Problema matematico applicato alla pratica(specchio newton)
Da diversi mesi mi sto appassionando di astronomia ed in particolare della costruzione degli specchi astronomici.
La costruzione di uno specchio newtoniano (superficie concava paraboloide) si divide in due fasi:
1)La costruzione della curva sferica.
2)La successiva parabolizzazione.
Mentre la prima fase puo' essere fatta a macchina, la seconda è piu' fine e necessita di continuo dell'intervento umano.
Quello che mi chiedo io è: possibile non si riesca a far fare tutto alla macchina?
Premesso questo vi espongo il problema matematico.
DATI:
Utensile che scava supposto puntiforme.
Disco di vetro(futuro specchio paraboloide concavo) con diametro a piacere.
Ora immaginiamo di mettere il disco in rotazione.
Se poggio l'utensile sulla superficie e lo muovo avanti e indietro per la lunghezza del diametro otterro', dopo diverso tempo, una "fetta" (perdonatemi il termine grezzo) di superficie sferica concava.
Se il movimento dell'utensile è un arco di circonferenza da bordo a bordo, risulta ancora una fetta sferica.
La domanda è: quale movimento di superficie deve fare l'utensile per ottenere una superficie paraboidale?
Stupidamente parlando, se la curva che l'utensile fa sulla superficie del vetro è una parabola come risulterà lo specchio in 3D? un paraboloide?
Sto cercando di dare una risposta con le poche nozioni di analisi uno ma non trovo pace.
Inoltre vorrei provare ad aiutarmi anche con Mathcad.
Il ragionamento che sto costruendo è pressapoco questo:
1-Dopo aver trovato una funzione che mi descrive la parabola("di superficie") ripetuta n volte in R, la descrivo come funzione parametrica in modo da "avvolgerla" rispetto un centro O.
2-Successivamente considerando ogni singolo punto della superficie x.y a se stante. Costruisco la sommatoria delle volte che la funzione passa per quel punto.
3-Visualizzo in 3D con mathcad mettendo in z il valore della sommatoria di ogni singolo punto x.y.
4-Confronto con un paraboloide 3D a valori simili (che per fortuna nel tutorial di mathcad vi è scritto come costruire
)
Chiaramente questo è il ragionamento, all'atto pratico i punti 1,2,3 mi sono ancora diffici da superare.
Opinioni e suggerimenti, domande e chiarimenti anche se superflui sono sempre ben accetti.
Grazie in Anticipo
Federico
La costruzione di uno specchio newtoniano (superficie concava paraboloide) si divide in due fasi:
1)La costruzione della curva sferica.
2)La successiva parabolizzazione.
Mentre la prima fase puo' essere fatta a macchina, la seconda è piu' fine e necessita di continuo dell'intervento umano.
Quello che mi chiedo io è: possibile non si riesca a far fare tutto alla macchina?
Premesso questo vi espongo il problema matematico.
DATI:
Utensile che scava supposto puntiforme.
Disco di vetro(futuro specchio paraboloide concavo) con diametro a piacere.
Ora immaginiamo di mettere il disco in rotazione.
Se poggio l'utensile sulla superficie e lo muovo avanti e indietro per la lunghezza del diametro otterro', dopo diverso tempo, una "fetta" (perdonatemi il termine grezzo) di superficie sferica concava.
Se il movimento dell'utensile è un arco di circonferenza da bordo a bordo, risulta ancora una fetta sferica.
La domanda è: quale movimento di superficie deve fare l'utensile per ottenere una superficie paraboidale?
Stupidamente parlando, se la curva che l'utensile fa sulla superficie del vetro è una parabola come risulterà lo specchio in 3D? un paraboloide?
Sto cercando di dare una risposta con le poche nozioni di analisi uno ma non trovo pace.
Inoltre vorrei provare ad aiutarmi anche con Mathcad.
Il ragionamento che sto costruendo è pressapoco questo:
1-Dopo aver trovato una funzione che mi descrive la parabola("di superficie") ripetuta n volte in R, la descrivo come funzione parametrica in modo da "avvolgerla" rispetto un centro O.
