La fine dell'infinito
Recentemente ho letto un articolo su Internazionale intitolato appunto La fine dell'infinito; si discute ivi la possibilità di una Matematica che faccia a meno del concetto di infinito. L'articolo in lingua originale è questo. Che ne pensate?
Risposte
Hai ragione al 100% su tutto, sul piano strettamente razionale, ma se scopro che la metrica è aperta, non ho bisogno di esplorare tutto l'universo... io, che non sono così razionale, mi fido della sintesi che mi da la geometria.
Così, allo stesso modo e con la stessa disposizione d'animo, dico che i numeri naturali sono infiniti senza bisogno di contarli tutti ...
Così, allo stesso modo e con la stessa disposizione d'animo, dico che i numeri naturali sono infiniti senza bisogno di contarli tutti ...
"anonymous_af8479":
Allora, supponiamo che la metrica dello spazio sia stata dimostrata scientificamente essere aperta. Bene, allora dico che l'universo è infinito.
Supponiamo, invece, che la scienza abbia dimostrato che la metrica è chiusa. Allora dico che l'universo è finito. Però, potrei anche dire che il nostro è solo uno degli infiniti universi esistenti.
Conclusione, per me l'infinito fisico esiste e nessun giudice potrebbe dire che sono un bugiardo. Giusto?
Siamo nella fanta-matematica-fisica. Ad ogni modo, se io ti faccio una domanda su quanti miliardi di anni luce devo esplorare o quanti universi contare per trovare N atomi, con N molto grande, tu non sai rispondere, non hai un metodo per farlo semplicemente perché non sai se l'universo è infinito o no. In altri termini, dubito passeresti il test del mio tribunale: dovresti essere in grado di fornire approssimazioni sufficientemente grandi dell'universo infinito. Quindi potresti essere riconosciuto bugiardo, per quanto ne sappiamo.
Il punto, tuttavia, rimane che non è possibile sfruttare l'infinito attuale nella realtà. Non me ne faccio nulla di radice di 2, visto che comunque non è possibile misurare con precisione infinita. Il mondo come lo sfruttiamo noi, è così, punto. Se un giorno si inventerà un calcolatore capace di fare infinite operazioni in un secondo, allora riconoscerò che per noi l'infinito attuale esiste. Ma quel calcolatore sarebbe Dio, quindi mi aspetto di vederlo solo da morto
Allora, perchè sforzarsi a farne senza? Forse perchè così eliminerei i paradossi della matematica?
Perché l'infinito rende la matematica non costruttiva, e le teorie irrimediabilmente non costruttive rimangono un esercizio di linguaggio o un gioco, né più ne meno degli scacchi. Se si riuscirà a sostituire l'infinito interamente con il finito, l'insieme dei reali sarà classificato come letteratura fantasy. Ciò non vuol dire che non si possa comunque continuare a studiarlo e amarlo, no?
Illuminante, grazie fields!!!!
Allora, supponiamo che la metrica dello spazio sia stata dimostrata scientificamente essere aperta. Bene, allora dico che l'universo è infinito.
Supponiamo, invece, che la scienza abbia dimostrato che la metrica è chiusa. Allora dico che l'universo è finito. Però, potrei anche dire che il nostro è solo uno degli infiniti universi esistenti.
Conclusione, per me l'infinito fisico esiste e nessun giudice potrebbe dire che sono un bugiardo. Giusto?
Allora, perchè sforzarsi a farne senza? Forse perchè così eliminerei i paradossi della matematica?
Ma senza contraddizioni e paradossi, la vita cos'è?
Allora, supponiamo che la metrica dello spazio sia stata dimostrata scientificamente essere aperta. Bene, allora dico che l'universo è infinito.
Supponiamo, invece, che la scienza abbia dimostrato che la metrica è chiusa. Allora dico che l'universo è finito. Però, potrei anche dire che il nostro è solo uno degli infiniti universi esistenti.
Conclusione, per me l'infinito fisico esiste e nessun giudice potrebbe dire che sono un bugiardo. Giusto?
Allora, perchè sforzarsi a farne senza? Forse perchè così eliminerei i paradossi della matematica?
Ma senza contraddizioni e paradossi, la vita cos'è?
