La matematica è una scienza esatta?
Ciao a tutti, mi scuso se ho sbagliato sezione ma sono nuovo:D
Durante una lezione di Analisi I ho avuto un dubbio particolare:
ci è stato infatti detto che il linguaggio matematico è un linguaggio rigoroso. Ogni concetto è infatti espresso attraverso altri concetti, fino ad arrivare a concetti primitivi (come per esempio gli insiemi) ovvero non riconducibili ad altri concetti più elementari.
Ma è davvero così? Ragionandoci sopra anche i concetti primitivi sono formati da delle definizioni composte da un insieme di parole, anch'esse con una definizione ben precisa (a sua volta formata da altre parole con altre definizioni, proseguendo teoricamente all'infinito).
Quindi arrivati ad un certo punto bisognerebbe per forza associare una determinata parola senza dover scomodare nuove definizioni. In questo modo però ognuno può avere una visione diversa rispetto al significato di una parola, creando quindi possibili incomprensioni.
Facendo una breve ricerca ho trovato una citazione di Russel: "Poiché tutti i termini che vengono definiti sono definiti con altri termini, è chiaro che la conoscenza umana dovrebbe continuamente accontentarsi di accettare alcuni termini come intelleggibili senza definizione per avere un punto di partenza per le proprie definizioni"
Cosa ne pensate a riguardo?
Durante una lezione di Analisi I ho avuto un dubbio particolare:
ci è stato infatti detto che il linguaggio matematico è un linguaggio rigoroso. Ogni concetto è infatti espresso attraverso altri concetti, fino ad arrivare a concetti primitivi (come per esempio gli insiemi) ovvero non riconducibili ad altri concetti più elementari.
Ma è davvero così? Ragionandoci sopra anche i concetti primitivi sono formati da delle definizioni composte da un insieme di parole, anch'esse con una definizione ben precisa (a sua volta formata da altre parole con altre definizioni, proseguendo teoricamente all'infinito).
Quindi arrivati ad un certo punto bisognerebbe per forza associare una determinata parola senza dover scomodare nuove definizioni. In questo modo però ognuno può avere una visione diversa rispetto al significato di una parola, creando quindi possibili incomprensioni.
Facendo una breve ricerca ho trovato una citazione di Russel: "Poiché tutti i termini che vengono definiti sono definiti con altri termini, è chiaro che la conoscenza umana dovrebbe continuamente accontentarsi di accettare alcuni termini come intelleggibili senza definizione per avere un punto di partenza per le proprie definizioni"
Cosa ne pensate a riguardo?
Risposte
"Overflow94":
Godel ha dimostrato che qualsiasi teoria matematica (cioè qualsiasi struttura assiomatica) ammette almeno un predicato indimostrabile. Anche dopo aver scelto degli assiomi e un linguaggio ci sarà sempre un predicato che possiamo formulare con quel linguaggio senza poter dimostrare che questo sia falso ( cioè che nega gli assiomi) o che sia vero (cioè che è un'implicazione degli assiomi). Un esempio nell'attuale teoria degli insiemi è l'ipotesi del continuo che si può dimostrare sia vera che falsa e quindi si può sviluppare due matematiche alternative elevando ad assioma il fatto che sia vero o meno.
Attento, l'ipotesi del continuo non è sia vera che falsa, ma è indipendente dagli altri assiomi. Questo non ha nulla a che fare con l'incompletezza che riguarda assiomi che sono veri o falsi ma per cui non potremo mai essere in grado di fornire una dimostrazione. Sono due concetti molto differenti. Perché in un caso possiamo aggiungere il teorema “indipendente” come assioma/postulato e proseguire su un sistema coerente. Nel secondo caso invece, nel caso lo facessimo ci potremmo trovare sia in un sistema coerente che in uno che non lo è, ma nota che non potremmo mai essere in grado di sapere in quale dei due casi ci troviamo (a meno di uscire dalla teoria e usarne un'altra). Insomma esiste una dimostrazione del fatto che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli altri assiomi (che io sappia, non mi sono mai interessato troppo alla questione).
La dimostrazione che il quinto postulato è indipendente dagli assiomi delle geometria sintetica è un teorema è può essere riscritto come “Le geometrie non-euclidee sono coerenti se e solo se lo è la geometria euclidea”. La dimostrazione nel caso del piano consiste nel costruire un modello di geometria, per esempio iperbolica, all'interno del piano euclideo (cerca il cerchio di Beltrami-Klein o quello di Poincaré per maggiori informazioni).
E' esattamente quello che non avrei voluto sentirmi dire ahah 
Grazie mille per la risposta, gentilissimo
Grazie mille per la risposta, gentilissimo
Il linguaggio serve per costruire un modello del mondo dentro di noi e di conseguenza ci permette di comunicare con chi condivide quel modello. Ma ogni forma di linguaggio è limitata, il logico/filosofo Ludwig Wittgenstein sosteneva che tutti i problemi metafisici (in sostanza tutte le domande che riguardano il "perché" invece che il "come") fossero giochi linguistici, paradossi che il linguaggio permette di formulare appunto perché imperfetto.
