Proprietà e accordo tra i concetti matematici
Riporto qui un post di Luca Lussardi:
Mi trovo assolutamente d'accordo su quello che dice.
Ma allora, quando dico, per esempio che l'insieme dei numeri primi é infinito, sto dicendo che 'ragionando su un oggetto con la proprietà di essere un insieme di numeri naturali ecc ecc é infinito'? No, perché posso pensare infinite volte all'insieme dei numeri primi, un giorno, magari il giorno dopo. Oppure, come capita spesso, posso pensare a due oggetti uguali, come due insiemi dei numeri primi.
"Luca.Lussardi":
I numeri naturali vengono costruiti all'interno della teoria assiomatica degli insiemi, quindi gli assiomi di Peano diventano in realta' dei teoremi: l'unica cosa non banale, che infatti e' un assioma (il piu' delicato) della teoria ZF e' affermare che i numeri naturali formano un insieme, e il problema e' che si tratta del primo insieme infinito per cui si postula l'esistenza (si ritorna all'infinito attuale dei greci). Accettato cio' il problema quindi si sposta sulla teoria ZF... ma e' chiaro che per fare qualcosa da qualcosa bisogna partire, dal nulla non si crea niente. In particolare, il quantificatore esistenziale e' un oggetto che fa parte dei linguaggi del primo ordine, quindi addirittura a monte della matematica. Un'osservazione finale: in matematica non ha praticamente mai importanza come gli oggetti vengono definiti: la cosa importante e' la classe di proprieta' che gli oggetti hanno. Non ha quindi molta importanza conoscere nel dettaglio come sono costruiti i naturali, gli assiomi di Peano sono invece davvero importanti. Un esempio piu' complesso e' dato dai reali: la costruzione dei reali in teoria degli insiemi e' molto piu' difficile di quella dei naturali, ma alla fine sia che uno vada per sezioni di Dedekind sia che uno completi $\mathbb Q$ sia che uno faccia altro, le proprieta' dei reali sono le cose che poi servono.
Mi trovo assolutamente d'accordo su quello che dice.
Ma allora, quando dico, per esempio che l'insieme dei numeri primi é infinito, sto dicendo che 'ragionando su un oggetto con la proprietà di essere un insieme di numeri naturali ecc ecc é infinito'? No, perché posso pensare infinite volte all'insieme dei numeri primi, un giorno, magari il giorno dopo. Oppure, come capita spesso, posso pensare a due oggetti uguali, come due insiemi dei numeri primi.
Risposte
"Luca.Lussardi":
Ci sono due livelli di risposta. Livello 1, matematico: quando pensi ai naturali pensi solo ed esclusivamente ai numeri costruiti all'interno della teoria degli insiemi, e questi, in quanto definiti in modo precisi, sono unici. Livello 2, filosofico-matematico: non ha nessuna importanza quanti insiemi di naturali concepisci; ogni volta che fai un ragionamento sui naturali alla fine stai usando solo le loro proprietà, e non come sono definiti. Se quindi dimostri qualcosa sfruttando solo le proprietà dei naturali stai dimostrando un teorema che vale ogni volta che prendi un modello dei naturali che soddisfa agli assiomi di Peano.
Il livello 2 é esattamente quello che pensavo io, grande! Pensavo di essere ammattito!
Ci sono due livelli di risposta. Livello 1, matematico: quando pensi ai naturali pensi solo ed esclusivamente ai numeri costruiti all'interno della teoria degli insiemi, e questi, in quanto definiti in modo precisi, sono unici. Livello 2, filosofico-matematico: non ha nessuna importanza quanti insiemi di naturali concepisci; ogni volta che fai un ragionamento sui naturali alla fine stai usando solo le loro proprietà, e non come sono definiti. Se quindi dimostri qualcosa sfruttando solo le proprietà dei naturali stai dimostrando un teorema che vale ogni volta che prendi un modello dei naturali che soddisfa agli assiomi di Peano.
InfF
Infatti si, si tratta di filosofia credo
Mi sto chiedendo: quando penso a due insiemi di numeri naturali, sono distinti no? O meglio, sono uguali, ossia enti con le stesse identiche proprietà (come appunto dicevi nel messaggio che ho postato) peró distinti. Quindi dato che posso pensare a tre numeri tre (anche in questo momento), posso pensare a duecento insiemi di numeri primi, a quattro numeri cinque...quando affermo 'l'insieme tal dei tali ha una proprietà x' sto dicendo che se pensi a un insieme con quelle proprietà allora ha la proprietà x? Con unico cosa si intende? Unico in che senso? Posso pensare quante volte voglio a uno stesso concetto. In questo senso era la mia domanda, scusa la poca chiarezza ma non saprei spiegarlo meglio.
"Luca.Lussardi":
Non ho ben afferrato la tua obiezione che forse non è un problema di matematica, ma di filosofia. In ogni caso l'insieme dei naturali all'interno di ZF è essenzialmente unico, in quanto costruito esplicitamente, quindi quando ci si riferisce alle proprietà dei naturali ci si riferisce alle proprietà degli oggetti di quel particolare insieme costruito.
Infatti si, si tratta di filosofia credo
Mi sto chiedendo: quando penso a due insiemi di numeri naturali, sono distinti no? O meglio, sono uguali, ossia enti con le stesse identiche proprietà (come appunto dicevi nel messaggio che ho postato) peró distinti. Quindi dato che posso pensare a tre numeri tre (anche in questo momento), posso pensare a duecento insiemi di numeri primi, a quattro numeri cinque...quando affermo 'l'insieme tal dei tali ha una proprietà x' sto dicendo che se pensi a un insieme con quelle proprietà allora ha la proprietà x? Con unico cosa si intende? Unico in che senso? Posso pensare quante volte voglio a uno stesso concetto. In questo senso era la mia domanda, scusa la poca chiarezza ma non saprei spiegarlo meglio.
Non ho ben afferrato la tua obiezione che forse non è un problema di matematica, ma di filosofia. In ogni caso l'insieme dei naturali all'interno di ZF è essenzialmente unico, in quanto costruito esplicitamente, quindi quando ci si riferisce alle proprietà dei naturali ci si riferisce alle proprietà degli oggetti di quel particolare insieme costruito.
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