Limiti
Durante una lettura mi sono imbattuto nella ricerca del limite di queste somme
$1+1/2+1/3+1/4+$...$+1/n+$... e $1+1/4+1/9+1/16+$...$+1/n^2+$...
Se le mie note a proposito non sono errate, il limite della seconda per n che tende all'infinito è $(pi^2)/6.
Qualcuno più acculturato di me conosce per caso la dimostrazione di questo risultato ed, eventualmente, quella dell'altro.
Grazie 1000 in anticipo
$1+1/2+1/3+1/4+$...$+1/n+$... e $1+1/4+1/9+1/16+$...$+1/n^2+$...
Se le mie note a proposito non sono errate, il limite della seconda per n che tende all'infinito è $(pi^2)/6.
Qualcuno più acculturato di me conosce per caso la dimostrazione di questo risultato ed, eventualmente, quella dell'altro.
Grazie 1000 in anticipo
Risposte
"zorn80":
Che la prima serie (serie armonica) tenda a $+oo$ è immediato, infatti se con $S_n$ indico la somma parziale n-esima ho:
$|S_(2n) - S_n|=1/(n-1) + ... + 1/(2n)>=1/(2n)+...+1/(2n) = n/(2n) = 1/2$ e quindi non rispetta il criterio di convergenza di Cauchy
(non posso minorare lo scarto tra due termini con qualunque $epsilon$ per quanto elevato scelgo l'indice).
D'altra parte essa è monotona crescente quindi non può che divergere positivamente.
Per la seconda serie la dim. è più complicata, anche se molto bella!
Che la prima serie (serie armonica) tenda a $+oo$ è immediato, infatti se con $S_n$ indico la somma parziale n-esima ho:
$|S_(2n) - S_n|=1/(n-1) + ... + 1/(2n)>=1/(2n)+...+1/(2n) = n/(2n) = 1/2$ e quindi non rispetta il criterio di convergenza di Cauchy
(non posso minorare lo scarto tra due termini con qualunque $epsilon$).
D'altra parte essa è monotona crescente quindi non può che divergere positivamente.
Per la seconda serie la dim. è più complicata, anche se molto bella!
$|S_(2n) - S_n|=1/(n-1) + ... + 1/(2n)>=1/(2n)+...+1/(2n) = n/(2n) = 1/2$ e quindi non rispetta il criterio di convergenza di Cauchy
(non posso minorare lo scarto tra due termini con qualunque $epsilon$).
D'altra parte essa è monotona crescente quindi non può che divergere positivamente.
Per la seconda serie la dim. è più complicata, anche se molto bella!
"Benny":
Durante una lettura mi sono imbattuto nella ricerca del limite di queste somme
$1+1/2+1/3+1/4+$...$+1/n+$... e $1+1/4+1/9+1/16+$...$+1/n^2+$...
Se le mie note a proposito non sono errate, il limite della seconda per n che tende all'infinito è $(pi^2)/6.
Qualcuno più acculturato di me conosce per caso la dimostrazione di questo risultato ed, eventualmente, quella dell'altro.
Grazie 1000 in anticipo
Guarda qui (sarebbe lungo da trascrivere!
).
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