La matematica (intesa come linguaggio che si basa sui pochi "termini" della teoria degli insiemi e che si sviluppa tramite formule) ovviamente condivide lo stesso limite, insuperabile, basandosi sulla semantica (le idee "semplici" e primitive come il concetto di insieme non vengono definite) ma in parte cerca di superarlo fornendo un linguaggio che permette di fare modelli del mondo certamente più vicini alla "realtà" di quelli che potremmo fare con un "linguaggio umano", quindi è un linguaggio più rigoroso (per esempio sostituisce i concetti deboli, cioè privi di senso, del "perché" e anche del "come" con quelli più forti dell' "implicazione e dell'equivalenza logica").
Godel ha dimostrato che qualsiasi teoria matematica (cioè qualsiasi struttura assiomatica) ammette almeno un predicato indimostrabile. Anche dopo aver scelto degli assiomi e un linguaggio ci sarà sempre un predicato che possiamo formulare con quel linguaggio senza poter dimostrare che questo sia falso ( cioè che nega gli assiomi) o che sia vero (cioè che è un'implicazione degli assiomi). Un esempio nell'attuale teoria degli insiemi è l'ipotesi del continuo che si può dimostrare sia vera che falsa e quindi si può sviluppare due matematiche alternative elevando ad assioma il fatto che sia vero o meno.
Un altro esempio attuale è il quinto postulato di Euclide che non dipende dagli altri postulati della geometria Euclidea, esistono geometrie che lo negato e che per alcune applicazioni sono più adatte della geometria euclidea (se tu devi costruire una casa sulla terra oppure devi calcolare le implicazioni di alcuni fenomeni su distanze cosmiche potrebbero esistere due modelli diversi del mondo che si prestano meglio a un compito invece che a un altro).
(edit. preciso che il discorso sulle geometrie alternative non rientra nel discorso sul teorema di incompletezza di Godel, che riguarda espressamente solo teorie nelle quali è possibile definire l'insieme dei numeri naturali dotato della sua aritmetica, era solo un esempio che ho aggiunto come aneddoto per rendere meglio l'idea)
La matematica (intesa come linguaggio che si basa sui pochi "termini" della teoria degli insiemi e che si sviluppa tramite formule) ovviamente condivide lo stesso limite, insuperabile, basandosi sulla semantica (le idee "semplici" e primitive come il concetto di insieme non vengono definite) ma in parte cerca di superarlo fornendo un linguaggio che permette di fare modelli del mondo certamente più vicini alla "realtà" di quelli che potremmo fare con un "linguaggio umano", quindi è un linguaggio più rigoroso (per esempio sostituisce i concetti deboli, cioè privi di senso, del "perché" e anche del "come" con quelli più forti dell' "implicazione e dell'equivalenza logica").
Godel ha dimostrato che qualsiasi teoria matematica (cioè qualsiasi struttura assiomatica) ammette almeno un predicato indimostrabile. Anche dopo aver scelto degli assiomi e un linguaggio ci sarà sempre un predicato che possiamo formulare con quel linguaggio senza poter dimostrare che questo sia falso ( cioè che nega gli assiomi) o che sia vero (cioè che è un'implicazione degli assiomi). Un esempio nell'attuale teoria degli insiemi è l'ipotesi del continuo che si può dimostrare sia vera che falsa e quindi si può sviluppare due matematiche alternative elevando ad assioma il fatto che sia vero o meno.
Un altro esempio attuale è il quinto postulato di Euclide che non dipende dagli altri postulati della geometria Euclidea, esistono geometrie che lo negato e che per alcune applicazioni sono più adatte della geometria euclidea (se tu devi costruire una casa sulla terra oppure devi calcolare le implicazioni di alcuni fenomeni su distanze cosmiche potrebbero esistere due modelli diversi del mondo che si prestano meglio a un compito invece che a un altro).
(edit. preciso che il discorso sulle geometrie alternative non rientra nel discorso sul teorema di incompletezza di Godel, che riguarda espressamente solo teorie nelle quali è possibile definire l'insieme dei numeri naturali dotato della sua aritmetica, era solo un esempio che ho aggiunto come aneddoto per rendere meglio l'idea)
"vict85":
Direi prima di tutto che la matematica non è una scienza, se per scienza si intende un attività umana che arriva a creare nuove conoscenze attraverso il metodo scientifico. Infatti la matematica non usa il metodo scientifico.
Vero, errore mio
"vict85":
In un certo senso la matematica è indipendente dall'interpretazione che si da ai vari termini.
Non credo di aver capito in maniera corretta questa frase, riusciresti a riformularla in maniera migliore?
Scusami
Direi prima di tutto che la matematica non è una scienza, se per scienza si intende un attività umana che arriva a creare nuove conoscenze attraverso il metodo scientifico. Infatti la matematica non usa il metodo scientifico.
Detto questo, una assiomatizzazione non è dimostrabile, va presa per buona (o eventualmente puoi rifiutarla e usarne un'altra). Ma assiomatizzazioni e definizioni determinano sempre in modo univoco le operazioni che è possibile fare su un certo oggetto matematico. In un certo senso la matematica è indipendente dall'interpretazione che si da ai vari termini.
Detto questo, una assiomatizzazione non è dimostrabile, va presa per buona (o eventualmente puoi rifiutarla e usarne un'altra). Ma assiomatizzazioni e definizioni determinano sempre in modo univoco le operazioni che è possibile fare su un certo oggetto matematico. In un certo senso la matematica è indipendente dall'interpretazione che si da ai vari termini.
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