Problema elementare difficile
Ecco un problema non collocabile in un forum specifico, perche' sebbene utilizzi argomenti appresi alle scuole superiori (o medie)
richiede una capacita' di riflessione elevata. Per questo viene proposto a studenti universitari o a persone gia' laureate in matematica, perche' la sua soluzione e' veramente difficile.
UNICA REGOLA: non utilizzare ne' la trigonometria ne' metodi analitici (geometria analitica e quant'altro) ma solo la geometria, cioe' proprieta' che si possono dedurre senza la trigonometria e la geometria analitica (per esempio, studio congruenze tra triangoli, Talete, Pitagora, rette parallele....).
ECCO IL TESTO:
sia dato un quadrato ABCD e sia P un punto interno al quadrato tale che gli angoli BAP e PBA siano di 15 gradi. (evidentemente P e' equidistante da A e B). Dimostrare che il triangolo CPD e' equilatero.
OSSERVAZIONE: l'inverso e' immediato da dimostrare: se per ipotesi CPD fosse equilatero, calcolando gli angoli si troverebbe subito che i due angoli sopra citati sono di 15 gradi. Ma adesso si chiede di dimostrare il viceversa.
Mi servono il maggior numero di dimostrazioni possibili, perche' questo si inquadra in un lavoro di didattica della matematica. Affinche' non vi influenziate a vicenda, vi chiederei un favore: chi trovasse una soluzione solo geometrica, per favore me la spedisca prima all'indirizzo bibliofilos@virgilio.it
e solo dopo una settimana la inserisca nel forum (altrimenti qualcuno prenderebbe spunto e si farebbe influenzare nell'approccio al problema).
Secondo le statistiche che mi hanno riferito, mediamente solo 2 laureati in matematica su 100 riescono a risolvere questo problema in una giornata. Gli altri impiegano diversi giorni, ma la stragande maggioranza non riesce proprio a risolverlo. Eppure, esistono soluzioni elementari del problema.
Fatemi sapere.
Buon lavoro a tutti
Ciao
richiede una capacita' di riflessione elevata. Per questo viene proposto a studenti universitari o a persone gia' laureate in matematica, perche' la sua soluzione e' veramente difficile.
UNICA REGOLA: non utilizzare ne' la trigonometria ne' metodi analitici (geometria analitica e quant'altro) ma solo la geometria, cioe' proprieta' che si possono dedurre senza la trigonometria e la geometria analitica (per esempio, studio congruenze tra triangoli, Talete, Pitagora, rette parallele....).
ECCO IL TESTO:
sia dato un quadrato ABCD e sia P un punto interno al quadrato tale che gli angoli BAP e PBA siano di 15 gradi. (evidentemente P e' equidistante da A e B). Dimostrare che il triangolo CPD e' equilatero.
OSSERVAZIONE: l'inverso e' immediato da dimostrare: se per ipotesi CPD fosse equilatero, calcolando gli angoli si troverebbe subito che i due angoli sopra citati sono di 15 gradi. Ma adesso si chiede di dimostrare il viceversa.
Mi servono il maggior numero di dimostrazioni possibili, perche' questo si inquadra in un lavoro di didattica della matematica. Affinche' non vi influenziate a vicenda, vi chiederei un favore: chi trovasse una soluzione solo geometrica, per favore me la spedisca prima all'indirizzo bibliofilos@virgilio.it
e solo dopo una settimana la inserisca nel forum (altrimenti qualcuno prenderebbe spunto e si farebbe influenzare nell'approccio al problema).
Secondo le statistiche che mi hanno riferito, mediamente solo 2 laureati in matematica su 100 riescono a risolvere questo problema in una giornata. Gli altri impiegano diversi giorni, ma la stragande maggioranza non riesce proprio a risolverlo. Eppure, esistono soluzioni elementari del problema.
Fatemi sapere.
Buon lavoro a tutti
Ciao
Risposte
Salve di nuovo.
Volevoinformarvi che uno dei ragazzi ai quali e' stato sottoposto il problema, e che non aveva ancora visto questo sito,
mi ha dato una soluzione diversa ed anche molto semplice. Ho notato, invece, che c'e' una certa uniformita' in alcune delle soluzioni
che molto gentilmente mi avete spedito. E' un caso? O forse c'e' una sottile influenza nel vedere le soluzioni degli altri?
La soluzione nuova di cui vi parlo e' originale perche' non sfrutta le proprieta' dei triangoli ma introduce una cosa diversa (non posso essere piu' preciso per ora!).