2-Successivamente considerando ogni singolo punto della superficie x.y a se stante. Costruisco la sommatoria delle volte che la funzione passa per quel punto.
3-Visualizzo in 3D con mathcad mettendo in z il valore della sommatoria di ogni singolo punto x.y.
4-Confronto con un paraboloide 3D a valori simili (che per fortuna nel tutorial di mathcad vi è scritto come costruire
)Chiaramente questo è il ragionamento, all'atto pratico i punti 1,2,3 mi sono ancora diffici da superare.
Opinioni e suggerimenti, domande e chiarimenti anche se superflui sono sempre ben accetti.
Grazie in Anticipo
Federico
Risposte
Non ho idea di quale sia la precisione richiesta da lenti di questo tipo ma comunque non credo che una lavorazione fatta con una macchina costruita artigianalmente porti a qualcosa di decente 
A parte questo, giusto per esercizio, si può continuare.
Ammettiamo che sia valida l'ipotesi di Reye, ovvero che il volume di materiale asportato per usura è proporzionale al lavoro prodotto dalle forze di attrito.
Il volumetto infinitesimo di spessore dr da asportare al raggio r è dV = f(r)/n * dr 2 pi r
Se si considera il caso in cui l'utensile può solo spostarsi in direzione radiale rispetto al sistema di riferimento fisso, mentre il pezzo ruota, avremo che per una rotazione 'da' del pezzo la forza d'attrito avrà compiuto un lavoro pari a dL = F(r) r da (ammesso che lo spostamento radiale sia trascurabile rispetto a quello tangenziale) e quindi, se dL e dV sono proporzionali, r si semplifica e risolvendo l'equazione si può ricavare r in funnzione dell'angolo a , che è quello che ci serve.
Come fa a venirti una fuunzione del genere
A parte questo, giusto per esercizio, si può continuare.
Ammettiamo che sia valida l'ipotesi di Reye, ovvero che il volume di materiale asportato per usura è proporzionale al lavoro prodotto dalle forze di attrito.
Il volumetto infinitesimo di spessore dr da asportare al raggio r è dV = f(r)/n * dr 2 pi r
Se si considera il caso in cui l'utensile può solo spostarsi in direzione radiale rispetto al sistema di riferimento fisso, mentre il pezzo ruota, avremo che per una rotazione 'da' del pezzo la forza d'attrito avrà compiuto un lavoro pari a dL = F(r) r da (ammesso che lo spostamento radiale sia trascurabile rispetto a quello tangenziale) e quindi, se dL e dV sono proporzionali, r si semplifica e risolvendo l'equazione si può ricavare r in funnzione dell'angolo a , che è quello che ci serve.
Ho trovato la funzione che mi descrive il tragitto sul piano x,y:
Come fa a venirti una fuunzione del genere
Ho trovato la funzione che mi descrive il tragitto sul piano x,y:
Ora in Z vorrei mettere il valore della frequenza assoluta con cui la funzione si presenta in quel determinato punto.
(per esempio: in (0,0) la funzione si presenta 4 volte)
Come posso fare usando mathcad?
Serve una funzione di probabilità? a due dimensioni?
quale tra le tante distribuzioni mi occore conoscere?
Di quale strumento matematico mi devo avvalere?
Grazie in anticipo
Federico
Ora in Z vorrei mettere il valore della frequenza assoluta con cui la funzione si presenta in quel determinato punto.
(per esempio: in (0,0) la funzione si presenta 4 volte)
Come posso fare usando mathcad?
Serve una funzione di probabilità? a due dimensioni?
quale tra le tante distribuzioni mi occore conoscere?
Di quale strumento matematico mi devo avvalere?
Grazie in anticipo
Federico
La vedo dura.
Problema:
Ho un'utensile puntiforme che si muove in linea retta, in modo radiale, su di un disco di raggio r=1, con velocità cos(r), dal centro all'esterno.
