Risoluzione sintetica?
Stamattina ho provato a risolvere il seguente problema:
sia ABC un triangolo con AC > AB. Il punto X giace sul prolungamento di AB dalla parte di A e il punto Y su AC in modo tale che BX = CA , CY = AB. La retta XY incontra l’asse di BC in P.
Dimostrare che
Indicando l’angolo AN / NY = tan x = PM /CM
con M e N punti medi dei segmenti BC e XY rispettivamente.
Da questo segue che i due triangoli rettangoli ANY e PMC sono simili per il secondo criterio e quindi
Se qualcuno ha voglia di farlo e lo risolve non c’è bisogno che posti la soluzione completa, basta che spieghi a grandi linee quello che ha fatto.
sia ABC un triangolo con AC > AB. Il punto X giace sul prolungamento di AB dalla parte di A e il punto Y su AC in modo tale che BX = CA , CY = AB. La retta XY incontra l’asse di BC in P.
Dimostrare che
Indicando l’angolo AN / NY = tan x = PM /CM
con M e N punti medi dei segmenti BC e XY rispettivamente.
Da questo segue che i due triangoli rettangoli ANY e PMC sono simili per il secondo criterio e quindi
Se qualcuno ha voglia di farlo e lo risolve non c’è bisogno che posti la soluzione completa, basta che spieghi a grandi linee quello che ha fatto.
Risposte
"gaussz":
per piera: mi dispiace ma non riesco ad apprezzarla e concordo con Carlo23, per me è solo una complicazione inutile di cose già risolte.
Complicazione, io dicevo che è un modo elegante per risolvere quel caso particolare, ma resta moto poco utile in generale.
per piera: mi dispiace ma non riesco ad apprezzarla e concordo con Carlo23, per me è solo una complicazione inutile di cose già risolte.
Permettetemi di intervenire,
Le soluzioni sintetiche sono molto eleganti e richiedono solitamente pochi calcoli, però è richiesta parecchia intuizione,
le soluzioni per via analitica richiedono un certo numero di calcoli ma un pò meno intuizione.
Quello che voglio dire è che le soluzoni analitiche sono piuttosto standard, permettono di risolvere praticamente tutti i problemi di geometria come dice gaussz quindi hanno una poteza enorme, ma soprattutto richiedono poca intuzione, dati due punti qualsiasi nello spazio si può trovare la retta passante per questi senza tanti passaggi ma semplicemente risolvendo un sistema di equazioni.
Le dimostrazioni sintetiche hanno meno generalità, daltro canto però a volte risolvono problemi particolari in modo elegante e poco calcoloso.
Sta a noi capire quali e meglio usare in caso in caso...
Ciao!
Le soluzioni sintetiche sono molto eleganti e richiedono solitamente pochi calcoli, però è richiesta parecchia intuizione,
le soluzioni per via analitica richiedono un certo numero di calcoli ma un pò meno intuizione.
Quello che voglio dire è che le soluzoni analitiche sono piuttosto standard, permettono di risolvere praticamente tutti i problemi di geometria come dice gaussz quindi hanno una poteza enorme, ma soprattutto richiedono poca intuzione, dati due punti qualsiasi nello spazio si può trovare la retta passante per questi senza tanti passaggi ma semplicemente risolvendo un sistema di equazioni.
Le dimostrazioni sintetiche hanno meno generalità, daltro canto però a volte risolvono problemi particolari in modo elegante e poco calcoloso.
Sta a noi capire quali e meglio usare in caso in caso...
Ciao!
@gaussz
vediamo se riesco , non dico a farti piacere, ma quanto meno a farti apprezzare la potenza della geometria sintetica.
Consideriamo un triangolo acuto ABC.
Da A tracciamo la perpendicolare relativa al lato BC che interseca in P la semicirconferenza esterna al triangolo di diametro BC.
Da B tracciamo la perpendicolare relativa al triangolo AC che interseca in Q la semicirconferenza esterna al triangolo di diametro AC.
Dimostrare che PC = QC.
Ecco come l'ho risolto per via sintetica (salvo clamorosi errori):
utilizzando il primo teorema di Euclide nel triangolo rettangolo CPB si ha
PC^2 = CD * BC
utilizzando il primo teorema di Euclide nel triangolo rettangolo CQA si ha
QC^2= AC * CE
Dalla similitudine dei triangoli ADC e BEC ( dove D ed E sono le intersezioni delle due perpendicolari con BC e AC rispettivamente) si ha
BC : AC = CE : CD ovvero
BC * CD = AC * CE
da questo segue che
PC^2 = QC^2 ovvero
PC = QC
La via analitica direi che è percorribile, ma quella sintetica ti porta alla soluzione non solo con pochi calcoli ma anche in breve tempo!
vediamo se riesco , non dico a farti piacere, ma quanto meno a farti apprezzare la potenza della geometria sintetica.
Consideriamo un triangolo acuto ABC.
Da A tracciamo la perpendicolare relativa al lato BC che interseca in P la semicirconferenza esterna al triangolo di diametro BC.