Se volete mettere in rete le vostre soluzioni, ne avete il pieno diritto, ovviamente. Ma se voleste ritardare ancora la diffusione nel forum delle vostre soluzioni, mi aiutereste a raccogliere qualche altra soluzione di tipo diverso (per esempio, con il ponte dell'Immacolata 8/11 dicembre alcune scuole hanno ricevuto il nostroinvito di proporre questo problema ai loro studenti come compito a casa, quindi ci sarebbe speranza di allargare la varieta' delle soluzioni.) Fermo restando che, tra noi che ci siamo sentiti per email, possiamo tranquillamente scambiarcele. Chi le vuole, me lo dica cosi' gliele spedisco, insieme alla mia soluzione personale.
Chiedo scusa a quanti troveranno questo contrario allo spirito del forum . E' solo un ritardo per favorire la creativita' ed evitare uniformita' negli approcci al problema
Grazie a tutti quanti vorranno collaborare ancora. Fatemi sapere se volete gia' adesso tutte le soluzioni raccolte spedite alla vostra casella email.
Buon ponte a tutti
Ciao
Volevoinformarvi che uno dei ragazzi ai quali e' stato sottoposto il problema, e che non aveva ancora visto questo sito,
mi ha dato una soluzione diversa ed anche molto semplice. Ho notato, invece, che c'e' una certa uniformita' in alcune delle soluzioni
che molto gentilmente mi avete spedito. E' un caso? O forse c'e' una sottile influenza nel vedere le soluzioni degli altri?
La soluzione nuova di cui vi parlo e' originale perche' non sfrutta le proprieta' dei triangoli ma introduce una cosa diversa (non posso essere piu' preciso per ora!).
Se volete mettere in rete le vostre soluzioni, ne avete il pieno diritto, ovviamente. Ma se voleste ritardare ancora la diffusione nel forum delle vostre soluzioni, mi aiutereste a raccogliere qualche altra soluzione di tipo diverso (per esempio, con il ponte dell'Immacolata 8/11 dicembre alcune scuole hanno ricevuto il nostroinvito di proporre questo problema ai loro studenti come compito a casa, quindi ci sarebbe speranza di allargare la varieta' delle soluzioni.) Fermo restando che, tra noi che ci siamo sentiti per email, possiamo tranquillamente scambiarcele. Chi le vuole, me lo dica cosi' gliele spedisco, insieme alla mia soluzione personale.
Chiedo scusa a quanti troveranno questo contrario allo spirito del forum . E' solo un ritardo per favorire la creativita' ed evitare uniformita' negli approcci al problema
Grazie a tutti quanti vorranno collaborare ancora. Fatemi sapere se volete gia' adesso tutte le soluzioni raccolte spedite alla vostra casella email.
Buon ponte a tutti
Ciao
Ragazzi,
siete stati tutti bravi.
Non stupitevi del 2 %, per due motivi:
1) All'universita' si trascurano, e quindi si dimenticano, le nozioni di geometria piana, e ci si abitua
solo ad usare la trigonometria o la geometria analitica.
2) Le persone alle quali era stato sottoposto il problema, dovevano consegnarlo entro un ora.
Il giorno dopo, allla successiva lezione, la maggior parte ancora non l'aveva risolto.
Questo e' purtroppo naturale per l'universita'. Peggio ancora e' la geometria dello spazio quando viene trattata solo con strumenti geometrici elementari.
Qui c'e' un diffuso problema di percezione dello spazio.
Non stupitevi se vi dico che spesso i problemi di geometria piana e dello spazio sono piu' facili per i liceali che per gli universitari.
Grazie a tutti per la collaborazione.
Credo che possiate inserire gia' venerdi' prossimo le vostre soluzioni in rete. Vi anticipo che finora ne ho ricevuto tre tipi .
Non credo che esistano altri metodi elementari. Li vedremo e commenteremo dopo il ponte dell'Immacolata, cioe' la prossima settimana.
Un caro saluto a tutti gli appassionati matematici!
siete stati tutti bravi.
Non stupitevi del 2 %, per due motivi:
1) All'universita' si trascurano, e quindi si dimenticano, le nozioni di geometria piana, e ci si abitua
solo ad usare la trigonometria o la geometria analitica.
2) Le persone alle quali era stato sottoposto il problema, dovevano consegnarlo entro un ora.
Il giorno dopo, allla successiva lezione, la maggior parte ancora non l'aveva risolto.
