Matematica: creazione o scoperta 2
scusa la mia eventuale ignoranza, ammetto di non essere un esperto (mi manca un esame di logica 
), ma ho sempre pensato che la validità di un teorema dipenda fortemente dal sistema di assiomi in cui esso è immerso.
Volendo ritengo che sia facile costruire due semplici sistemi formali in cui un teorema valido nel primo non lo sia nel secondo
però, ripeto, non sono competente in materia quindi chiedo lumi a qualcuno più esperto
), ma ho sempre pensato che la validità di un teorema dipenda fortemente dal sistema di assiomi in cui esso è immerso.Volendo ritengo che sia facile costruire due semplici sistemi formali in cui un teorema valido nel primo non lo sia nel secondo
però, ripeto, non sono competente in materia quindi chiedo lumi a qualcuno più esperto
Risposte
"Gugo82":
[quote="remo"]ha ragione in un certo senso...
voler spiegare un assioma,sarebbe come voler spiegare il perchè della vita,in fondo!
noi comuni mortali non possiamo far altro che accettarli...ma badate:questa accettazione non è dogmatica come quella che può discendere dalle religione!
al fine dei conti,questi assiomi inspiegabili,producono calcoli e ragionamenti che trovano pieno riscontro nella realtà!
ed il bello è che sono completamente astratti!non esistono in natura...sono delle regolo fatte dall'uomo su misura,in base a quel che abbiamo attorno!
la pianta degli assiomi non esiste!siamo noi umani che li abbiamo creati a immagine e somiglianza di quello che osserviamo attorno a noi!
Dissento vivamente.
In natura non esiste alcunché di uguale ad una curva continua, ad esempio.[/quote]
Gugo...a volte mi sembra di parlare al vento...stiamo dicendo la stessa cosa!
la matematica descrive una curva tramite l'utilizzo di regole e formule...
la fisica prende tali deduzioni e le applica a problemi reali!
ovvio che mentre cammino per strada non vedo "curve" attorno a me,ma tali curve,descritte tramite il modello matematico,descrivono perfettamente l'evoluzione dei fenomeni che ci circondano nella vita quotidiana!
graficamente la posizione di un corpo che si muove con accellerazione costante,è descritta da una curva!
Dopo aver occupato una pagina intera con il mio commento all'articolo sulla costituzione (moderatori siate clementi 
)aggiungo qualche cosndierazione qui.
Essere discepoli di Marx o di Nietzsche è esattamente la stessa cosa perchè filosofia è l'amore per la conoscenza e non il contenuto o le considerazioni personali della conoscenza. Inoltre essere discepoli di questo o quel filosofo vuol dire condividere (per insegnamento) un metodo, una serie di convinzioni ma non certo l'intero pensiero perchè quella non è filosofia ma fanatismo, cioè il fenomeno che sfruttano i capi fondamentalisti (cattolici quanto musulmani o altri) e i vari duci, fuhrer e colleghi che porta tanta gente a rinunciare pigramente al proprio pensiero lasciando tale compito al capo. Cioè esattamente il contrario di ogni dottrina filosofica a cominciare dalla maieutica di Socrate. E non c'è grossa differenza tra matematica e filosofia (non solo storicamente) o scienze naturali. La diversità dei metodi di indagine è funzionale alla natura della ricerca. Tutte queste scienze hanno i loro assiomi (Goedel docet), ad esempio che la ricerca in questione e il linguaggio con cui viene svolta e comunicata abbiano senso, e il fatto di accettare o negare uno di questi assiomi nasce dalla consapevolezza dell'uomo moderno che in qualsiasi indagine la sensibilità di un uomo non può definire una mappa completa dello scibile. E' un po' come dire che non è possibile vedere contemporaneamente tutte le facce di un cubo a meno di barare e di accettare linee tratteggiate che rappresentino le facce nascoste o di rompere il cubo stesso e spalmarlo sul piano. Oppure deformare le facce dei poveri abitanti della Groenlandia o della Siberia su un planisfero.