Da B tracciamo la perpendicolare relativa al triangolo AC che interseca in Q la semicirconferenza esterna al triangolo di diametro AC.
Dimostrare che PC = QC.
Ecco come l'ho risolto per via sintetica (salvo clamorosi errori):
utilizzando il primo teorema di Euclide nel triangolo rettangolo CPB si ha
PC^2 = CD * BC
utilizzando il primo teorema di Euclide nel triangolo rettangolo CQA si ha
QC^2= AC * CE
Dalla similitudine dei triangoli ADC e BEC ( dove D ed E sono le intersezioni delle due perpendicolari con BC e AC rispettivamente) si ha
BC : AC = CE : CD ovvero
BC * CD = AC * CE
da questo segue che
PC^2 = QC^2 ovvero
PC = QC
La via analitica direi che è percorribile, ma quella sintetica ti porta alla soluzione non solo con pochi calcoli ma anche in breve tempo!
o be allora se è questo..., dopo se ho tempo lo posto, basta ruotare le rette, poi vi faccio vedere
Il quesito di Pieragalli è proprio questo qualche post sopra, infatti Pieragalli è colui che ha nick Piera!!
secondo me voi usate troppo la logica, vada per risolvere i problemi, ma nella vita non funziona, non si può applicare, fidatevi.
@Archimede
cos'è il quesito di Pieragalli? si, sicuramente si può risolvere, basta scegliere i riferimenti giusti! postalo, sono curioso.
Ti faccio un esempio: intendo calcolare l'area di un cerchio, uso il piano cartesiano, scrivo l'equazione della circonferenza(che è basata tra l'altro sul teorema di pitagora, il teorema più elementare) poi quando vado ad integrare (solo mezza circonferenza, sennò poi non è una funzione... e qui ci sarebbe da discutere perchè) scopro che non posso esprimere la primitiva tramite funzioni elementari, allora approssimo il risultato e ottengo una stima di pi greco, per poi scoprire che se passavo alle coordinate sferiche tutto era più semplice e che usare le une o le altre non cambiava proprio niente. Se con il piano cartesiano ho risolto un problema, che agli antichi Greci faceva uscire fumo dalle orecchie, in un tempo 10 minuti, allora li posso risolvere tutti i problemi di geometria. Queste cose non le sanno tutti, e così non dovrebbe essere. Mi risulta che anche Gauss dà il nome ad un piano, quello sui numeri complessi. Sarei curioso di sapere quali sono questi problemi geometrici che non si possono risolvere con la geometria analitica, ma tanto lo so che non esistono..
ps: stessa cosa per la geometria solida, basta passare dal piano allo spazio 3D, e perchè no, datosi che ci siamo perchè non la geometria frattale, e la geometria multidimensionale o che altro...
@Archimede
cos'è il quesito di Pieragalli? si, sicuramente si può risolvere, basta scegliere i riferimenti giusti! postalo, sono curioso.
Ti faccio un esempio: intendo calcolare l'area di un cerchio, uso il piano cartesiano, scrivo l'equazione della circonferenza(che è basata tra l'altro sul teorema di pitagora, il teorema più elementare) poi quando vado ad integrare (solo mezza circonferenza, sennò poi non è una funzione... e qui ci sarebbe da discutere perchè) scopro che non posso esprimere la primitiva tramite funzioni elementari, allora approssimo il risultato e ottengo una stima di pi greco, per poi scoprire che se passavo alle coordinate sferiche tutto era più semplice e che usare le une o le altre non cambiava proprio niente. Se con il piano cartesiano ho risolto un problema, che agli antichi Greci faceva uscire fumo dalle orecchie, in un tempo 10 minuti, allora li posso risolvere tutti i problemi di geometria. Queste cose non le sanno tutti, e così non dovrebbe essere. Mi risulta che anche Gauss dà il nome ad un piano, quello sui numeri complessi. Sarei curioso di sapere quali sono questi problemi geometrici che non si possono risolvere con la geometria analitica, ma tanto lo so che non esistono..
ps: stessa cosa per la geometria solida, basta passare dal piano allo spazio 3D, e perchè no, datosi che ci siamo perchè non la geometria frattale, e la geometria multidimensionale o che altro...
@gaussz
Fino a due o tre anni fa ti avrei dato ragione!
Però quando ho cominciato a fare ripetizioni a mia cugina in prima e seconda liceo (e ho quindi dovuto ristudiare la geometria razionale di cui sinceramente non ricordavo più niente), mi sono accorto che, a differenza di quando studiavo queste cose al liceo, adesso trovavo interesse...
Tutto questo per farti capire come anch'io prima preferivo risolvere un problema di geometria analitica piuttosto che sintetica quindi chi lo sa, magari tra qualche anno ti capita quello che è successo a me!
Poi quando parli che la matematica è troppo astratta a certi livelli, ti dò ragione, io tra l'altro sono laureato in statistica non in matematica!
Forse sbaglio, ma secondo me la geometria sintetica è importante perchè potenzia le capacità di ragionamento (e te lo dice uno che non è una cima nel risolvere problemi di questo tipo).