Agli infinitisti: che l'universo sia infinito o no, non ha alcuna importanza. Se infinito, noi ne sfrutteremo ad ogni istante una porzione finita. Non ci sarà mai un momento in cui, quindi, possa aver senso parlare di infinito attuale.
@anonymous_af8479
A me sembra che l'infinito veramente naturale sia quello potenziale, non quello attuale. Nessuno può visualizzare nella propria mente infiniti naturali in un colpo solo, ma tutti si possono immaginare una sequenza da esplorare ad libitum, che non ha confini chiusi, che può essere resa arbitrariamente lunga. Ecco, questa penso sia la nozione di infinito potenziale che abbia senso per una mente finita come la nostra. Ad ogni modo, come ho detto prima, gli insiemi infiniti rappresentabili con una procedura finita, come \(\displaystyle \mathbb{N} \) o come \(\displaystyle \pi \), possono essere accettati senza problemi.
Per quanto riguarda l'interpretazione dell'infinito in generale in matematica finitaria, si avvicina alla definizione standard che hai citato, ma è in un certo senso relativizzata. La posso descrivere in modo divulgativo, partendo un po' più da lontano, come segue.
La matematica finitaria è uno Stato di diritto in cui la menzogna non viene tollerata - è fuori legge. Se un matematico fa un'affermazione sospetta, viene accusato di mendacia e sottoposto a processo. Siccome siamo in uno Stato di diritto, il processo è giusto ed equo, in particolare:
- l'onere della prova spetta all'accusa, non alla difesa.
- l'imputato ha diritto a conoscere preventivamente le regole e il contenuto del dibattito.
Se l'imputato riesce a refutare l'accusa, la sua asserzione è "valida" - per il momento. Nulla vieta che in futuro un nuovo processo possa venire aperto.
Esempio 1. Immaginiamo che io dichiari di essere a conoscenza di una strategia vincente per il bianco nel gioco degli scacchi. La magistratura sente puzza di bruciato, e nomina un paio di periti, esperti di scacchi, e nel corso di un'udienza pubblica li mette a giocare contro di me. Ebbene, io, che non sono completamente idiota, sono comunque bravo - li batto. Ora, siccome le risorse del tribunale non sono illimitate, possono permettersi soltanto un maestro nazionale per cercare di battermi. Non ci riesce: sono assolto, la mia asserzione è temporaneamente un teorema.
Esempio 2. Dichiaro che N è primo, ma ho scelto N=PQ, con P e Q numeri primi distinti enormi. Chi riesce a fattorizzarlo. Nessuno. E se N passa anche il test di Fermat? Assolto.
Esempio 3. Dichiaro che X è infinito. Il tribunale nomina un perito che contesta l'infinitudine di X. Propone una procedura che refuti la mia affermazione. Questa procedura prende in ingresso una qualunque funzione iniettiva f: X-> X e un elemento b in X, e tenta di trovare un a in X tale che f(a)=b (i.e. tenta di dimostrare la surriettività di f). Perché il mio insieme X venga assolto dall'accusa di essere finito, è sufficiente che io approssimi X in modo da essere abbastanza grande, e la funzione f abbastanza complessa, e l'elemento b scelto in modo tale che il perito non trovi un a tale che f(a)=b. Assolto, se X è "abbastanza" infinito, pur non essendolo necessariamente.
In matematica finitaria, in generale, un'affermazione è vera, se è possibile difenderla contro ogni oppositore. Il dibattito ha però delle regole che fanno sì che molti concetti astratti e infinitari possono essere "difesi" in maniera costruttiva, in modo da aver sempre ragione in ogni dialogo finito. Questo però non implica la loro esistenza attuale, come in matematica classica.
@anonymous_af8479
A me sembra che l'infinito veramente naturale sia quello potenziale, non quello attuale. Nessuno può visualizzare nella propria mente infiniti naturali in un colpo solo, ma tutti si possono immaginare una sequenza da esplorare ad libitum, che non ha confini chiusi, che può essere resa arbitrariamente lunga. Ecco, questa penso sia la nozione di infinito potenziale che abbia senso per una mente finita come la nostra. Ad ogni modo, come ho detto prima, gli insiemi infiniti rappresentabili con una procedura finita, come \(\displaystyle \mathbb{N} \) o come \(\displaystyle \pi \), possono essere accettati senza problemi.
