Proprietà della sezione aurea.
Posto qui in "Generale" perchè vuol
essere giusto una nota.
Stavo considerando elementi geometrici nell'architettura, e mi venne da pensare
all'ellisse.
Allora presi a calcolare sull'ellisse inscritta in un "rettangolo aureo",
cioè un'ellisse di rapporto tra semiassi $a/b=(sqrt5+1)/2-=\tau$;
per semplicità ora pongo $b=1$ e quindi $a=\tau$.
E trovai che la semi-distanza focale $d/2$ è (curiosamente), proprio $sqrt(\tau)$.
Il che mi fa venire in mente un semplice e bello "motivo architettonico", se possa dir così.
Quando ho tempo di disegnarlo, lo posto.
MA, inoltre, se ora considero un ellisse con semiassi $a'=sqrt\tau$ e $b'=1$,
ho che la semidistanza focale è $1/sqrt\tau$
_e questo mi ha sorpeso molto _
ed anche questo lo rappresenterei in un disegno, per la cui esecuzione vedi sopra
.
Lo so, mi si potrebbe dire che tutto questo è banale; o che.
Però invece lo trovai notevole: tra tutte le ellissi, quella
che ha $a/b =b/(d/2)$ è proprio quella per cui $(a/b)^2 =\tau$.
E lo so che si potrebbe dire che basta armeggiare un po' sull'equazione $x^2-x-1=0$ per
avere tutto questo, ma quello
che ha sosrpreso me è che relazioni geometriche differenti, come quella di similitudine
tra un triangolo rettangolo e le parti in cui lo divide l'altezza relativa all'ipotenusa;
il rapporto tra un segmento ed una sua parte, tale che sia uguale a quello di questa parte alla rimanente;
e tra semiassi e distanza focale in un'ellisse;
fossero legati.
essere giusto una nota.
Stavo considerando elementi geometrici nell'architettura, e mi venne da pensare
all'ellisse.
Allora presi a calcolare sull'ellisse inscritta in un "rettangolo aureo",
cioè un'ellisse di rapporto tra semiassi $a/b=(sqrt5+1)/2-=\tau$;
per semplicità ora pongo $b=1$ e quindi $a=\tau$.
E trovai che la semi-distanza focale $d/2$ è (curiosamente), proprio $sqrt(\tau)$.
Il che mi fa venire in mente un semplice e bello "motivo architettonico", se possa dir così.
Quando ho tempo di disegnarlo, lo posto.
MA, inoltre, se ora considero un ellisse con semiassi $a'=sqrt\tau$ e $b'=1$,
ho che la semidistanza focale è $1/sqrt\tau$
_e questo mi ha sorpeso molto _ed anche questo lo rappresenterei in un disegno, per la cui esecuzione vedi sopra
.Lo so, mi si potrebbe dire che tutto questo è banale; o che.
Però invece lo trovai notevole: tra tutte le ellissi, quella
che ha $a/b =b/(d/2)$ è proprio quella per cui $(a/b)^2 =\tau$.
E lo so che si potrebbe dire che basta armeggiare un po' sull'equazione $x^2-x-1=0$ per
avere tutto questo, ma quello
che ha sosrpreso me è che relazioni geometriche differenti, come quella di similitudine
tra un triangolo rettangolo e le parti in cui lo divide l'altezza relativa all'ipotenusa;
il rapporto tra un segmento ed una sua parte, tale che sia uguale a quello di questa parte alla rimanente;
e tra semiassi e distanza focale in un'ellisse;
fossero legati.
Risposte
"j18eos":
Dato che sei un maturando, avrai compagni di classe che "studiano"per l'interrogazione, prendono pure un bel voto e poi resettano. -_-
Purtroppo sì, ed è veramente avvilente vederli.
"j18eos":
[...] se ti vuoi fare 2 risate su di me: se tu mi domandassi quanto vale quell'integrale (od integrale di Eulero-Gauss-Poisson e chi più ne ha più ne metta!) io ti risponderei col domandarti carta e pennain quanto non ricordo il valore, ma il come ottenere il valore!
Certamente dici bene. Lo studio della matematica non è un semplice esercizio di mnemotecnica; coloro che "studiano" non l'hanno purtroppo capito.
Del resto, perché dovrei ridere? Assumo il tuo stesso atteggiamento, anche se a volte la memoria può tornare molto utile, non lo nego. Potrei infatti illustrarti senza aprire libro, credo egregiamente, il ragionamento che conduce ad asserire che se una funzione ammette limite allora tale limite è unico (Teorema di unicità del limite - E ti assicuro, ma ben lo saprai pure tu, che la sua conoscenza non è assolutamente da darsi per scontata, soprattutto fra coloro che "studiano"), ragionamento che tra l'altro mi è stato chiarito in maniera ineccepibile proprio su questo forum.