Il disco, contemporaneamente al movimento dell'utensile, ruota con velocità costante $omega$.
Qual'è la funzione che descrive lo spazio percorso (infinitesimale?) in funzione del raggio?
Se è utile:
La velocità relativa dell'utensile rispetto al disco si puo' calcolare facendo $sqrt(cos(r)^2+ (omega*r)^2)$ (somma vettoriale delle velocità)
Problema:
Ho un'utensile puntiforme che si muove in linea retta, in modo radiale, su di un disco di raggio r=1, con velocità cos(r), dal centro all'esterno.
Il disco, contemporaneamente al movimento dell'utensile, ruota con velocità costante $omega$.
Qual'è la funzione che descrive lo spazio percorso (infinitesimale?) in funzione del raggio?
Se è utile:
La velocità relativa dell'utensile rispetto al disco si puo' calcolare facendo $sqrt(cos(r)^2+ (omega*r)^2)$ (somma vettoriale delle velocità)
"nnsoxke":Tutti pezzi di recupero.
Bellissima quella macchina, il legno ci sta proprio bene
Modestamente si chiama arte del non sprecare.
La quantità del materiale da asportare f(r) non va moltiplicata per 2πr? cioè non è direttamente proporzionale
rispetto alla lunghezza della circonferenza?
Si f(r) va moltiplicata per 2 pi r
Questa è la macchina attuale:
http://www.youtube.com/watch?v=maphCsQAXSE
Bellissima quella macchina, il legno ci sta proprio bene
"nnsoxke":Faccio ancora fatica a capire il significato di s.
[size=150]f(r)/n = K Dt Dt= s/v(r) [/size]
Non mi sono spiegato molto bene : l'utensile in ogni istante asporta materiale da una piccola superficie di contatto finita che avrà una dimensione in direzione radiale, s è proprio questa dimensione; v(r) è la velocità dell'utensile in direzione radiale(ricordo che ho considerato il caso in cui l'utensile si sposta solo radialmente, per semplicità, non mi sembra che considerando altre traiettorie si abbiano effetti favorevoli se non quello di complicare notevolmente i calcoli).
s è costante a piacere? in pratica all'aumentare di v(r) (nel punto r) diminuisce l'intervallo di tempo Dt
in cui l'utensile sta su quel raggio?
La quantità del materiale da asportare f(r) non va moltiplicata per $2pir$? cioè non è direttamente proporzionale
rispetto alla lunghezza della circonferenza?
Siccome l'utensile si muove radialmente, e anche il disco si muove(ruota in maniera costante), la velocità relativa dell'utensile rispetto allo specchio non è data dalla somma vettoriale di v(r) tangenziale e v(r) radiale?
"nnsoxke":Sto lavorando uno specchio ma la configurazione è differente. A macchina sto costruendo uno specchio sferico che dovro' parabolizzare secondo movimenti particolari consigliati. Il mio intento è di modificare la macchina secondo un criterio logico
ma è la prima volta che fai una lavorazione del genere ?
Mi sono sbagliato la velocità che ti ho dato è quella della superficie di contatto quindi , in base alla forma dell'utensile e alla curvatura della superficie bisogna trovare la velocità dell'utensile... Poi c'è un altro problema: non credo che nella macchina si regoli la velocità dell'utensile e nemmeno la posizione in funzione del tempo , ma in funzione della rotazione del pezzo; la formula data (ingenuamente
Questa è la macchina attuale:
http://www.youtube.com/watch?v=maphCsQAXSE
Regolare la velocità dell'utensile è fattibile ma piu' laborioso e costoso. Ci vuole infatti un motore passo passo collegato ad un plc piuttosto potente, in cui do in input una funzione per regolarne la velocità.
La velocità di rotazione dello specchio é sempre costante.
L'utensile che deve asportare il materiale, per non consumarsi, dovrebbe essere piu' duro del vetro e del carburo di silicio(che è l'abrasivo che va interposto tra specchio e utensile).