Io vedo un assioma non come una restrizione ma come una cartello su un ponte di legno sopra un precipizio che ci assicura che il ponte è stabile, che la nostra analisi-descrizione non sfocerà in qualcosa tipo uno di quei disegni di Escher con le false assonometrie. E l'incompatibilità dei sistemi assiomatici non è una brutta cosa ma solo una "proiezione sui nostri sensi" dell'incommensurabilità della natura, del cosmo, dell'esistente con i nostri sensi stessi, che però ci dice che non possiamo vedere il cubo tutto insieme ma possiamo permetterci di "barare" cambiando noi punto di vista, senza dover deformare la realtà, e lasciare in pace i Siberiani che sono anche simpatici, povera gente, e che diamine!
Forse la libertà della scelta di un sistema assiomatico si può considerare come il fondamento liberale della scienza per cui l'importante è descrivere nel modo migliore l'oggetto dell'analisi e non dover far quadrare l'analisi stessa con dei principi fissati da qualcun altro (specie se con la Q maiuscola).
)aggiungo qualche cosndierazione qui. Essere discepoli di Marx o di Nietzsche è esattamente la stessa cosa perchè filosofia è l'amore per la conoscenza e non il contenuto o le considerazioni personali della conoscenza. Inoltre essere discepoli di questo o quel filosofo vuol dire condividere (per insegnamento) un metodo, una serie di convinzioni ma non certo l'intero pensiero perchè quella non è filosofia ma fanatismo, cioè il fenomeno che sfruttano i capi fondamentalisti (cattolici quanto musulmani o altri) e i vari duci, fuhrer e colleghi che porta tanta gente a rinunciare pigramente al proprio pensiero lasciando tale compito al capo. Cioè esattamente il contrario di ogni dottrina filosofica a cominciare dalla maieutica di Socrate. E non c'è grossa differenza tra matematica e filosofia (non solo storicamente) o scienze naturali. La diversità dei metodi di indagine è funzionale alla natura della ricerca. Tutte queste scienze hanno i loro assiomi (Goedel docet), ad esempio che la ricerca in questione e il linguaggio con cui viene svolta e comunicata abbiano senso, e il fatto di accettare o negare uno di questi assiomi nasce dalla consapevolezza dell'uomo moderno che in qualsiasi indagine la sensibilità di un uomo non può definire una mappa completa dello scibile. E' un po' come dire che non è possibile vedere contemporaneamente tutte le facce di un cubo a meno di barare e di accettare linee tratteggiate che rappresentino le facce nascoste o di rompere il cubo stesso e spalmarlo sul piano. Oppure deformare le facce dei poveri abitanti della Groenlandia o della Siberia su un planisfero.
Io vedo un assioma non come una restrizione ma come una cartello su un ponte di legno sopra un precipizio che ci assicura che il ponte è stabile, che la nostra analisi-descrizione non sfocerà in qualcosa tipo uno di quei disegni di Escher con le false assonometrie. E l'incompatibilità dei sistemi assiomatici non è una brutta cosa ma solo una "proiezione sui nostri sensi" dell'incommensurabilità della natura, del cosmo, dell'esistente con i nostri sensi stessi, che però ci dice che non possiamo vedere il cubo tutto insieme ma possiamo permetterci di "barare" cambiando noi punto di vista, senza dover deformare la realtà, e lasciare in pace i Siberiani che sono anche simpatici, povera gente, e che diamine!
Forse la libertà della scelta di un sistema assiomatico si può considerare come il fondamento liberale della scienza per cui l'importante è descrivere nel modo migliore l'oggetto dell'analisi e non dover far quadrare l'analisi stessa con dei principi fissati da qualcun altro (specie se con la Q maiuscola).
"franced":
[quote="gugo82"][quote="franced"]
La matematica è scoperta, non possiamo avere la presunzione di averla creata noi esseri umani.
Perchè?[/quote]
E' una mia convinzione dettata dal mio intuito.[/quote]
Ok, con gli atti di fede degli altri preferisco non interferire.