Tant'è, per dirti, che per prepararmi alle verifiche di teoria non studio le dimostrazioni dei teoremi, ma mi metto al tavolo con un foglio bianco e una penna, e mi rompo la testa finché non riesco a dimostrare ciò che mi sono proposto (di dimostrare). All'inizio la difficoltà fu palese, si trattava di servirsi di un metodo totalmente differente dal consueto (da ricordarsi che parlo di scuola superiore, dettaglio non trascurabile); ma poi il tutto è divenuto più divertente, e i risultati assolutamente positivi si sono mostrati senza timidezza.
"j18eos":
Questa è na putenza della matematica che fa sorridere e forse sognare, ma non bisogna incatenarsi ad esse, mi raccomando.
Sono d'accordo, nel senso che uno divenga una sorta di "fanatico".
Per quanto mi riguarda, io ritengo sorprendente OGNI proprietà della "quantità" -essendo la matematica scienza della "quantità".
Ma, d'altra parte, non è vero che quel "sogno" sia qualcosa di inutile, o falso; o distraente, o psicopatico addirittura.
E' che non devi distorcelo o ridurlo diventando... come Gabriele LaPorta (e non me ne voglia, semmai!).
Oppure un fanfarone.
Però- per esempio sto (ri)leggendo in Platone asserti sui numeri -qualcosa che non è la mera computazione.
Ma per potere asserire quello bisogna saperlo. E saperlo non è a brancolare alla cieca in una sorta di "introspezione".
O lasciar uscire di bocca così come venga; come tutte le sparate pseudo-teoriche che ci escono di bocca quando
siamo più o meno ragazzini.
E come sapere quello? Lo si chieda a Platone!
Intanto -uno scopre qualcosa; un teorema, una proprietà dei numeri.
Bene! quello è. -Senza commenti azzardati.
Presenti il teorema, e lasci l'esposizione. Può
darsi serva di "ispirazione" per qualcuno, perfino poetica mi pemetto di dire!
Dato che sei un maturando, avrai compagni di classe che "studiano" per l'interrogazione, prendono pure un bel voto e poi resettano. -_-
Ho marcato il verbo studiare solo per distinguermi da ciò; se ti vuoi fare 2 risate su di me: se tu mi domandassi quanto vale quell'integrale (od integrale di Eulero-Gauss-Poisson e chi più ne ha più ne metta!) io ti risponderei col domandarti carta e penna in quanto non ricordo il valore, ma il come ottenere il valore! 
Questo è lo studio secondo me, aggiungo che durante l'esame di fisica 1 mi fu chiesta la sola equazione del pendolo semplice (cioè senza dimostrarla), né allora né oggi me la ricordo, ma ricordo svariati modi per ottenerla (così risposi al professore) e presi un voto in più (ovviamente ricavandola)!
Tornando alla sezione aurea [tex]$\varphi$[/tex], non ricordo la sua espressione ma la definizione geometrica data da Euclide così poter ricavarla da una equazione di II grado; tra l'altro non ricordo quanti altri giochetti geometrici crea, oltre quelli descritti nei precedenti post!
Questa è na putenza della matematica che fa sorridere e forse sognare, ma non bisogna incatenarsi ad esse, mi raccomando.
Qualche altro giochetto lo si ha col rettangolo aureo, se ti vuoi cimentare a cercarle.
per l'interrogazione, prendono pure un bel voto e poi resettano. -_-Ho marcato il verbo studiare solo per distinguermi da ciò; se ti vuoi fare 2 risate su di me: se tu mi domandassi quanto vale quell'integrale (od integrale di Eulero-Gauss-Poisson e chi più ne ha più ne metta!) io ti risponderei col domandarti carta e penna
in quanto non ricordo il valore, ma il come ottenere il valore! Questo è lo studio secondo me, aggiungo che durante l'esame di fisica 1 mi fu chiesta la sola equazione del pendolo semplice (cioè senza dimostrarla), né allora né oggi me la ricordo, ma ricordo svariati modi per ottenerla (così risposi al professore) e presi un voto in più (ovviamente ricavandola)!
Tornando alla sezione aurea [tex]$\varphi$[/tex], non ricordo la sua espressione ma la definizione geometrica data da Euclide così poter ricavarla da una equazione di II grado; tra l'altro non ricordo quanti altri giochetti geometrici crea, oltre quelli descritti nei precedenti post!
