Non linearità, termine ambiguo e poco conosciuto??

[oldman1]

Il termine “lineare” è definito in matematica come combinazione lineare, somma di elementi di un insieme, ognuno dei quali sia moltiplicato per un coefficiente costante, oppure, come è stato chiarito da Sergio nel suo Topic “Algebra lineare for dummies”, un insieme di elementi, detti vettori, che possono essere sommati tra loro e moltiplicati per uno scalare in modo tale che la somma di due vettori o la moltiplicazione di un vettore per uno scalare siano ancora elementi dell’insieme.

Come si può notare gli operatori lineari qui in gioco sono solo la somma vettoriale e il prodotto scalare (se non erro in Analisi vettoriale esiste un ulteriore operatore lineare e cioè il prodotto vettoriale).

Poiché credo sia oggi una esigenza improcrastinabile nel campo fisico-matematico la conoscenza più approfondita della non linearità proverò a darne una definizione (il fisico teorico e il matematico mi perdoneranno se non sono in grado di esprimermi in termini matematici, ma credo che la simbologia sia, in questo caso, carente e quindi mi sento scusato [1]).

Sono convinto che l’operatore non lineare sia semplicemente e solo il prodotto cartesiano di vettori.

E’ questa la definizione che sottopongo alla vostra critica e al vostro giudizio ed è in questo ambito che mi piacerebbe aprire un dibattito di approfondimento.
Sono intimamente convinto che sia questo un campo pieno di sorprese interessanti (i frattali ad esempio).

Che ne pensate???




[1] Non ne ho trovato traccia né nel campo dell’Algebra né in quello dell’Analisi vettoriale .

[oldman1]

"Rigel":Veramente la "non linearità" e i fenomeni non lineari sono ampiamente studiati sia in matematica che in fisica.
Se fai la ricerca di "nonlinear analysis" su google ottieni circa 8.660.000 risultati...

Non mi è molto chiaro cosa significhi la tua definizione di operatore non lineare.

[In genere in intende per operatore non lineare un operatore che non è (necessariamente) lineare.]

Mi sembra che il termine “non lineare” possa portare effettivamente ad ambiguità.

Il “nonlinear analysis” a cui ti riferisci riguarda principalmente lo studio “statico” delle strutture in meccanica non lineare, effettuato tramite equazioni differenziali, mentre, con questo Topic intendevo aprire un discorso sulla non linearità in regime non solo “statico” ma anche “dinamico”.

Mi riferisco ai problemi che si incontrano nella tecnica elettronica, riconducibili a pochi principi elementari tra i quali assumono importanza rilevante sia il “teorema di prostaferesi” (regime statico) che la “retroazione” (regime dinamico) [1].
E’ appunto riferendomi alla formula di Werner riguardante il problema di prostaferesi

$sin\alpha * sin\beta = 1/2(cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta))$,

dove la “moltiplicazione cartesiana di due vettori” viene trasformata in una semplice somma però di nuovi vettori, che volevo introdurre questo dibattito definendo così un “operatore non lineare”.

Sono convinto che sia proprio la mancanza di questo “operatore” la fonte di quella ambiguità che avevo già supposto nel titolo e che, c.v.d., mi è valso uno spostamento di sezione.

Nella tecnica elettronica il concetto di disequalizzazione (di ampiezza o di fase) è un fenomeno lineare e non porta degradamento del segnale, mentre una distorsione (di ampiezza o di fase) porta insorgenza di vettori spuri con relativo degrado del segnale.

Spero, con questo, di aver chiarito l’importanza di approfondimento del concetto “non linearità”, concetto che compare anche nella formula di Mandelbrot
$f(z):z=z^2+c$.




[1] Questi problemi possono essere risolti tramite l’introduzione della cosiddetta “funzione di trasferimento” (sia con la sua caratteristica che tramite la trasformata del Fourier o quella del Laplace).


[mod="gugo82"]Chiudo per abuso di bestialità matematiche e, soprattutto, della pazienza dell'utenza e dei moderatori.

Lo OP oldman è già stato sufficientemente richiamato in passato circa la correttezza e la fondatezza delle sue opinioni espresse sul forum.
Faccio di nuovo notare che in Matematica (lo so che è duro accettarlo per chi crede che essa sia solo un gioco linguistico in cui ognuno è libero di dire ciò che vuole) ogni termine, compreso "operatore nonlineare", ha una sua definizione precisa ed elaborata nel corso di anni, se non addirittura di decenni o secoli; chi si ostina ad ignorare questa realtà è condannato a sparare fesserie una dopo l'altra, come accade in questo thread.

Consiglio ad oldman di andare a prendere in libreria qualche libro che non tratti la matematica applicata di qualche decennio fa (cosa necessaria, visti suoi tipici riferimenti di carattere elettronico/meccanico), ma la matematica più o meno pura recente, in cui è palese il grande interesse per gli operatori non lineari (cfr. le equazioni di evoluzione governate dal $p$-laplaciano ed i problemi di elasticità non lineare ad esse connessi; le equazioni del tipo Monge-Ampère con applicazione in Geometria Differenziale; l'equazione Pucci; l'equazione di diffusione in mezzi porosi; l'equazione di Schrödinger nonlineare e le applicazioni in Meccanica Quantistica; le equazioni di Navier-Stokes e le applicazioni alla dinamica dei fluidi... Di roba ce n'è un botto, si potrebbe cominciare da qui).

Buona fortuna, con l'augurio che un po' di studio sia propedeutico a richiami meno frequenti su queste pagine.[/mod]

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]Sposto in generale. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]

[Rigel1]

Veramente la "non linearità" e i fenomeni non lineari sono ampiamente studiati sia in matematica che in fisica.
Se fai la ricerca di "nonlinear analysis" su google ottieni circa 8.660.000 risultati...

Non mi è molto chiaro cosa significhi la tua definizione di operatore non lineare.

[In genere in intende per operatore non lineare un operatore che non è (necessariamente) lineare.]