Metodo di induzione

[vale1407]

sento spesso parlare dell'induzione...qualcuno di voi potrebbe spiegarmi in cosa consiste di preciso questo metodo?Perdonate la mia ignoranza!

[jack110]

diciamo che lo si può definire come un metodo di dimostrazione, che consiste in 3 fasi: si dimostra che una propietà P vale per il numero 1;si suppone che questa proprietà valga per i successivi n numeri(n è indefinito);si dimostra che la propsietà vale anche per l' n+1-esimo numero. Fatto questo, si può dire che la proprietà vale per 1 e per i suoi successori, e quindi vale per tutti i numeri...
ovviamente qui quando si parla di numeri, si intendono i naturali[:D]...
un esempio strausato: dimostrare che la somma dei primi n numeri naturali è S=n*(n+1)/2; innanzitutto la proprietà vale se n=1 (infatti viene S=1...); supponiamo che la proprietà valga per altri n numeri interi, a questo punto dobbiamo dimostrare che vale anche per l' n+1-esimo; in questo caso, la somma dei primi n+1 numeri interi è:
S(n+1)=S(n)+(n+1)----->S(n+1)=[n*(n+1)/2]+n+1, e facendo il denominatore comune ottieni:
S(n+1)=[n*(n+1) +2n+2]/2 cioè
S(n+1)=[n^2 +3n+2]/2
S(n+1)=(n+1)*(n+2)/2=(n+1)*(n+1+1)/2
e l' ultima formula è equivalente a n*(n+1)/2, solo che abbiamo sostituito a n, n+1...quindi abbiamo dimostrato che la proprietà vale anche per l' n+1-esimo numero, e in virtù del principio di induzione, possiamo affermare che la proprietà vale per tutti i numeri naturali...QED[:)]

ciao