Sicuramente c'è un materiale piu' duro solo che costa, ed è il diamante.
P.S.Nel video postato qui su, specchio e utensile sono di dimensioni uguali, e il risultato è che dopo tot passate ho due specchi sferici identici ma complementari.
Questa è una delle formule che stavo cercando!!
Ti volevo chiedere s è in pratica la circonferenza ad altezza (r)? cioè è lo spazio totale da percorrere con quel raggio?
Dt=2π⋅rv(r) con v(r) velocità tangenziale?
Non mi sono spiegato molto bene : l'utensile in ogni istante asporta materiale da una piccola superficie di contatto finita che avrà una dimensione in direzione radiale, s è proprio questa dimensione; v(r) è la velocità dell'utensile in direzione radiale(ricordo che ho considerato il caso in cui l'utensile si sposta solo radialmente, per semplicità, non mi sembra che considerando altre traiettorie si abbiano effetti favorevoli se non quello di complicare notevolmente i calcoli).
L'ideale sarebbe poter costruire un paraboloide partendo dal disco "pieno" ossia da zero.
Questo cambia solo la f(r), invece di fare la differenza tra sfera e paraboliode si fa tra piano e paraboloide.
L'utensile infatti volevo considerarlo, inizialmente, per semplicità, un punto.
in realtà è un'altro disco di vetro che solitamente ha dimensioni ridotte variabili,(c'è chi dice 3/4 la superficie dello specchio, chi 4/5, chi da un range... insomma tutti dati approssimati a spanne...)
ma è la prima volta che fai una lavorazione del genere ?
Mi sono sbagliato la velocità che ti ho dato è quella della superficie di contatto quindi , in base alla forma dell'utensile e alla curvatura della superficie bisogna trovare la velocità dell'utensile... Poi c'è un altro problema: non credo che nella macchina si regoli la velocità dell'utensile e nemmeno la posizione in funzione del tempo , ma in funzione della rotazione del pezzo; la formula data (ingenuamente
) si riferisce al caso in cui la velocità di rotazione è costante, però da questa puoi sempre ricavarti il raggio in funzione dell'angolo di rotazione.L'utensile inoltre si consuma in maniera opposta.(cioè diventa uno specchio sferico convesso)
Si fa molto complicata la situazione ... perchè per lavorare il vetro si utilizza il vetro ?
"nnsoxke":Questa è una delle formule che stavo cercando!!
f(r)/n = K Dt Dt= s/v(r)
Dove n è il numero di passate , Dt è l'intervallo di tempo (finito) in cui l'utensile lavora ad un dato raggio, K credo che si possa considerare costante (come prima), s è la dimensione in direzione radiale della zona in cui l'utensile lavora, v(r) è la velocità dell'utensile in funzione del raggio.
Ti volevo chiedere s è in pratica la circonferenza ad altezza (r)? cioè è lo spazio totale da percorrere con quel raggio?
Dt=$(2pi*r)/(v(r))$ con v(r) velocità tangenziale?
"nnsoxke":L'ideale sarebbe poter costruire un paraboloide partendo dal disco "pieno" ossia da zero.
Hai detto anche che vorresti ottenere un paraboloide partendo da una sfera a quanto ho capito.
"nnsoxke":Qui hai toccato un tasto dolente..
Bisogna vedere anche come è fatto l'utensile per rispondere con più precisione perchè K potrebbe dipendere dal raggio , visto che la tangente alla curva cambia direzione con il raggio.
L'utensile infatti volevo considerarlo, inizialmente, per semplicità, un punto.
in realtà è un'altro disco di vetro che solitamente ha dimensioni ridotte variabili,(c'è chi dice 3/4 la superficie dello specchio, chi 4/5, chi da un range... insomma tutti dati approssimati a spanne...)