Fino a due o tre anni fa ti avrei dato ragione!
Però quando ho cominciato a fare ripetizioni a mia cugina in prima e seconda liceo (e ho quindi dovuto ristudiare la geometria razionale di cui sinceramente non ricordavo più niente), mi sono accorto che, a differenza di quando studiavo queste cose al liceo, adesso trovavo interesse...
Tutto questo per farti capire come anch'io prima preferivo risolvere un problema di geometria analitica piuttosto che sintetica quindi chi lo sa, magari tra qualche anno ti capita quello che è successo a me!
Poi quando parli che la matematica è troppo astratta a certi livelli, ti dò ragione, io tra l'altro sono laureato in statistica non in matematica!
Forse sbaglio, ma secondo me la geometria sintetica è importante perchè potenzia le capacità di ragionamento (e te lo dice uno che non è una cima nel risolvere problemi di questo tipo).
Quello della supremazia dell'Ingegneria sulla Matematice Pura e viceversa
e' un discorso antico e mi pare sia stato gia' discusso anche su questo
Forum.Secondo me e' lo stesso che chiedersi se e' nato prima l'uovo
o la gallina. Per quello che mi riguarda la risoluzione sintetica di un
problema di geometria soddisfa profondamente ( quando mi riesce!!)
il mio senso estetico a prescindere dalla sua utilita' immediata e non ci
rinunzierei per nessuna ragione al mondo.
E poi,scendendo al pratico,e' sicuro l'amico gaussz di poter risolvere
il bel quesito di Pieragalli mettendo il tutto nel piano cartesiano?
Ho paura che si caccerebbe in un ginepraio di calcoli dal quale gli sarebbe
piuttosto difficile districarsi.
Archimede
e' un discorso antico e mi pare sia stato gia' discusso anche su questo
Forum.Secondo me e' lo stesso che chiedersi se e' nato prima l'uovo
o la gallina. Per quello che mi riguarda la risoluzione sintetica di un
problema di geometria soddisfa profondamente ( quando mi riesce!!)
il mio senso estetico a prescindere dalla sua utilita' immediata e non ci
rinunzierei per nessuna ragione al mondo.
E poi,scendendo al pratico,e' sicuro l'amico gaussz di poter risolvere
il bel quesito di Pieragalli mettendo il tutto nel piano cartesiano?
Ho paura che si caccerebbe in un ginepraio di calcoli dal quale gli sarebbe
piuttosto difficile districarsi.
Archimede
io metterei il triangolo su un piano cartesiano e... poi sono solo calcoli di geometria analitica, questi problemi li aveva già risolti tutti cartesio... possibile che voi grandi matematici non ci siete arivati e dovete complicarli per forza risolvendoli come gli antichi Greci del 700 a.C.? Bah! molto meglio l'ingegneria, almeno si costruisce qualcosa di utile, qualcosa che si vede, al contrario della matematica dove ,oltre le pure astrazioni che non portano a niente, si può arrivare a dire solo che si entra in un loop infinito da cui non si esce mai!, ci sarà sempre qualcosa da dimostrare, e sempre qualcosa che non può essere dimostrato 
ah, ovviamente mi aspetto, i vostri attacchi e le vostre feroci critiche, ma... tanto niente e tutto è dimostrabile...
MEDITATE GENTE!
ah, ovviamente mi aspetto, i vostri attacchi e le vostre feroci critiche, ma... tanto niente e tutto è dimostrabile...
MEDITATE GENTE!
Che fantastica soluzione!
Bello il ragionamento che hai fatto per dimostrare che il quadrilatero è ciclico!
Grazie davvero!
Bello il ragionamento che hai fatto per dimostrare che il quadrilatero è ciclico!
Grazie davvero!
Per ipotesi e' BX=CA ovvero BA+AX=CY+YA da cui,essendo BA=CY,segue
AX=YA.Posto allora
La retta XY intersechi la parallela da B ad AC in A' e si congiunga A' con C.
Risulta :BA'L=LYC=a/2 perche' alterni interni ,dunque il triangolo A'BX e'
isoscele su A'X e quindi A'B=BX=CA ed il quadrilatero ABA'C ,avendo due lati
opposti paralleli e congruenti, e' un parallelogramma.Pertanto LA'C=BA'C-BA'L=a/2
ovvero PA' e' bisettrice di BA'C .
Descriviamo ora la circonferenza c(BA'C) e dimostriamo che essa passa anche per P.
Se infatti c(BA'C) intersecasse l'asse MP in un punto P' (non indicato in figura) distinto
da P,essendo P'B=P'C e ricordando che corde congruenti sottendono archi congruenti,
ne seguirebbe BA'P'=P'A'C e cioe' P'A' risulterebbe, al pari di PA',bisettrice dell'angolo
BA'C contro l'unicita' della bisettrice.
Pertanto il quadrilatero PBA'C ,essendo inscritto in una circonferenza ha gli angoli
opposti supplementari e cio' esaurisce la tesi.
Archimede
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