$pi$ è irrazionale

[pepitagold]

La seguente dimostrazione è di I.Niven ( A simple proof that $pi$ is irrational,in :Bulletin of American Mathematical Society ,1947) che ho ritrovato in un libro di analisi di E.Giusti.
Mi sembra di grande bellezza , così la trascrivo sperando di fare cosa gradita a chi ama la matematica.
Per assurdo :
$pi = a/b$ e sia $P(x)=(x^n (a-bx)^n)/(n!)$ in $[0,pi]$
$n$ è un numero che fisseremo in seguito
$P(x)$ ha un massimo in $pi/2=a/(2b)$
$P(a/(2b))= (pi^n a^n)/(4^n n!)

Consideriamo adesso quest'altro polinomio (gli apici indicano le derivate ) :
$Q(x)=P(x)-P^(II)(x)+P^(IV)(x)-P^(VI)(x)+...+(-1)^n P^(2n)(x)
e notiamo che $P(x)=Q^(II)(x)+Q(x)

Valutiamo adesso $P(x)$ e le sue derivate in $x=0$ tenendo presente che , essendo $P(x)=P(a/b -x)$
lo stesso avviene per $x=pi$
Avremo in definitiva :
$P^(i)(0) = P^(i)(pi) =0$ quando $ 0leile(n-1)$
$P^(i)(0) = P^(i)(pi)=$numero intero quando $n-1 $P^(i)(0) = P^(i)(pi)=0$ quando $i>2n$

Pertanto $Q(0) , Q(pi) $ sono interi.
Consideriamo ora questa derivata prima :
$[Q^(')(x)-Q(x)cosx]^(') =[Q^('')(x)+Q(x)]sinx=P(x)sinx$
Possiamo quindi scrivere :
$int_0^pi P(x)sinx dx=[Q^(')(x)sinx - Q(x)cosx]_0^pi = Q(pi)+Q(0) =$ intero

D'altra parte , per il massimo visto prima :
$0
Tenendo presente che l'ultimo termine converge a 0 , per n abbastanza grande potremo avere :
$0 Vale a dire un intero compreso fra 0 e 1 ,cioè la sospirata contraddizione !
(Spero non mi sia scappato qualche bug di scrittura)
ciao a tutti !

[Thomas16]

"pepitagold":
Valutiamo adesso $P(x)$ e le sue derivate in $x=0$ tenendo presente che , essendo $P(x)=P(a/b -x)$
lo stesso avviene per $x=pi$
Avremo in definitiva :
$P^(i)(0) = P^(i)(pi) =0$ quando $ 0leile(n-1)$
$P^(i)(0) = P^(i)(pi)=$numero intero quando $n-1 $P^(i)(0) = P^(i)(pi)=0$ quando $i>2n$

Solo una precisazione... in realtà è:

$P^(i)(\pi)=P^(i)(0)*(-1)^(i)$

cmq entrano in gioco solo $i$ pari... e quindi non cambia nulla...

[Thomas16]

bella! ti ringrazio pepitagold ! non mi pare usi nemmeno pesantemente le proprietà di $pi$... solo la possibilità di definire le funzioni seno e coseno con certe particolari proprietà...
può essere forse interessante cercare di capire per quali altri numeri la medesima tecnica dimostrativa porta a dimostrare l'irrazionalità!

[Luca.Lussardi]

Una dimostrazione più abbordabile che si fa ancora "con le mani" è quella dell'irrazionalità di $e$; la propongo come non facile esercizio.

Hint: si consideri la definizione di $e$ come sviluppo in serie.

[nato_pigro1]

"laura.todisco":[quote="Bruno"][quote="nato_pigro"]io conoscevo quella che per assurdo dice che se $pi=p/q$ allora dispari =pari.

Ciao, Nato_pigro
Può essere che ti abbia frainteso, ma non
riesco a immaginare una dimostrazione che
porti alla contraddizione a cui accenni.
Sei sicuro che riguardi pi greco e non invece
un radicale?[/quote]

Penso anch'io. Mi sembra la dimostrazione che $sqrt2$ è irrazionale.[/quote]

o, si certo... che sbadato... avete ragione voi.

[laura.todisco]

"Bruno":[quote="nato_pigro"]io conoscevo quella che per assurdo dice che se $pi=p/q$ allora dispari =pari.

Ciao, Nato_pigro
Può essere che ti abbia frainteso, ma non
riesco a immaginare una dimostrazione che
porti alla contraddizione a cui accenni.
Sei sicuro che riguardi pi greco e non invece
un radicale?[/quote]

Penso anch'io. Mi sembra la dimostrazione che $sqrt2$ è irrazionale.

[Bruno13]

"nato_pigro":io conoscevo quella che per assurdo dice che se $pi=p/q$ allora dispari =pari.

Ciao, Nato_pigro
Può essere che ti abbia frainteso, ma non
riesco a immaginare una dimostrazione che
porti alla contraddizione a cui accenni.
Sei sicuro che riguardi pi greco e non invece
un radicale?

[pepitagold]

azz... bug , la derivata prima era così :

$[Q^(')(x)sinx-Q(x)cosx]^(')

Sì , Lindemann , ma la dimostrazione è un vero casino...

[nato_pigro1]

io conoscevo quella che per assurdo dice che se $pi=p/q$ allora dispari =pari.

E poi, riguardo a $pi$, chi è hce aveva dimostrato che $pi$ è trascendente? direi Lindemann, ma non sono sicuro...