"gugo82":
[quote="franced"][quote="yinyang"]
mentre dimostrate teoremi sentite di "creare" strada facendo oppure di "scoprire" qualcosa che prima era solo celato, come nelle scienze sperimentali?
La matematica è scoperta, non possiamo avere la presunzione di averla creata noi esseri umani.[/quote]
Perchè?[/quote]
E' una mia convinzione dettata dal mio intuito.
"remo":
ha ragione in un certo senso...
voler spiegare un assioma,sarebbe come voler spiegare il perchè della vita,in fondo!
noi comuni mortali non possiamo far altro che accettarli...ma badate:questa accettazione non è dogmatica come quella che può discendere dalle religione!
al fine dei conti,questi assiomi inspiegabili,producono calcoli e ragionamenti che trovano pieno riscontro nella realtà!
ed il bello è che sono completamente astratti!non esistono in natura...sono delle regolo fatte dall'uomo su misura,in base a quel che abbiamo attorno!
la pianta degli assiomi non esiste!siamo noi umani che li abbiamo creati a immagine e somiglianza di quello che osserviamo attorno a noi!
Dissento vivamente.
In natura non esiste alcunché di uguale ad una curva continua, ad esempio.
"franced":
[quote="yinyang"]
mentre dimostrate teoremi sentite di "creare" strada facendo oppure di "scoprire" qualcosa che prima era solo celato, come nelle scienze sperimentali?
La matematica è scoperta, non possiamo avere la presunzione di averla creata noi esseri umani.[/quote]
Perchè?
"yinyang":
mentre dimostrate teoremi sentite di "creare" strada facendo oppure di "scoprire" qualcosa che prima era solo celato, come nelle scienze sperimentali?
La matematica è scoperta, non possiamo avere la presunzione di averla creata noi esseri umani.
ha ragione in un certo senso...
voler spiegare un assioma,sarebbe come voler spiegare il perchè della vita,in fondo!
noi comuni mortali non possiamo far altro che accettarli...ma badate:questa accettazione non è dogmatica come quella che può discendere dalle religione!
al fine dei conti,questi assiomi inspiegabili,producono calcoli e ragionamenti che trovano pieno riscontro nella realtà!
ed il bello è che sono completamente astratti!non esistono in natura...sono delle regolo fatte dall'uomo su misura,in base a quel che abbiamo attorno!
la pianta degli assiomi non esiste!siamo noi umani che li abbiamo creati a immagine e somiglianza di quello che osserviamo attorno a noi!
voler spiegare un assioma,sarebbe come voler spiegare il perchè della vita,in fondo!
noi comuni mortali non possiamo far altro che accettarli...ma badate:questa accettazione non è dogmatica come quella che può discendere dalle religione!
al fine dei conti,questi assiomi inspiegabili,producono calcoli e ragionamenti che trovano pieno riscontro nella realtà!
ed il bello è che sono completamente astratti!non esistono in natura...sono delle regolo fatte dall'uomo su misura,in base a quel che abbiamo attorno!
la pianta degli assiomi non esiste!siamo noi umani che li abbiamo creati a immagine e somiglianza di quello che osserviamo attorno a noi!
visto i discorsi vorrei citare il mio professore di geometria (tra l'altro ottimo matematico se non grande)quando ci ha descritto le caratteristiche degli assiomi:oltre alle solite cose scritte nei libri ,lui ha detto che gli assiomi devono essere esistenzialisti...a voi i commenti
"Sandokan.":
[quote="yinyang"][quote="Sandokan."]La matematica è, indipendentemente dalla scelta di questo o quell'altro sistema di assiomi.
che intendi dire esattamente?
che la matematica è una e una sola, indipendentemente dagli assiomi?[/quote]
Sì, esatto, hai colto bene il mio pensiero.[/quote]
Dipende dalla definizione di Matematica.