L'utensile inoltre si consuma in maniera opposta.(cioè diventa uno specchio sferico convesso)
Scusa ma quella formula non va bene
f(r)/n = K Dt Dt= s/v(r)
Dove n è il numero di passate , Dt è l'intervallo di tempo (finito) in cui l'utensile lavora ad un dato raggio, K credo che si possa considerare costante (come prima), s è la dimensione in direzione radiale della zona in cui l'utensile lavora, v(r) è la velocità dell'utensile in funzione del raggio.
f(r)/n = K Dt Dt= s/v(r)
Dove n è il numero di passate , Dt è l'intervallo di tempo (finito) in cui l'utensile lavora ad un dato raggio, K credo che si possa considerare costante (come prima), s è la dimensione in direzione radiale della zona in cui l'utensile lavora, v(r) è la velocità dell'utensile in funzione del raggio.
Messo che f(r) è la differenza tra sfera e paraboloide, la posizione radiale dell'utensile in funzione del tempo si può trovare in questo modo:
f(r) c dr=K dt
dove f(r) c dr è lo spessore infinitesimo (in funzione di r) asportato nel tempo dt e K credo che si possa considerare costante.
Bisogna vedere anche come è fatto l'utensile per rispondere con più precisione perchè K potrebbe dipendere dal raggio , visto che la tangente alla curva cambia direzione con il raggio.
f(r) c dr=K dt
dove f(r) c dr è lo spessore infinitesimo (in funzione di r) asportato nel tempo dt e K credo che si possa considerare costante.
Bisogna vedere anche come è fatto l'utensile per rispondere con più precisione perchè K potrebbe dipendere dal raggio , visto che la tangente alla curva cambia direzione con il raggio.
Mi sembra di aver capito cosa chiedi... Dalla forza che l'utensile esercita sul pezzo (sull'utensile hai detto che c'è un peso) sei in grado di stimare lo spessore del materiale asportato ad ogni passata ;quindi non hai la possibilità di controllare direttamente la posizione lungo z dell'utensile, ma puoi solo controllare in seguito con altri strumenti la precisione della lavorazione.
Hai detto anche che vorresti ottenere un paraboloide partendo da una sfera a quanto ho capito.
Premetto che non ho nessuna esperienza per quanto riguarda le lavorazioni , comunque io procederei in questo modo:
ti calcoli la differenza tra superficie sferica e paraboloide in funzione del raggio, ovvero lo spessore di materiale (in direzione z) che devi asportare; mettiamo che l'utensile lo fai spostare lungo la direzione radiale ovvero lungo una retta, quindi ti devi calcolare la sua posizione in funzione del tempo affinchè si arrivi ad un paraboloide.
Lo spessore medio di materiale asportato ad un certo raggio dipende da quanto tempo l'utensile lavora in corrispondenza di quel raggio, quindi ti puoi trovare questa funzione del tempo conscendo lo spessore totale da asportare.
Hai detto anche che vorresti ottenere un paraboloide partendo da una sfera a quanto ho capito.
Premetto che non ho nessuna esperienza per quanto riguarda le lavorazioni , comunque io procederei in questo modo:
ti calcoli la differenza tra superficie sferica e paraboloide in funzione del raggio, ovvero lo spessore di materiale (in direzione z) che devi asportare; mettiamo che l'utensile lo fai spostare lungo la direzione radiale ovvero lungo una retta, quindi ti devi calcolare la sua posizione in funzione del tempo affinchè si arrivi ad un paraboloide.
Lo spessore medio di materiale asportato ad un certo raggio dipende da quanto tempo l'utensile lavora in corrispondenza di quel raggio, quindi ti puoi trovare questa funzione del tempo conscendo lo spessore totale da asportare.
"tony":L'asta è perpendicolare all'asse Z(come il giradischi).
ok, ma, dimmi:
come e a che cosa è fissato l'utensile?
è forse alla fine di un'asta rigida, una sorta di pendolo lungo quanto il raggio della sfera e incernierato in alto in un punto dell'asse z?
