Morse-Sard

[Claudio Vidali]

Cerco un aiuto per risolvere il seguente "Esercizio" riportato nel libro "Facile come pigreco ?" di O. A. Ivanov sett. 2000 Bollati Boringhieri Pag. 214.
L'esercizio, apparentemente facile in quanto non viene fornito alcun aiuto palese, introduce il teroema di Morse-Sard.

Es. Sia f funz. derivabile con continuità in [a,b] e si consideri l'insieme f-1(0) (controimmagine di f) degli zeri di f. Dimostrare che se è f'(x) diverso da 0 per ogni x appartente a f-1(0) allora l'insieme f-1(o) è finito.

Ringrazio anticpatamente.
Claudio

[goblyn]

No hai ragione tale affermazione è in generale sbagliata. Per n=1 (come nel nostro caso) vale nella maggioranza dei casi... ci sono situazioni "patologiche" in cui non è vero, ma insomma... Ad esempio l'insieme dei razionali nell'intervallo [0;1] (che non è un insieme finito) ha (se non ricordo male) misura di Lebesgue nulla. Se si vuole essere rigorosi comunque quell'affermazione che avevo fatto è sbagliata per ogni n. Grazie della precisazione.



Modificato da - goblyn il 15/12/2003 21:37:56

[Claudio Vidali]

Utilizzando i tuoi suggerimenti (articolo compreso) e ricordi di analisi, ho rielaborato una versione "semplificata" applicandola al processo di suddivisione per dicotomia dell' intervallo.

Per assurdo se fossero infiniti gli elementi dell' insieme f-1(0) suddividendo l'intervallo in due parti uno dei due contiene infiniti elementi. Ripetendo l'operazione ottengo una successione di intervalli chiusi "incapsulati" la cui lunghezza tende a 0 e che individua un punto p.(nel k-esimo passaggio, indicato con [x,y]l'intervallo, si avrà |x-y|=|a-b|/2^k).
Poichè f'(x)<> 0 deve esistere un intorno I di p t.c. f(x)<>0 per ogni x appartenente a I e x<>p. Questo è in contraddizione con la costruzione di p.

Ultima domanda : perchè posso dire che un insieme è finito se sottoinsieme di un insieme di misura nulla ? (...!?..)
Grazie ancora

[goblyn]

Ho trovato questo documento. E' in inglese. A pagina 5 c'è il teorema del quale tut richiedi la dimostrazione. Ha un nome diverso ma è lo stesso. Per dire che l'insieme dev'essere finito, dice che è un sottoinsieme di un insieme con misura di Lebesgue nulla. E' un po' più generale ma va bene per il tuo caso. Basta porre (con la notazione di tale documento) n=1. Per la dimostrazione c'è un riferimento bibliografico [4] che ti può essere utile.



Modificato da - goblyn il 13/12/2003 17:20:30

Modificato da - goblyn il 13/12/2003 17:21:50

[goblyn]

Potresti procedere per assurdo. Supponiamo che ci siano infiniti x t.c f(x)=0. Allora, dal momento che l'insieme [a,b] è limitato, deve esistere un x0 punto di accumulazione per gli zeri di f. Ma allora, nell'intorno di x0, ci sono infiniti x t.c. f(x)=0. Essendo la f continua, in quell'intorno la f coincide con la funzione nulla e quindi f'(x)=0 nello stesso intorno. Il che è contro l'ipotesi.

Non sono stato rigoroso e ho scritto un po' di fretta... il punto debole potrebbe essere l'esistenza del punto di accumulazione... bisognerebbe essere un po' più precisi... prova a pensarci! ciao!

goblyn