Questa è na putenza della matematica che fa sorridere e forse sognare, ma non bisogna incatenarsi ad esse, mi raccomando.
Qualche altro giochetto lo si ha col rettangolo aureo, se ti vuoi cimentare a cercarle.
Bhè, sicuramente ne sai più di me, che sono solo un maturando.
Questo non l'ho mai messo in dubbio, quindi non afferro il motivo dell'utilizzo del maiuscolo.
"j18eos":
[...] che ha STUDIATO e si è voluto fare una cultura matematica (e non)!
Questo non l'ho mai messo in dubbio, quindi non afferro il motivo dell'utilizzo del maiuscolo.
Beh, c'è un battuta storica in matematica: "Sei come [tex]$\pi$[/tex]!"(*) per indicare l'onnipresenza.
Poi non è che conosca chissà quanto di teoria matematica, sono solo un tesista triennale in algebra; che ha STUDIATO e si è voluto fare una cultura matematica (e non)!
§§§
(*) Ecco l'origine (click)!
Poi non è che conosca chissà quanto di teoria matematica, sono solo un tesista triennale in algebra; che ha STUDIATO e si è voluto fare una cultura matematica (e non)!
§§§
(*) Ecco l'origine (click)!
Non possiedo ancora molta dimestichezza con il Latex poiché fino a pochi giorni or sono mi son servito dell'altra modalità di scrittura.
Lo ben so! E sono anche pienamente consapevole di aver (di)mostrato soltanto una banale curiosità, null'altro, come quando ho scoperto che [tex]$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$[/tex]: mi è sembrato molto interessante appurare direttamente come le famose costanti della matematica si ripresentino sovente. Non possedendo ancora le vostre formidabili basi teoriche che molto spiegherebbero, sono abbagliato ed estasiato da questi fatti.
"j18eos":
Eppoi [tex]$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$[/tex]
Lo ben so! E sono anche pienamente consapevole di aver (di)mostrato soltanto una banale curiosità, null'altro, come quando ho scoperto che [tex]$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$[/tex]: mi è sembrato molto interessante appurare direttamente come le famose costanti della matematica si ripresentino sovente. Non possedendo ancora le vostre formidabili basi teoriche che molto spiegherebbero, sono abbagliato ed estasiato da questi fatti.
@Delirum Fai bene i conti! Eppoi [tex]$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$[/tex]
Eppoi [tex]$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$[/tex]
Lo so che la sezione aurea si indica con $\phi$, ma siccome
quella lettera mi serviva (diciamo così) in quello che stavo facendo per altro, l'ho indicata con
l'altro suo simbolo: $\tau$ "tau" ("Tomè" -sezione).
E poi ho scritto il messaggio prendendo la notazione.
Ora userò $\phi$.
Questa un'immagine
L'ellisse blu ha semiassi $1$ e $\phi$;
la gialla semiassi $\phi$ e $sqrt\phi$.
Ed i vertici del rombo sono i fuochi rispettivamente
per l'una e per l'altra.
Il rettangolo blu è "aureo",
il triangolo rosso è rettangolo.
Ed, ancora, il rettangolo giallo tra
i punti di intersezione delle ellissi è ancora aureo (!), di lati in rapporto $sqrt2/2$ con il blu.
Voglio comunque dire che certamente mi sorpresi perchè non partivo
dalle formule, ma da considerazioni anche di rapporti tra forme; ed
anche da considerazioni "estetiche".
quella lettera mi serviva (diciamo così) in quello che stavo facendo per altro, l'ho indicata con
l'altro suo simbolo: $\tau$ "tau" ("Tomè" -sezione).
E poi ho scritto il messaggio prendendo la notazione.
Ora userò $\phi$.
Questa un'immagine
L'ellisse blu ha semiassi $1$ e $\phi$;
la gialla semiassi $\phi$ e $sqrt\phi$.
Ed i vertici del rombo sono i fuochi rispettivamente
per l'una e per l'altra.
Il rettangolo blu è "aureo",
il triangolo rosso è rettangolo.
Ed, ancora, il rettangolo giallo tra
i punti di intersezione delle ellissi è ancora aureo (!), di lati in rapporto $sqrt2/2$ con il blu.
Voglio comunque dire che certamente mi sorpresi perchè non partivo
dalle formule, ma da considerazioni anche di rapporti tra forme; ed
anche da considerazioni "estetiche".