(Inoltre sopra l'utensile c'è generalmente un peso)
*Nelle macchine classiche in uso il movimento dell'utensile fisso all'asta descrive generalmente linee rette o archi di circonferenza, piu' o meno lunghi, passanti per il centro dello specchio o no.(registrabili a piacimento: per esempio, se devo scavare in centro per parabolizzare uno specchio sferico, imposto una corsa minore e piu' centrale... la macchina gira per alcuni minuti... faccio il controllo ottico... e analizzo gli eventuali altri errori prodotti, ripeto il tutto finchè lo specchio non è paraboloidale)*
E' assodato empiricamente che se percorro linearmente il diametro con l'utensile (n volte), (vedi grafico parametrico postato prima), se ne esce uno specchio sferico in 3D.
La domanda da un millione di dollari è:
come posso descrivere questo comportamento matematicamente?
"tony":Sulla differenza tra lo sferico e paraboidale non ho problemi.
ma il paraboloide ha curvatura decrescente allontanandosi dall'asse, e il centro di curvatura è sull'asse solo per il vertice del paraboloide, disassandosi man mano che ci se ne allontana.
fai due disegnini e quattro calcoli su una parabola z=r^2/4f, evidenziando le normali e le curvature in un paio di punti, e lo vedi immediatamente.
In ottica infatti è proprio qui il problema:
ABERRAZIONE SFERICA
I raggi provenienti dall'infinito si riflettono sullo specchio paraboidale e si concentrano in un unico punto, il Fuoco.
I raggi provenienti dall'infinito si riflettono sullo specchio sferico e si distribuiscono su una porzione dell'asse Z, creando una distorsione dell'immagine.
Chiaramente per telescopi a focali lunghe, la differenza è trascurabile
Ma a me interessano le focale corte
"tony":Avevo pensato anch'io a una soluzione del genere ma siccome la differenza tra sferico e parabolico è dell'ordine di qualche micron, e considerando solo l'elasticità dei materiali della macchina, diventa concretamente impossibile.
a questo punto, avresti bisogno di un cinematismo che, aumentando l'angolo, aumenti la lunghezza dell'asta e sposti il centro fuori dall'asse (bel problema per un allievo del corso di meccanica applicata alle macchine, se c'è ancora)
tony
ok, ma, dimmi:
come e a che cosa è fissato l'utensile?
è forse alla fine di un'asta rigida, una sorta di pendolo lungo quanto il raggio della sfera e incernierato in alto in un punto dell'asse z?
A)
se sì è chiaro che la punta rimane a distanza costante nel centro e che, muovendo l'asta in qualsiasi modo e in qualsiasi direzione si gratta lo specchio secondo una superficie sferica, di raggio di curvatura costante;
poi si abbassa il centro di un micron e si fa una successiva serie di grattate
ma il paraboloide ha curvatura decrescente allontanandosi dall'asse, e il centro di curvatura è sull'asse solo per il vertice del paraboloide, disassandosi man mano che ci se ne allontana.
fai due disegnini e quattro calcoli su una parabola z=r^2/4f, evidenziando le normali e le curvature in un paio di punti, e lo vedi immediatamente
a questo punto, avresti bisogno di un cinematismo che, aumentando l'angolo, aumenti la lunghezza dell'asta e sposti il centro fuori dall'asse (bel problema per un allievo del corso di meccanica applicata alle macchine, se c'è ancora)
B)
se no, descrivilo tu
tony
come e a che cosa è fissato l'utensile?
è forse alla fine di un'asta rigida, una sorta di pendolo lungo quanto il raggio della sfera e incernierato in alto in un punto dell'asse z?
