Proposta di ricerca: mappe aperte tra poset finiti
Ciao, qualcuno ha voglia di intrattenere una corrispondenza con me al fine di studiare questi oggetti?
Definizione. Sia $f: P \rightarrow Q$, con $P$ e $Q$ poset finiti, allora $f$ si dice una mappa aperta se per ogni $p \in P$:
$f(\downarrow p) = \downarrow f(p)$ (*)
Definizione. Siano $(P, \leq_{P})$, $(Q, \leq_{Q})$ due poset e sia $f: P \rightarrow Q$ una mappa aperta suriettiva. Consideriamo l'insieme
$\pi_f = \{f^{-1}(q) \mbox{ con } q \in Q \}$
delle fibre di $f$, con l'ordine $\preceq$ definito da
$f^{-1}(b) \preceq f^{-1}(c) \mbox{ se e solo se } b \leq_Q c$
per $b$, $c \in Q$. Il poset $(\pi_f, \preceq)$ è una partizione aperta di $P$.
(*) Sia $P$ un poset, $Q \subseteq P$. Diremo ideale d'ordine o downset di $Q$ l'insieme
$\downarrow{Q} = \{x \in P \mbox{ tale che } x \leq q \mbox{, per } q \in Q\}.$
Definizione. Sia $f: P \rightarrow Q$, con $P$ e $Q$ poset finiti, allora $f$ si dice una mappa aperta se per ogni $p \in P$:
$f(\downarrow p) = \downarrow f(p)$ (*)
Definizione. Siano $(P, \leq_{P})$, $(Q, \leq_{Q})$ due poset e sia $f: P \rightarrow Q$ una mappa aperta suriettiva. Consideriamo l'insieme
$\pi_f = \{f^{-1}(q) \mbox{ con } q \in Q \}$
delle fibre di $f$, con l'ordine $\preceq$ definito da
$f^{-1}(b) \preceq f^{-1}(c) \mbox{ se e solo se } b \leq_Q c$
per $b$, $c \in Q$. Il poset $(\pi_f, \preceq)$ è una partizione aperta di $P$.
(*) Sia $P$ un poset, $Q \subseteq P$. Diremo ideale d'ordine o downset di $Q$ l'insieme
$\downarrow{Q} = \{x \in P \mbox{ tale che } x \leq q \mbox{, per } q \in Q\}.$
Risposte
dimenticavo di dire che questo studio ha attinenza (via dualità) allo studio di algebre di hayting finite
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