Per quanto riguarda l'interpretazione dell'infinito in generale in matematica finitaria, si avvicina alla definizione standard che hai citato, ma è in un certo senso relativizzata. La posso descrivere in modo divulgativo, partendo un po' più da lontano, come segue.
La matematica finitaria è uno Stato di diritto in cui la menzogna non viene tollerata - è fuori legge. Se un matematico fa un'affermazione sospetta, viene accusato di mendacia e sottoposto a processo. Siccome siamo in uno Stato di diritto, il processo è giusto ed equo, in particolare:
- l'onere della prova spetta all'accusa, non alla difesa.
- l'imputato ha diritto a conoscere preventivamente le regole e il contenuto del dibattito.
Se l'imputato riesce a refutare l'accusa, la sua asserzione è "valida" - per il momento. Nulla vieta che in futuro un nuovo processo possa venire aperto.
Esempio 1. Immaginiamo che io dichiari di essere a conoscenza di una strategia vincente per il bianco nel gioco degli scacchi. La magistratura sente puzza di bruciato, e nomina un paio di periti, esperti di scacchi, e nel corso di un'udienza pubblica li mette a giocare contro di me. Ebbene, io, che non sono completamente idiota, sono comunque bravo - li batto. Ora, siccome le risorse del tribunale non sono illimitate, possono permettersi soltanto un maestro nazionale per cercare di battermi. Non ci riesce: sono assolto, la mia asserzione è temporaneamente un teorema.
Esempio 2. Dichiaro che N è primo, ma ho scelto N=PQ, con P e Q numeri primi distinti enormi. Chi riesce a fattorizzarlo. Nessuno. E se N passa anche il test di Fermat? Assolto.
Esempio 3. Dichiaro che X è infinito. Il tribunale nomina un perito che contesta l'infinitudine di X. Propone una procedura che refuti la mia affermazione. Questa procedura prende in ingresso una qualunque funzione iniettiva f: X-> X e un elemento b in X, e tenta di trovare un a in X tale che f(a)=b (i.e. tenta di dimostrare la surriettività di f). Perché il mio insieme X venga assolto dall'accusa di essere finito, è sufficiente che io approssimi X in modo da essere abbastanza grande, e la funzione f abbastanza complessa, e l'elemento b scelto in modo tale che il perito non trovi un a tale che f(a)=b. Assolto, se X è "abbastanza" infinito, pur non essendolo necessariamente.
In matematica finitaria, in generale, un'affermazione è vera, se è possibile difenderla contro ogni oppositore. Il dibattito ha però delle regole che fanno sì che molti concetti astratti e infinitari possono essere "difesi" in maniera costruttiva, in modo da aver sempre ragione in ogni dialogo finito. Questo però non implica la loro esistenza attuale, come in matematica classica.
Ok, mi mancano un po' di nozioni di geometria riemanniana.
La curvatura dipende dal tensore metrico (ovvero i coefficienti della prima forma fondamentale), come dimostrò Gauss. Le formule di Weingarten dipendono anche dallo spazio in cui è immersa la varietà.
La geometria di Riemann, che si basa su Gauss, ignora completamente uno spazio contenitore. Ciò è straordinario e calza proprio a pennello. Per definire la curvatura del cronotopo non abbbiamo bisogno di uscire da esso e metterci in uno soazio che lo contiene !!!!
La geometria di Riemann, che si basa su Gauss, ignora completamente uno spazio contenitore. Ciò è straordinario e calza proprio a pennello. Per definire la curvatura del cronotopo non abbbiamo bisogno di uscire da esso e metterci in uno soazio che lo contiene !!!!
Aspetta, mi stai dicendo che la curvatura (di un punto) del cronotopo dipende dal modo in cui misuriamo la distanza tra i punti? Perché io ricordavo che la curvatura gaussiana di una superficie (immersa in \(\mathbb{R}^3\)) è pari al determinante dell'applicazione di Weingarten... che "dipende" dalla parametrizzazione della superficie stessa, ed è quindi un fatto "intrinseco".
Supposto che il cronotopo sia uno spazio a 4 dimensioni su cui sia possibile definire la possibilità di misurare la distanza fra due punti distini, si dice che abbiamo definito una metrica sul cronotopo.