Se la Matematica è, come dice Russell, "l'insieme delle proposizioni nella forma <<$p$ implica $q$>>, dove $p$ e $q$ sono proposizioni contenenti una o più variabili, né $p$ né $q$ contenendo costanti che non siano costanti logiche" (da The principles of Mathematics, parte I - cap. I), allora il ruolo degli assiomi logici da cui parte la deduzione delle proposizioni <<$p$ implica $q$>> non è subito evidente ma è comunque presente nella misura in cui la scelta delle basi del ragionamento sono del tutto arbitrarie. Come mostrano la matematica intuizionista od il $Lambda$-calcolo, è possibile ottenere matematiche diverse sia cambiando gli assiomi logici sia cambiando i concetti fondamentali su cui si costruisce la teoria.
Se, però, Matematica è il corpo (anche non organico) di tutte le teorie derivanti da tutti i possibili insiemi di assiomi logici e concetti fondamentali, allora mi pare che essa sia unica.
Mi accorgo di non aver espresso con sufficiente chiarezza il mio punto di vista. Anche per rispondere all'obiezione di yinyang, farò l'esempio che segue.
Supponiamo di avere due sistemi di assiomi, $\mathcal A$ e $\mathcal A'$, e supponiamo che nel primo sistema sia vero il teorema $\mathcal T$, mentre in $\mathcal A'$ è vero non-$\mathcal T$. Potremmo ritenere, a questo punto, di aver costruito due matematiche difformi l'una dall'altra.
Supponiamo di avere due sistemi di assiomi, $\mathcal A$ e $\mathcal A'$, e supponiamo che nel primo sistema sia vero il teorema $\mathcal T$, mentre in $\mathcal A'$ è vero non-$\mathcal T$. Potremmo ritenere, a questo punto, di aver costruito due matematiche difformi l'una dall'altra.
Secondo me la matematica è un'invenzione dell'uomo e un'arte soprattutto... non serve per descrivere il mondo come dicono molti... questo magari all'inizio, con la geometria euclidea, ma poi? ci sono un sacco di cose in matematica che non hanno nessuna applicazione fisica, chimica... come diceva qualcuno... solo che magari non le fanno studiare in ingegneria!
Il punto è: cos'è la matematica?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Si parte da un sistema di assiomi e si dimostrano teoremi che seguono da questi, è quindi ovvio che cambiando gli assiomi cambia la teoria.
Il punto è: cos'è la matematica?
Si parte da un sistema di assiomi e si dimostrano teoremi che seguono da questi, è quindi ovvio che cambiando gli assiomi cambia la teoria.
Io penso che la matematica sia un'entità astratta massimamente perfetta, eterna,infinita, immutabile, incorruttibile, simmetrica, armoniosa,identificabile in dio, tutto è matematizzabile, la struttura della natura è essenzialmente matematica, per cui penso che questa non sia un'invenzione umana bensì un'entità che permea tutto l'universo e che l'uomo, in quanto essere razionale, è riuscito a raggiungere e a 'scoprire'.
non capisco perché dite tutti che se cambio gli assiomi cambia la matematica. io intendo con matematica l'insieme di varie teorie (assiomatiche). la matematica che ci insegnano comprende la geometria euclidea e le geometrie non euclidee. non è che se domani mi invento una nuova geometria sto 'cambiando' la matematica, semmai la sto espandendo, o meglio: sto espandendo la quantita di matematica che è nota al genere umano.
semmai una teoria è una cosa che si crea. la creiamo per rendere comprensibili dei concetti che scopriamo essere veri. dove con veri intendo, dimostrabilmente derivabili da altri.
chi non è d'accordo con me mi contatti, risolveremo la questione a pugni e sprangate. 
semmai una teoria è una cosa che si crea. la creiamo per rendere comprensibili dei concetti che scopriamo essere veri. dove con veri intendo, dimostrabilmente derivabili da altri.
chi non è d'accordo con me mi contatti, risolveremo la questione a pugni e sprangate.
"yinyang":
scusa la mia eventuale ignoranza, ammetto di non essere un esperto (mi manca un esame di logica
Volendo ritengo che sia facile costruire due semplici sistemi formali in cui un teorema valido nel primo non lo sia nel secondo
Questo è certo, ma non sarebbe lo stesso teorema che formalmente.
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