stile.
Ti ho solo consigliato di parlarne con gente più esperta (di me e di te), quali sono gli insegnanti delle Secondarie che bazzicano il forum.
"ufo.rob":
Io ho anche spiegato che a me l'hanno buttata lì come una cosa che "è così" e che a volte può essere interessante discutere su cose date per scontate.
Non l'ho messa nella sezione Scuola secondaria di I grado perché come hai visto ho fatto un discorso più generale legato anche alla storia della matematica che è quello che mi ha portato a fare la domanda, il "come spiegarlo" è uscito da quello che c'è scritto sul sito treccani all'url che ho postato, e poi mi è venuto in mente che potrebbe servirmi tra un po' per spiegarlo a mia nipote (che mi chiede spesso delle cose di matematica) ma non facendo l'insegnante di professione non è la preoccupazione principale, era solo uno spunto, trovando questo significato materiale sarebbe stato utile anche per spiegarlo.
Dall'OP non si capisce minimamente che tu voglia spiegare qualcosa a chichessia, né che tu voglia fare "un discorso più generale".
Detto ciò, ti auguro buona fortuna.
Sinceramente, sono stanco di parlare con pivellini che, per un nonnulla, tacciano gli altri di atteggiamenti censòri.
Au revoir.
P.S.: Per mostrare qualcosa di simile all'uso dei numeri negativi, potrebbero piuttosto essere d'aiuto le antiche dimostrazioni grafiche del Teorema di Pitagora... Ma che te lo dico a fare?
Nelle tue approfondite ricerche su internet le avrai sicuramente già trovate.
__________
* Che poi si finisce come i miei colleghi al TFA, che al problema:
Calcolare l'area della regione del piano compresa tra il grafico della funzione \(f(x):=x^2\ \sin x\) definita in \([-\pi,\pi/2]\) e l'asse delle ascisse
hanno risposto con un numero negativo.
L'operazione di moltiplicazione tra numeri negativi è una definizione tale che le strutture matematiche coinvolte rimangano coerenti (per il principio di permanenza di Hankel). Poi, come hai indicato sopra, ci sono sicuramente degli esempi "pratici" di utilizzo dei numeri negativi che li rende meno... negativi, come il caso delle temperature...
@gugo82
Il problema non è come DIMOSTRARLO ma se ha un significato MATERIALE che può servire ANCHE per spiegarlo (o magari a ricordarlo, non a tutti basta la dimostrazione). Se avessi visto il primo link avresti visto che Cardano era "sconcertato" dalla regola dei segni e Pascal non trovava necessario introdurre i numeri negativi e li evitava, quindi il "problema" non è solo mio...
Anche nel sito linkato c'è un esempio che immagino mettendo a e b positivi al posto di 2 e 5 sia la dimostrazione che intendi tu
http://www.uop-perg.unipa.it/master_sit ... 0segni.htm
Hai preso l'atteggiamento che avrei voluto evitare cercando di chiudere la discussione prima che iniziasse, praticamente hai detto: è un teorema punto e basta o vai da un'altra parte. Io ho anche spiegato che a me l'hanno buttata lì come una cosa che "è così" e che a volte può essere interessante discutere su cose date per scontate.
Non l'ho messa nella sezione Scuola secondaria di I grado perché come hai visto ho fatto un discorso più generale legato anche alla storia della matematica che è quello che mi ha portato a fare la domanda, il "come spiegarlo" è uscito da quello che c'è scritto sul sito treccani all'url che ho postato, e poi mi è venuto in mente che potrebbe servirmi tra un po' per spiegarlo a mia nipote (che mi chiede spesso delle cose di matematica) ma non facendo l'insegnante di professione non è la preoccupazione principale, era solo uno spunto, trovando questo significato materiale sarebbe stato utile anche per spiegarlo.
Il problema non è come DIMOSTRARLO ma se ha un significato MATERIALE che può servire ANCHE per spiegarlo (o magari a ricordarlo, non a tutti basta la dimostrazione). Se avessi visto il primo link avresti visto che Cardano era "sconcertato" dalla regola dei segni e Pascal non trovava necessario introdurre i numeri negativi e li evitava, quindi il "problema" non è solo mio...
Anche nel sito linkato c'è un esempio che immagino mettendo a e b positivi al posto di 2 e 5 sia la dimostrazione che intendi tu
http://www.uop-perg.unipa.it/master_sit ... 0segni.htm
Hai preso l'atteggiamento che avrei voluto evitare cercando di chiudere la discussione prima che iniziasse, praticamente hai detto: è un teorema punto e basta o vai da un'altra parte. Io ho anche spiegato che a me l'hanno buttata lì come una cosa che "è così" e che a volte può essere interessante discutere su cose date per scontate.
Non l'ho messa nella sezione Scuola secondaria di I grado perché come hai visto ho fatto un discorso più generale legato anche alla storia della matematica che è quello che mi ha portato a fare la domanda, il "come spiegarlo" è uscito da quello che c'è scritto sul sito treccani all'url che ho postato, e poi mi è venuto in mente che potrebbe servirmi tra un po' per spiegarlo a mia nipote (che mi chiede spesso delle cose di matematica) ma non facendo l'insegnante di professione non è la preoccupazione principale, era solo uno spunto, trovando questo significato materiale sarebbe stato utile anche per spiegarlo.
Ciao Ufo.Rob
davvero simpatici i tuoi link
davvero simpatici i tuoi link
Non capisco se il dubbio è tuo, o se ti poni il problema di come spiegare la regola dei segni a dei bambini delle medie...
Nel primo caso, credo che tu sia abbastanza maturo da studiarti come sono definiti gli interi a partire dai naturali e com'è definita la moltiplicazione di interi a partire da quella dei naturali: in tale struttura, la regola dei segni è un teorema con una dimostrazione di tre righe.
Nel secondo caso, potresti ragionarci un po' con gli insegnanti che bazzicano la stanza di Secondaria di I grado.
Nel primo caso, credo che tu sia abbastanza maturo da studiarti come sono definiti gli interi a partire dai naturali e com'è definita la moltiplicazione di interi a partire da quella dei naturali: in tale struttura, la regola dei segni è un teorema con una dimostrazione di tre righe.
Nel secondo caso, potresti ragionarci un po' con gli insegnanti che bazzicano la stanza di Secondaria di I grado.
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