Gauss dimostrò che la curvatura di uno spazio dipende dalla suddetta metrica. Se la curvatura è nulla, allora quello spazio è piatto. Se è positiva, allora quello spazio curvo è chiuso. Se è negativa, allora quello spazio curvo è aperto.
Esempio di uno spazio a 2 dimensioni piatto è il piano.
Esempio di uno spazio a 2 dimensioni chiuso è la superficie sferica.
Esempio di uno spazio a 2 dimensioni aperto è la superficie di un iperboloide di rotazione.
Il piano e l'iperboloide sono spazi infiniti ...
Gauss dimostrò che la curvatura di uno spazio dipende dalla suddetta metrica. Se la curvatura è nulla, allora quello spazio è piatto. Se è positiva, allora quello spazio curvo è chiuso. Se è negativa, allora quello spazio curvo è aperto.
Esempio di uno spazio a 2 dimensioni piatto è il piano.
Esempio di uno spazio a 2 dimensioni chiuso è la superficie sferica.
Esempio di uno spazio a 2 dimensioni aperto è la superficie di un iperboloide di rotazione.
Il piano e l'iperboloide sono spazi infiniti ...
@fields: ti ringrazio.
@anonymous_af8479: avresti voglia di spiegarmi brevemente (se possibile), magari in spoiler, cos'è la metrica del cronotopo e cosa significa per una metrica "essere aperta (o chiusa)"?
@anonymous_af8479: avresti voglia di spiegarmi brevemente (se possibile), magari in spoiler, cos'è la metrica del cronotopo e cosa significa per una metrica "essere aperta (o chiusa)"?
E se anche si riuscisse a dimostrare che la metrica è chiusa (curvatura positiva), per cui si potrebbe dire che l'universo è finito, uno potrebbe sempre pensare che il nostro universo è solo uno fra gli infiniti universi (teoria del multiverso).
Allora, dall'idea dell'infinito non ci libereremo mai, per cui tanto vale crederci ...
Allora, dall'idea dell'infinito non ci libereremo mai, per cui tanto vale crederci ...
Vorrei approfondire un attimo la possibilità di verificare empiricamente l'infinito.
Partendo dal presupposto che ci possa sempre rimanere un ragionevole dubbio, un modo sarebbe quello indiretto.
Se si riuscisse a verificare sperimentalmente che la metrica del cronotopo è euclidea o aperta (curvatura negativa) potremmo affermare che l'universo è verosimilmente e ragionevolmente infinito
Partendo dal presupposto che ci possa sempre rimanere un ragionevole dubbio, un modo sarebbe quello indiretto.
Se si riuscisse a verificare sperimentalmente che la metrica del cronotopo è euclidea o aperta (curvatura negativa) potremmo affermare che l'universo è verosimilmente e ragionevolmente infinito
I modelli cosmologici aperti di Friedman degli anni '20, se ricordo bene, sono infiniti...
Leq gravitazionale di Einstein, che regola tutti i discorsi di cosmologia relativistica, permettono spazi-tempo infiniti ...
Gli esempi della 'vita quoridiana' dettati dal buonsenso, purtroppo non sono sufficienti. Occorre la matematica e, in particolare in questo caso, la geometria differenziale che prevede tranquillamente varietà infinite.
Leq gravitazionale di Einstein, che regola tutti i discorsi di cosmologia relativistica, permettono spazi-tempo infiniti ...
Gli esempi della 'vita quoridiana' dettati dal buonsenso, purtroppo non sono sufficienti. Occorre la matematica e, in particolare in questo caso, la geometria differenziale che prevede tranquillamente varietà infinite.
"anonymous_af8479":
...Ma l'Universo è finito o infinito?
Da ignorante in materia, per me, l’universo per quanto enorme è finito.
Se è in continua espansione come può essere infinito? Magari sarà infinità la “struttura” che lo contiene.
Faccio un’analogia: se una macchia d’inchiostro si espande su un foglio di carta, come può essere questa macchia infinita? Se fosse infinita, avrebbe macchiato tutto il foglio di carta e non si espanderebbe più a meno che a essere infinito, è il foglio di carta.
Purtroppo, che l'infinito esista in natura, non è dimostrato. D'altra parte, come si può dimostrare sperimentalmente che un insieme è infinito?