Questo e' purtroppo naturale per l'universita'. Peggio ancora e' la geometria dello spazio quando viene trattata solo con strumenti geometrici elementari.
Qui c'e' un diffuso problema di percezione dello spazio.
Non stupitevi se vi dico che spesso i problemi di geometria piana e dello spazio sono piu' facili per i liceali che per gli universitari.
Grazie a tutti per la collaborazione.
Credo che possiate inserire gia' venerdi' prossimo le vostre soluzioni in rete. Vi anticipo che finora ne ho ricevuto tre tipi .
Non credo che esistano altri metodi elementari. Li vedremo e commenteremo dopo il ponte dell'Immacolata, cioe' la prossima settimana.
Un caro saluto a tutti gli appassionati matematici!
Senza voler sminuire il lavoro e l'impegno di nessuno, mi pare che
si stia facendo molto rumore per un problema che gia' e' apparso (ed e' stato risolto sia pure non in modo geometrico) su OLIFORUM.La risoluzione sintetica di problemi di questi tipo e di altri molto ma di molto piu' impegnativi e' un fatto normale sul suddetto Forum e l'affermazione di triangel che quello da lui proposto sia di grande difficolta' e risolubile appena da 2 (dico due!) laureati in matematica su 100 e' assai discutibile.Occorre andare su OliForum o su siti equivalenti per avere una reale panoramica di cosa sia un problema difficile!!
Archimede.
si stia facendo molto rumore per un problema che gia' e' apparso (ed e' stato risolto sia pure non in modo geometrico) su OLIFORUM.La risoluzione sintetica di problemi di questi tipo e di altri molto ma di molto piu' impegnativi e' un fatto normale sul suddetto Forum e l'affermazione di triangel che quello da lui proposto sia di grande difficolta' e risolubile appena da 2 (dico due!) laureati in matematica su 100 e' assai discutibile.Occorre andare su OliForum o su siti equivalenti per avere una reale panoramica di cosa sia un problema difficile!!
Archimede.
Allora Mamo, ho dimostrato la cosa in due modi e finalmente ho potuto leggere la tua dim.
bella! mi e' piaciuta.
le mie le postero' fra una settimana
ma, scusa se mi ripeto, la tu ami e' proprio piaciuta
ciao,
Giuseppe
bella! mi e' piaciuta.
le mie le postero' fra una settimana
ma, scusa se mi ripeto, la tu ami e' proprio piaciuta
ciao,
Giuseppe
Riuscendo a resistere alla tentazione di leggere la tua dimostrazione, voglio solo dire che non mi sembra contrario allo spirito del forum posticipare il tutto di una settimana....
Triangel non ha chiesto di non postare la dimostrazione, ma solo di aspettare
Personalmente mi e' dispiaciuto vedere che hai postato una dimostrazione...
ma questo e' il mio punto di vista personale...
ciao,
Giuseppe
Triangel non ha chiesto di non postare la dimostrazione, ma solo di aspettare
Personalmente mi e' dispiaciuto vedere che hai postato una dimostrazione...
ma questo e' il mio punto di vista personale...
ciao,
Giuseppe
"triangel":
.......
vi chiederei un favore: chi trovasse una soluzione solo geometrica, per favore me la spedisca prima all'indirizzo bibliofilos@virgilio.it
e solo dopo una settimana la inserisca nel forum (altrimenti qualcuno prenderebbe spunto e si farebbe influenzare nell'approccio al problema).
Ciao
Questo non mi sembra consono allo spirito del forum che è basato sul confronto delle idee. Inoltre è molto facile capire se una dimostrazione è influenzata da idee precedenti.
Io lo dimostrerei così:
Costruiamo due triangoli congruenti al triangolo isoscele ABP sui due lati adiacenti al lato AB ed interni al quadrato.
Essi saranno ADP' e BCP''.
Consideriamo il triangolo APP'. Esso è equilatero in quanto si ha AP = AP' per costruzione e l'angolo compreso PAP' = 60° per differenza di angoli noti.
Consideriamo ora il triangolo DPP'. Esso è isoscele in quanto si ha DP' = PP'.
L'angolo DP'P si trova per differenza di angoli noti. Si ha DP'P = 360 - 150° - 60° = 150° e perciò gli angoli alla base del triangolo DP'P sono uguali a (180° - 150°)/2 = 15°.
Si ha dunque che l'angolo PDC è 90° -15° - 15° = 60°.
Stesso ragionamento vale per dimostrare che anche l'angolo DCP = 60° per cui il triangolo DPC è equilatero.
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