Significato del modulo della derivata seconda
Come da oggetto: aiutando alcuni amici per la maturità mi è venuto questo dubbio:
nello studio di funzione della derivata prima si sfrutto il segno, ma anche il modulo, nel senso che a modulo maggiore corrisponde inclinazione maggiore (verso l'alto o il basso a seconda del segno), ma della derivata seconda si sfrutta sempre solo il segno: che significato si può associare al modulo?
La cosa più bella sarebbe se indicasse l'apertura, nel senso del raggio del cerchio osculatore, ma evidentemente non è così, basta pensare alla parabola.
Grazie mille.
nello studio di funzione della derivata prima si sfrutto il segno, ma anche il modulo, nel senso che a modulo maggiore corrisponde inclinazione maggiore (verso l'alto o il basso a seconda del segno), ma della derivata seconda si sfrutta sempre solo il segno: che significato si può associare al modulo?
La cosa più bella sarebbe se indicasse l'apertura, nel senso del raggio del cerchio osculatore, ma evidentemente non è così, basta pensare alla parabola.
Grazie mille.
Risposte
Mentre invece, se la curva è parametrizzata
rispetto a un parametro $t$ reale qualsiasi,
allora la curvatura è assegnata dalla formula:
$cc K = (||vec( x')(t) xx vec( x'')(t)||)/(||vec(x')(t)||^3)$
rispetto a un parametro $t$ reale qualsiasi,
allora la curvatura è assegnata dalla formula:
$cc K = (||vec( x')(t) xx vec( x'')(t)||)/(||vec(x')(t)||^3)$
Ah già, non avevo letto bene...
Sì, appunto, infatti ho detto "parametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco".
Luca, mi pare che la curvatura sia la norma
della derivata seconda, però rispetto a un (il,
visto che la parametrizzazione naturale è unica)
parametro naturale! Giusto?
della derivata seconda, però rispetto a un (il,
visto che la parametrizzazione naturale è unica)
parametro naturale! Giusto?
OK, ora è più chiaro, ma ho bisogno di pensarci un attimo.
Mi vien da dire, in modo molto rozzo ed approsimativo, che in una parabola vicino al vertice la parametrizzazione che indichi tu sia "molto simile" alla parametrizzazione con le ascisse, mentre più ci si allontana, più le due parametrizzazioni diferiscono e la deirvata sseconda secondo la parametrizzazione della lunghezza dell'arco nn è costante, ma tende a zero.
Mi vien da dire, in modo molto rozzo ed approsimativo, che in una parabola vicino al vertice la parametrizzazione che indichi tu sia "molto simile" alla parametrizzazione con le ascisse, mentre più ci si allontana, più le due parametrizzazioni diferiscono e la deirvata sseconda secondo la parametrizzazione della lunghezza dell'arco nn è costante, ma tende a zero.
Si tratta di Geometria differenziale di base, non ho detto una mia opinione; se tu prendi una curva parametrizzata dalla lunghezza d'arco, allora la norma del vettore derivata seconda è la curvatura, e il suo inverso è il raggio di curvatura.
L'unica curva che ha curvatura costante in ogni suo punto è la circonferenza.
L'unica curva che ha curvatura costante in ogni suo punto è la circonferenza.
"Luca.Lussardi":
Invece è così, la norma della derivata seconda rappresenta, sotto certe condizoni, la curvatura del grafico.
Allora bisogna intendersi quali siano queste condizioni, oppure cos asi intenda per curvatura. Perché una parabola ha derivata seconda costante, eppure "vicino" al vertice appare "molto più curva" che lontano.
Mi verrebbe da dire qualcosa del tipo "il rapporto fra derivata prima e seconda mi indica la curvatura", nel senco che a parità di derivata seconda, la curvatura aumenta al diminuire del modulo della derivata prima.
Ora cerco la formula per il raggio del cerchio osculatore, per cercare una qualche conferma in questa direzione.
Intanto grazie mille.
Invece è così, la norma della derivata seconda rappresenta, sotto certe condizoni, la curvatura del grafico.
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