Mi sa tanto che l'infinito sia un atto di fede, come Dio
Mi sa tanto che l'infinito sia un atto di fede, come Dio
L'infinito esiste in natura, non vedo perché non debba essere usato come concetto matematico. Oltretutto è proprio un bel concetto, racchiude intrinsecamente speranza, futuro, ignoto e allo stesso tempo maestoso e sublime.
Sono d'accordissimo con Arrigo, ben venga una matematica del finito, ma anche solo per motivi puramente estetici non posso fare a meno della matematica dell'infinito.
Grazie fields. Certe tribù sanno contare fino a 3 o 4 poi passano alla parola 'molti'. Anche molti animali ragionano così. Però tutti abbiamo in testa l'idea di infinito ed addirittura lo indichiamo con un simbolo...
D'accordo che per modellizzare la realtà basta accontentarsi col dire che infinito = un numero grande a piacere, a secondo della necessità, poi ci pensano i computers.
Però la definizione di insieme infinito (equipotente ad un suo sottoinsieme proprio) che cosa ha di sbagliato? Mi piacerebbe molto un tuo parere su questa definizione.
D'accordo che per modellizzare la realtà basta accontentarsi col dire che infinito = un numero grande a piacere, a secondo della necessità, poi ci pensano i computers.
Però la definizione di insieme infinito (equipotente ad un suo sottoinsieme proprio) che cosa ha di sbagliato? Mi piacerebbe molto un tuo parere su questa definizione.
Pardon per il ritardo.
Non so come si possa dare un'interpretazione veramente finitaria della teoria degli insiemi, non lo sa ancora nessuno. Per ora esistono tali interpretazioni per l'Analisi ordinaria (non funzionale). In questo caso, l'idea è che un insieme di naturali, ad esempio, si può approssimare tramite una funzione computabile. Il difficile è avere un linguaggio abbastanza potente per esprimere e calcolare tutte le approssimazioni che servono di tutti gli insiemi. La complessità delle approssimazioni richieste è incredibilmente enorme, perché dal punto di vista concreto stiamo approssimando concetti infinitari molto potenti. Ma le cose sono molto più sofisticate che in questa semplice spiegazione.
Non necessariamente. La matematica infinitaria diventerebbe una specie di "notazione", che semplificherebbe le scritture delle prove in matematica finitaria. Un po' come nei linguaggi di programmazione di alto livello: noi scriviamo programmi in un codice leggibile per l'essere umano, ma poi essi vengono tradotti nel linguaggio delle macchine che capiscono solo zeri e uni, per poter essere eseguiti. L'importante è aver trovato una simile traduzione: una volta stabilitane l'esistenza, possiamo andare avanti e indietro da un mondo all'altro in modo automatico. Il vantaggio? Che tutta la matematica diventa costruttiva, non mi sembra poco.
Ci si può divertire e sentire realizzati contando gli stuzzicadenti, giocando a scacchi, o enumerando i cardinali compresi tra quelli dei naturali e i reali. Personalmente, mi diverto con le ultime due. Mi piace anche la Divina Commedia, anche se tutti quei gironi non esistono. Questo però non mi importa. Io stavo parlando della distinzione tra cosa è gioco e cosa non lo è. Cosa riguarda la realtà e cosa no. Mi sembra fondamentale capirlo.
L'infinito non esiste nella nostra percezione delle cose, né negli oggetti che costruiamo, per cui per me non esiste. Ma non stavo parlando solo della realtà fisica, ne mi interessa parlare di fisica. Per me la matematica che esiste è quella che entra o potrebbe potenzialmente entrare nella nostra testa. I numeri naturali, le operazioni di addizione, moltiplicazione, la scomposizione in fattori primi, la crittografia, l''insieme delle possibili partite di scacchi, il grafo finito che rappresenta il neuroni del cervello umano, l'algoritmo che computa \(\displaystyle \pi \). Mi sembrerebbe affascinante poter dire: possiamo ottenere tutto, ma proprio tutto il finito, senza ricorrere all'infinito. Sarebbe una sorta di "completezza" della realtà.
"anonymous_af8479":
Bellissimo! Ma come è possibile costruire una teoria degli insiemi i cui elementi siano tutti finiti? Potresti dare una breve indicazione concettuale non tecnica?
