Lunghezza di una linea
sicuramente esiste già però boh, comunque ho trovato una formulina che permette di trovare la lunghezza di una curva (mia prima scoperta, stappiamo le bottiglie di spumante se vi pace)
"Sia $f:[a,b]->RR$ tc $f\in\R([a,b])$ allora la lunghezza della curva ab è $int_a^b(sqrt((f'(x))^2+1)dx$
prima della dimostrazione ricordiamo questo piccolo Lemma di cui è stat fornita una dimostrazione in un post nella sezione università
Lemma: $int_a^bf(x)=lim_(nto+oo)(b-a)/nsum_(k=0)^nf(a+(b-a)/nk))$
dimostrazione (spero senza disegno si capisca ugualemnete):
consideriamo un trapezoide generico facende parte di una partizione dell'intervallo [a,b]; allora consideriamo il triangolino di altezza $|f(x+Deltax)-f(x)|$ e di lunghezza $Deltax$ tale che $Deltax=(b-a)/n$.
allora questo è un triangolo rettangolo e l'ipotenusa è data da $sqrt((f(x+Deltax)-f(x))^2+Deltax^2)=Deltaxsqrt(((f(x+Deltax)-f(x))/(Deltax))^2+1)
quindi possiamo sommare tutta sta roba su tutti i trapezoidi che compongono la nostra partizione nell'intervallo [a,b] ottenedo $Deltaxsum_(k=0)^nsqrt(((f(x+(b-a)/nk)-f(x))/(Deltax))^2+1)
passando ai limiti ottengo $lim_(nto+oo)Deltaxsum_(k=0)^nsqrt(((f(x+(b-a)/nk)-f(x))/(Deltax))^2+1)$, con $x\in[a,b]$; per il lemma indicato prima questo non è altro che $int_a^b(sqrt((f'(x))^2+1)dx$.
cvd
certo non è molto bella come dimostrazione, però il suo perhè ce l'ha.. distruggetemi le mie follie ora
ciaoo
"Sia $f:[a,b]->RR$ tc $f\in\R([a,b])$ allora la lunghezza della curva ab è $int_a^b(sqrt((f'(x))^2+1)dx$
prima della dimostrazione ricordiamo questo piccolo Lemma di cui è stat fornita una dimostrazione in un post nella sezione università
Lemma: $int_a^bf(x)=lim_(nto+oo)(b-a)/nsum_(k=0)^nf(a+(b-a)/nk))$
dimostrazione (spero senza disegno si capisca ugualemnete):
consideriamo un trapezoide generico facende parte di una partizione dell'intervallo [a,b]; allora consideriamo il triangolino di altezza $|f(x+Deltax)-f(x)|$ e di lunghezza $Deltax$ tale che $Deltax=(b-a)/n$.
allora questo è un triangolo rettangolo e l'ipotenusa è data da $sqrt((f(x+Deltax)-f(x))^2+Deltax^2)=Deltaxsqrt(((f(x+Deltax)-f(x))/(Deltax))^2+1)
quindi possiamo sommare tutta sta roba su tutti i trapezoidi che compongono la nostra partizione nell'intervallo [a,b] ottenedo $Deltaxsum_(k=0)^nsqrt(((f(x+(b-a)/nk)-f(x))/(Deltax))^2+1)
passando ai limiti ottengo $lim_(nto+oo)Deltaxsum_(k=0)^nsqrt(((f(x+(b-a)/nk)-f(x))/(Deltax))^2+1)$, con $x\in[a,b]$; per il lemma indicato prima questo non è altro che $int_a^b(sqrt((f'(x))^2+1)dx$.
cvd
certo non è molto bella come dimostrazione, però il suo perhè ce l'ha.. distruggetemi le mie follie ora
ciaoo
Risposte
Caro fu^2, conoscevo già la formula, c'era nel mio libro di analisi del liceo (il Ferrauto), ma la tua dimostrazione è molto più semplice, adatta anche per i miei studenti. Allora festeggiamo 
Mi pare di aver già visto questa formula per le curve non-parametriche rettificabili...
Complimenti per la dimostrazione!
Complimenti per la dimostrazione!
giusto nella foga di scrivere mi è sfuggita, ora ho coprretto.. poco male... per il resto cm ti sembra?
si festeggia?
si festeggia?
Ti sei perso un quadrato nella formula 
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