Picard!

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Chi lo conosce? E' un metodo numerico per le equazioni differenziali lineari del primo ordine, il testo dice che è un potente strumento teorico, ma che funziona solo per valori prossimi alle condizioni iniziali, perché?

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Grazie Luca, questi temi mi interessano assai

[Sk_Anonymous]

Ma guarda, se vuoi una introduzione completa puoi guardare il Comincioli: Analisi Numerica, della Mc-Graw Hill.
Fa molto su tutti i problemi, tra cui equazioni ordinarie ed alle derivate parziali.

Ciao, Luca

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Grazie...sapresti indiucarmi un testo sull'argomento, ora mi sto dilettando con "equazioni differenziali" della Mac Graw Hill

[Sk_Anonymous]

Non conosco bene i metodi numerici per le equazioni differenziali, dovresti guardare su testi piu' specialistici, mi spiace.

Comunque e' corretto dire che il metodo di Picard e' limitato a vlaori molto viconi all'istante iniziale, poiche' le soluzioni che trovi con il metodo sono locali, e non globali; sono soluzioni solo in un intorno dell'istante. Ma non so quanto ampio sia tale intorno.

Luca.

[Sk_Anonymous]

x Joe

Ho sbagliato topic, non volevo postare in questo ma andata bene così

[GIOVANNI IL CHIMICO]

quote:

---

Originally posted by GIOVANNI IL CHIMICO

Mi sa che dovrò approfondire la dimostrazione di tale teorema, di cui conosco solo l'enunciazione...Ma la mia domanda ha origine dal fatto che il testo afferma che la validità pratica del metodo è limitata a valori di x molto vicini a x0, ad esempio se x0=0 x=0.2, e io mi chiedevo se ad esempio volessi il valore numerico per x=3, mi converrebbe questo metodo o eulero?

---

x cannigo Grazie del complimento, a me i fagiani sono sempre stati simpatici, cmq se non sai di che parliamo astieniti...[:)]

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Mi sa che dovrò approfondire la dimostrazione di tale teorema, di cui conosco solo l'enunciazione...Ma la mia domanda ha origine dal fatto che il testo afferma che la validità pratica del metodo è limitata a valori di x molto vicini a x0, ad esempio se x0=0 x=0.2, e io mi chiedevo se ad esempio volessi il valore numerico per x=3, mi converrebbe questo metodo o eulero?

[Sk_Anonymous]

Be', bastano le ipotesi del Teorema di esistenza ed unicita' locale! Il metodo di Picard non e' nient'altro che la tecnica dimostrativa del Teorema.

Luca.

[Sk_Anonymous]

Questo topic mi sembra la sagra del fagiano.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

E infatti il paragrafo successivo del libro parla proprio di quello! Ma io mi ponevo la quetione del campo di validità del metodo di Picard...

[Sk_Anonymous]

Quello che dici tu e' il metodo di punto fisso, classico metodo di soluzione numerica di un problema. L'iterazione che hai scritto e' il punto di partenza per la dimostrazione del Teorema di Cauchy di esistenza ed unicita' locale. Si cerca di mettersi nelle ipotesi del Teorema delle contrazioni.

... non so, io avevo sentito parlare in un corso del metodo di Picard come quello supponendo che la soluzione sia analitica... forse mi sbaglio o ricordo male. Comunque e' una bella idea anche il metodo che ti ho scritto sopra, sia che sia quello di Picard o no.

Ciao, Luca.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Sei sicuro? Il mio testo dice che il metodo é:
y1=y0+int(tra xo e x1)(f(x,y0)
iterato n volte sostituendo di volta in volta a yo l'y trovata precedentemente...

[Sk_Anonymous]

Sostanzialmente l'idea semplice che sta alla base del metodo e' questa: tentare di scrivere la soluzione dell'equazione differenziale data (per esempio del 1 ordine in forma normale,
y'(x)=f(x,y(x))
con dato y(0)=y_0) in serie di Taylor centrata in 0: ovvero, siccome la serie di Taylor e' una serie di potenze centrata in 0, mi basta sapere i coefficienti, e cioe' le derivate della y in 0; e queste le trovo iterando: so y(0), calcolo y'(0), poi y''(0), ecc... tutto mediante l'equazione data.

Questo metodo potrebbe funzionare se si sapesse in partenza che la soluzione e' analitica, ovvero sviluppabile in serie di potenze; cosa che invece in generale non e' vera.

Luca.