Matematica quasi ...divertente

[Sk_Anonymous]

Dimostrare che per ogni intero positivo n
il numero:
5^n+2*3^(n-1)+1
e' divisibile per 8.
Ciao.

[fireball1]

Matematica alla Sapienza di Roma.

[iteuler]

@ fireball
Tocchi una ferita ancora dolente caro fireball, all' ultimo momento alcuni insuccessi "professionali" mi hanno convinto di non essere adatto a seguire matematica ... purtroppo ... per fartela breve mi sono iscritto a ing. informatica ( dopo che avevo già fatto la preiscrizione a mate ...)
e tu?

[fireball1]

Iteuler, alla fine cosa hai scelto di fare all'università? Matematica anche tu?

[iteuler]

5^n+2*3^(n-1)+1

Premessa:
gli uguali, se non diversamente indicato, vanno intesi come congruenze

step 1)
5=-3 (mod 8) di conseguenza 5^n=(3^n)*(-1)^n
2*3^(n-1)+1=2*3^(n-1)+1 (mod 8)

5^n+2*3^(n-1)+1=(3^n)*(-1)^n+2*3^(n-1)+1 (mod 8)
in altri termini le due espressioni qui sopra divise per 8 mi danno lo stesso resto

step 2)
Dimostriamo che questo resto è pari a 0
(3^n)*(-1)^n+2*3^(n-1)+1 --> 3^(n-1)*(3(-1)^n+2)+1

-se n è pari si ha
5*3^(2k-1)+1=-3*3^(2k-1)+1=-3^2k+1=-9^k+1=0 (mod 8)
è vero per tutti gli n pari

-se n è dispari si ha
(-3+2)*3^2k+1=-3^2k+1=-9^k+1=0 (mod 8)
è vero anche per tutti gli n dispari

[lollo861]

Prova per induzione