A)
se sì è chiaro che la punta rimane a distanza costante nel centro e che, muovendo l'asta in qualsiasi modo e in qualsiasi direzione si gratta lo specchio secondo una superficie sferica, di raggio di curvatura costante;
poi si abbassa il centro di un micron e si fa una successiva serie di grattate
ma il paraboloide ha curvatura decrescente allontanandosi dall'asse, e il centro di curvatura è sull'asse solo per il vertice del paraboloide, disassandosi man mano che ci se ne allontana.
fai due disegnini e quattro calcoli su una parabola z=r^2/4f, evidenziando le normali e le curvature in un paio di punti, e lo vedi immediatamente
a questo punto, avresti bisogno di un cinematismo che, aumentando l'angolo, aumenti la lunghezza dell'asta e sposti il centro fuori dall'asse (bel problema per un allievo del corso di meccanica applicata alle macchine, se c'è ancora)
B)
se no, descrivilo tu
tony
"tony":
ogni riga di "x" rappresenta uno straterello di un micron asportato dall'utensile nel suo percorso orizzontale, rettilineo, radiale, cominciando dall'asse fino ad un raggio opportuno di cui do la formula, in funzione solo della lungh. focale della parabola e della distanza "z" dell'utensile dal vertice.
Questo è il caso di un marchingegno con "corsa dell'utensile variabile" e disco privo di dimensione (profondità rispetto allo schermo pc, per intenderci).
Nella macchina che costruisce gli specchi invece, l'utensile ha corsa fissa(va dal centro al bordo, radialmente, sempre).
E' assimilabile ad un giradischi, dove la puntina è l'utensile,
in cui la somma del movimento "radiale" della puntina piu' la rotazione mi da questo risultato:
Le "x" in pratica si dispongono su quella linea rossa.(al primo passaggio)
Dopo N passaggi con partenza dal centro e direzione differente(sempre pero' la stessa tipologia di curva) si otterrà uno specchio sferico.
"tony":Questo accade giustamente anche nella lavorazione a mano.
in questo caso dalla sfera si passa a un paraboloide allargando il bordo del cratere oppure approfondendone il vertice;
Come posso rappresentare questo specchio sferico in 3D in funzione della curva sopra disegnata?
"Pulcepelosa":
Mi sembra abbastanza evidente che non si capisce bene quello che cerco di chiedervi.
Ora... rovesciando il problema:...
scusa, hai ragione, non capisco bene e questo tuo chiarimento non mi ha giovato
ti mando una figura (banale) lentamente preparata per fare un passetto avanti.
è una sezione verticale assiale di mezzo specchio parabolico come lo immagino io.
ogni riga di "x" rappresenta uno straterello di un micron asportato dall'utensile nel suo percorso orizzontale, rettilineo, radiale, cominciando dall'asse fino ad un raggio opportuno di cui do la formula, in funzione solo della lungh. focale della parabola e della distanza "z" dell'utensile dal vertice.
il disegno descrive lo scavo del paraboloide "a gradini" cominciando dal pezzo pieno; tu invece dici che parti da uno scavo sferico;
in questo caso dalla sfera si passa a un paraboloide allargando il bordo del cratere oppure approfondendone il vertice; in ogni caso il lavoro dell'utensile seguirà le righe di "x" del mio disegno, o no?
^ z | sezione della cavità del paraboloide .xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx |xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx .xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx |xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx .xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx |xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx .xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx |xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx .xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx r=sqrt(4*z*f) |xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx (con f=dist. foc.) .xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx |xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx es. f=1000 mm, D~=12.5 cm: .xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx z=1 micron, r= 2 mm |xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx z=2 ", r= 2.83 mm .xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx z=999 ", r=63.21 mm |xxxxxxxxxxxxxxx z=1 mm, r=63.25 mm +---------------------------------------------------------------------- z=zero |
tony
Mi sembra abbastanza evidente che non si capisce bene quello che cerco di chiedervi.
Ora... rovesciando il problema:
Prendiamo una funzione semplice:
$y=sin(x)$ dominio $ x in RR$ ${ 0<=x<=3/2pi}$
Ogni valore di y è funzione di 1 o piu' punti del dominio.
Nella funzione precedente, in particolare
$ AA y:= (0 <= y < 1 )$ la y è funzione di 2 punti del dominio,
$ AA y:= (-1 <= y < 0) uuu (y=1)$ la y è funzione di un solo punto del dominio.