Non so come si possa dare un'interpretazione veramente finitaria della teoria degli insiemi, non lo sa ancora nessuno. Per ora esistono tali interpretazioni per l'Analisi ordinaria (non funzionale). In questo caso, l'idea è che un insieme di naturali, ad esempio, si può approssimare tramite una funzione computabile. Il difficile è avere un linguaggio abbastanza potente per esprimere e calcolare tutte le approssimazioni che servono di tutti gli insiemi. La complessità delle approssimazioni richieste è incredibilmente enorme, perché dal punto di vista concreto stiamo approssimando concetti infinitari molto potenti. Ma le cose sono molto più sofisticate che in questa semplice spiegazione.
"Luca.Lussardi":
E' possibile che la matematica ordinaria si possa ridurre un giorno alla matematica del finito, ma a che prezzo? Io temo che le cose si complichino notevolmente a danno della comprensione
Non necessariamente. La matematica infinitaria diventerebbe una specie di "notazione", che semplificherebbe le scritture delle prove in matematica finitaria. Un po' come nei linguaggi di programmazione di alto livello: noi scriviamo programmi in un codice leggibile per l'essere umano, ma poi essi vengono tradotti nel linguaggio delle macchine che capiscono solo zeri e uni, per poter essere eseguiti. L'importante è aver trovato una simile traduzione: una volta stabilitane l'esistenza, possiamo andare avanti e indietro da un mondo all'altro in modo automatico. Il vantaggio? Che tutta la matematica diventa costruttiva, non mi sembra poco.
"Delirium":
@fields: Fammi capire: tu ne fai un discorso in qualche modo utilitaristico? Perché io personalmente non studio Matematica per dare una spiegazione alla realtà tangibile, quanto per fare qualcosa che va fatto (come scriveva qualcuno, forse Hardy) e per rendermi l'esistenza meno banale - ma questa è, per l'appunto, un'opinione. In parole povere: è un sollazzo, e un esercizio di stile lungo una vita (almeno spero).
Ci si può divertire e sentire realizzati contando gli stuzzicadenti, giocando a scacchi, o enumerando i cardinali compresi tra quelli dei naturali e i reali. Personalmente, mi diverto con le ultime due. Mi piace anche la Divina Commedia, anche se tutti quei gironi non esistono. Questo però non mi importa. Io stavo parlando della distinzione tra cosa è gioco e cosa non lo è. Cosa riguarda la realtà e cosa no. Mi sembra fondamentale capirlo.
"Delirium":
Peraltro cosa sappiamo, per esempio, dello Spazio e del Tempo? Se in qualche modo si dovesse provare che essi sono continui?
L'infinito non esiste nella nostra percezione delle cose, né negli oggetti che costruiamo, per cui per me non esiste. Ma non stavo parlando solo della realtà fisica, ne mi interessa parlare di fisica. Per me la matematica che esiste è quella che entra o potrebbe potenzialmente entrare nella nostra testa. I numeri naturali, le operazioni di addizione, moltiplicazione, la scomposizione in fattori primi, la crittografia, l''insieme delle possibili partite di scacchi, il grafo finito che rappresenta il neuroni del cervello umano, l'algoritmo che computa \(\displaystyle \pi \). Mi sembrerebbe affascinante poter dire: possiamo ottenere tutto, ma proprio tutto il finito, senza ricorrere all'infinito. Sarebbe una sorta di "completezza" della realtà.
La mia opinione è che il tempo non esiste come ente fisico (è una misura del movimento periodico, nonchè la nostra percezione psicologica del movimento), mentre lo spazio è un ente fisico discreto ma infinito.
@fields: Fammi capire: tu ne fai un discorso in qualche modo utilitaristico? Perché io personalmente non studio Matematica per dare una spiegazione alla realtà tangibile, quanto per fare qualcosa che va fatto (come scriveva qualcuno, forse Hardy) e per rendermi l'esistenza meno banale - ma questa è, per l'appunto, un'opinione. In parole povere: è un sollazzo, e un esercizio di stile lungo una vita (almeno spero).
Peraltro cosa sappiamo, per esempio, dello Spazio e del Tempo? Se in qualche modo si dovesse provare che essi sono continui?
Peraltro cosa sappiamo, per esempio, dello Spazio e del Tempo? Se in qualche modo si dovesse provare che essi sono continui?
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