"j18eos":
@Delirium Insomma ottieni [tex]$r=s=\sqrt{\frac{\varphi}{2}}$[/tex]
Io vedo piuttosto che [tex]$r=s \sqrt{\frac {\varphi}{2}}$[/tex]
"j18eos":
Strano davvero, ma non facciamo i maghi!
Oh no, non era mia intenzione proporre prestigi. Semplici curiosità, null'altro.
@orazioster Dai tempi di Mark Barr (1909) che il rapporto aureo si indica con [tex]$\varphi$[/tex].
@Delirium Insomma ottieni [tex]$r=s\cdot\sqrt{\frac{\varphi}{2}}$[/tex] mentre il rapporto è [tex]$r\varphi$[/tex]!
Strano davvero, ma non facciamo i maghi! [Edit] è rivolto ad entrambi.[\Edit]
@Delirium Insomma ottieni [tex]$r=s\cdot\sqrt{\frac{\varphi}{2}}$[/tex] mentre il rapporto è [tex]$r\varphi$[/tex]!
Strano davvero, ma non facciamo i maghi!
[Edit] è rivolto ad entrambi.[\Edit]
Proprio ieri, ti giuro, stavo gingillandomi con un quesito da me inventato che potrebbe benissimo essere proposto in un tema della maturità.
Nella fattispecie mi domandavo quale fosse il rapporto tra i volumi di una sfera e di un cono (con altezza uguale al diametro di base) di superfici equivalenti.
Detti [tex]$r$[/tex] il raggio della sfera, [tex]$s$[/tex] il raggio di base del cono e [tex]$a=\sqrt{4s^{2}+s^{2}}=\sqrt{5}s$[/tex] l'apotema, si ha che [tex]$S_{sfera}=4 \pi r^{2}$[/tex] e [tex]$S_{cono}=\pi s^{2} + \pi s a= \pi s^{2}+\sqrt{5}\pi s^{2}= \pi s^{2}[1+\sqrt{5}][/tex]; poiché [tex]$S_{sfera}=S_{cono} \rightarrow 4 \pi r^{2} = \pi s^{2} [1+\sqrt{5}] \rightarrow r=s \frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}$[/tex]. Si ha quindi che [tex]$V_{sfera}=\frac{4}{3} \pi r^{3}$[/tex] mentre [tex]$V_{cono}=\frac{1}{3} \pi s^{2} 2s=\frac{2}{3} \pi s^{3}$[/tex]; rapportando queste ultime due: [tex]$\frac {V_{sfera}}{V_{cono}}=\frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{\frac{2}{3} \pi s^{3}}=\frac{{\frac{4}{3} \pi s^{3} \frac{[\sqrt{1+\sqrt{5}}]^{3}}{8}}}{\frac{2}{3} \pi s^{3}} = \frac{[\sqrt{1+\sqrt{5}}]^{3}}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}$[/tex].
Salvo potenziali errori sfuggitimi, il fatto mi è parso curioso.
Nella fattispecie mi domandavo quale fosse il rapporto tra i volumi di una sfera e di un cono (con altezza uguale al diametro di base) di superfici equivalenti.
Detti [tex]$r$[/tex] il raggio della sfera, [tex]$s$[/tex] il raggio di base del cono e [tex]$a=\sqrt{4s^{2}+s^{2}}=\sqrt{5}s$[/tex] l'apotema, si ha che [tex]$S_{sfera}=4 \pi r^{2}$[/tex] e [tex]$S_{cono}=\pi s^{2} + \pi s a= \pi s^{2}+\sqrt{5}\pi s^{2}= \pi s^{2}[1+\sqrt{5}][/tex]; poiché [tex]$S_{sfera}=S_{cono} \rightarrow 4 \pi r^{2} = \pi s^{2} [1+\sqrt{5}] \rightarrow r=s \frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}$[/tex]. Si ha quindi che [tex]$V_{sfera}=\frac{4}{3} \pi r^{3}$[/tex] mentre [tex]$V_{cono}=\frac{1}{3} \pi s^{2} 2s=\frac{2}{3} \pi s^{3}$[/tex]; rapportando queste ultime due: [tex]$\frac {V_{sfera}}{V_{cono}}=\frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{\frac{2}{3} \pi s^{3}}=\frac{{\frac{4}{3} \pi s^{3} \frac{[\sqrt{1+\sqrt{5}}]^{3}}{8}}}{\frac{2}{3} \pi s^{3}} = \frac{[\sqrt{1+\sqrt{5}}]^{3}}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}$[/tex].
Salvo potenziali errori sfuggitimi, il fatto mi è parso curioso.
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