Se voglio rappresentare graficamente questo risultato con una formula in funzione di x:
$y_(1)(x_(1))=2 $ se $(0 <= x_(1) < 1)$
$y_(1)(x_(1))=1 $ se $(-1 <= x_(1) < 0) uuu (x_(1)=1)$
Come devo fare?
Che ente matematico devo usare?
Forse, prima di tutto, è possibile?
Grazie
Federico
Ora... rovesciando il problema:
Prendiamo una funzione semplice:
$y=sin(x)$ dominio $ x in RR$ ${ 0<=x<=3/2pi}$
Ogni valore di y è funzione di 1 o piu' punti del dominio.
Nella funzione precedente, in particolare
$ AA y:= (0 <= y < 1 )$ la y è funzione di 2 punti del dominio,
$ AA y:= (-1 <= y < 0) uuu (y=1)$ la y è funzione di un solo punto del dominio.
Se voglio rappresentare graficamente questo risultato con una formula in funzione di x:
$y_(1)(x_(1))=2 $ se $(0 <= x_(1) < 1)$
$y_(1)(x_(1))=1 $ se $(-1 <= x_(1) < 0) uuu (x_(1)=1)$
Come devo fare?
Che ente matematico devo usare?
Forse, prima di tutto, è possibile?
Grazie
Federico
X e Y descrivono il piano parallelo alla faccia del disco (faccia del disco disposta parallela a terra), Z è l'altezza e l'asse di rotazione del disco.
L'utensile deve descrivere una linea o curva sul piano X.Y "avanti e indietro"(questa punta, al suo passaggio, asporta parte del materiale dalla superficie circolare del vetro) e insieme alla rotazione del disco produce una sferica, paraboidale o altro.
Se ho capito bene, tu dici di descrivere una parabola in X.Z che, con la rotazione, mi darebbe una paraboloide.
Il problema è che la parabola da te descritta dovrebbe avere una precisione alta, con un errore massimo che si aggira intorno a qualche millesimo di millimetro.
Cosa che all'atto pratico diventa insuperabile.
La parabola del quesito invece è descritta sul piano X.Y.
In pratica l'utensile descrive una parabola su X.Y. scavando ad ogni passaggio, per esempio, 1 millesimo di millimetro sotto la punta.
Dopo numerosi andirivieni sulla parabola (mentre il disco sotto gira) quale superficie tridimensionale otterrò?
L'utensile deve descrivere una linea o curva sul piano X.Y "avanti e indietro"(questa punta, al suo passaggio, asporta parte del materiale dalla superficie circolare del vetro) e insieme alla rotazione del disco produce una sferica, paraboidale o altro.
Se ho capito bene, tu dici di descrivere una parabola in X.Z che, con la rotazione, mi darebbe una paraboloide.
Il problema è che la parabola da te descritta dovrebbe avere una precisione alta, con un errore massimo che si aggira intorno a qualche millesimo di millimetro.
Cosa che all'atto pratico diventa insuperabile.
La parabola del quesito invece è descritta sul piano X.Y.
In pratica l'utensile descrive una parabola su X.Y. scavando ad ogni passaggio, per esempio, 1 millesimo di millimetro sotto la punta.
Dopo numerosi andirivieni sulla parabola (mentre il disco sotto gira) quale superficie tridimensionale otterrò?
"Pulcepelosa":
...La domanda è: quale movimento di superficie deve fare l'utensile per ottenere una superficie paraboidale? Stupidamente parlando, se la curva che l'utensile fa sulla superficie del vetro è una parabola come risulterà lo specchio in 3D? un paraboloide?...
non capisco i tuoi vari altri punti, ma tento ugualmente una risposta.
non so se usiamo le stesse notazioni (l'asse z per me è l'asse di rotazione), ma se z=a+b*r^2 allora la superficie è quella di un paraboloide. vai tranquillo
(il più sarà pilotare l'utensile in modo da seguire la curva z=a+b*x^2; come si fa? con un profilo? racconta, non so niente di specchi fatti a macchina)
tony
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