La fine dell'infinito
Recentemente ho letto un articolo su Internazionale intitolato appunto La fine dell'infinito; si discute ivi la possibilità di una Matematica che faccia a meno del concetto di infinito. L'articolo in lingua originale è questo. Che ne pensate?
Risposte
Scusate, ma la definizione che un insieme equipotente ad un suo sottoinsieme proprio si dice infinito non sarebbe più valida?
Ps. Per me l'Universo potrebbe benissimo essere infinito, principio di minima azione alla mano, per cui, perchè questo "orror infiniti"?
Ps. Per me l'Universo potrebbe benissimo essere infinito, principio di minima azione alla mano, per cui, perchè questo "orror infiniti"?
E' possibile che la matematica ordinaria si possa ridurre un giorno alla matematica del finito, ma a che prezzo? Io temo che le cose si complichino notevolmente a danno della comprensione, e quindi del suo utilizzo e delle sue applicazioni: il continuo in analisi è stato introdotto proprio allo scopo di semplificare la trattazione del discreto, che altrimenti sarebbe intrattabile.
Bellissimo! Ma come è possibile costruire una teoria degli insiemi i cui elementi siano tutti finiti? Potresti dare una breve indicazione concettuale non tecnica?
Ma l'Universo è finito o infinito?
Ma l'Universo è finito o infinito?
Ci sarebbe moltissimo da dire sull'argomento. Diciamo che uno dei grandi obbiettivi della logica moderna, è appunto costruire una matematica equivalente alla teoria degli insiemi in cui però tutti gli oggetti siano finiti. Non siamo affatto lontani dal riuscirci.
Di fatto, la matematica dell'infinito -- compresi molti teoremi dell'Analisi, a cominciare dai più elementari come Bolzano o Rolle e via dicendo -- è pura metafisica. Non descrive il mondo in cui viviamo. In questo senso, la matematica infinitaria è pura letteratura, null'altro che esercizio astratto di deduzione logica. Certo, la matematica infinitaria è maledettamente affascinante e divertente! Personalmente, però, devo dire che mi sono sempre trovato a disagio di fronte al concetto di numero reale: lo trovo ingombrante. Preferisco la purezza finita dei razionali, che del resto ben approssimano la retta dei reali.
Naturalmente i concetti matematici astratti non sono piovuti dal cielo: sono stati introdotti per semplificare lo studio dei problemi matematici concreti, per inventarne e scriverne soluzioni eleganti e comprensibili. Gran parte del mondo che ci circonda è frutto della soluzione di problemi scientifici concreti con strumenti astratti. Il punto, allora, è questo: teniamoci tutte le conseguenze sensate, concrete, finite della matematica, e rimodelliamo la parte metafisica, priva di senso, il cui unico significato è quello pragmatico di semplificare lo studio della realtà tangibile. Riconduciamo tutti i concetti infinitari a degli oggetti concreti. Insomma, come dice questo bellissimo articolo divulgativo di Krivine (per chi non legge il francese, google traduttore fa il suo dovere
)
http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~k ... ux2012.pdf
passiamo dal programma di Hilbert ai programmi informatici! Il vantaggio di fare una matematica finitaria è quello di dare un senso concreto, effettivo, finito, anche ai concetti più fumosi di ZF quali l'ipotesi del continuo, scendendo verso il teorema di Bolzano. Le conseguenze sono enormi: tutta la matematica diventa costruttiva, e da ogni dimostrazione si può estrarre del contenuto computazionale.
Per concludere, non trovo affatto bizzarro l'articolo in questione: di fatto parla di questioni su cui rifletto quotidianamente. Nel merito, non conosco questo approccio finitario alla geometria, però mi sento di sicuro curioso di approfondire.
Di fatto, la matematica dell'infinito -- compresi molti teoremi dell'Analisi, a cominciare dai più elementari come Bolzano o Rolle e via dicendo -- è pura metafisica. Non descrive il mondo in cui viviamo. In questo senso, la matematica infinitaria è pura letteratura, null'altro che esercizio astratto di deduzione logica. Certo, la matematica infinitaria è maledettamente affascinante e divertente! Personalmente, però, devo dire che mi sono sempre trovato a disagio di fronte al concetto di numero reale: lo trovo ingombrante. Preferisco la purezza finita dei razionali, che del resto ben approssimano la retta dei reali.
Naturalmente i concetti matematici astratti non sono piovuti dal cielo: sono stati introdotti per semplificare lo studio dei problemi matematici concreti, per inventarne e scriverne soluzioni eleganti e comprensibili. Gran parte del mondo che ci circonda è frutto della soluzione di problemi scientifici concreti con strumenti astratti. Il punto, allora, è questo: teniamoci tutte le conseguenze sensate, concrete, finite della matematica, e rimodelliamo la parte metafisica, priva di senso, il cui unico significato è quello pragmatico di semplificare lo studio della realtà tangibile. Riconduciamo tutti i concetti infinitari a degli oggetti concreti. Insomma, come dice questo bellissimo articolo divulgativo di Krivine (per chi non legge il francese, google traduttore fa il suo dovere
)http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~k ... ux2012.pdf
passiamo dal programma di Hilbert ai programmi informatici! Il vantaggio di fare una matematica finitaria è quello di dare un senso concreto, effettivo, finito, anche ai concetti più fumosi di ZF quali l'ipotesi del continuo, scendendo verso il teorema di Bolzano. Le conseguenze sono enormi: tutta la matematica diventa costruttiva, e da ogni dimostrazione si può estrarre del contenuto computazionale.
Per concludere, non trovo affatto bizzarro l'articolo in questione: di fatto parla di questioni su cui rifletto quotidianamente. Nel merito, non conosco questo approccio finitario alla geometria, però mi sento di sicuro curioso di approfondire.
"anonymous_af8479":
Intuire l'infinito o addirittura riuscire a definirlo e' il pensiero piu' grande e bello !
[ot]La matematica dell'infinito è una di quelle che preferisco anche perché ha in sé sentori di filosofia e metafisica.[/ot]
"hamming_burst":
mi ricorda questo caso....
Non avevo partecipato a quella discussione ma ricordo di averne parlato - al di fuori del forum - con il prof. di logica matematica all'epoca. Una discussione istruttiva e molto interessante.
Leggere in un forum di Matematica nell'elenco dei 3d della sezione generale "La fine dell'infinito" e poi subito sotto come 3d starter Delirium non ha prezzo 
il tutto è un po' alla Nietzsche...
Scherzo ovviamente, ma l'accostare l'Analisi Matematica alla Fisica Sperimentale la vedo per adesso una mossa alquanto azzardata... un po' come discutere sull'esistenza o no di altre razze al di fuori della razza umana del pianeta Terra, per adesso non abbiamo gli strumenti per discuterne.
il tutto è un po' alla Nietzsche...Scherzo ovviamente, ma l'accostare l'Analisi Matematica alla Fisica Sperimentale la vedo per adesso una mossa alquanto azzardata... un po' come discutere sull'esistenza o no di altre razze al di fuori della razza umana del pianeta Terra, per adesso non abbiamo gli strumenti per discuterne.
Intuire l'infinito o addirittura riuscire a definirlo e' il pensiero piu' grande e bello !
Mettere in pensione l'infinito presuppone che vi sia una valida alternativa: se esiste una matematica più semplice che porta agli stessi risultati dell'analisi classica senza coinvolgere il concetto di infinito ben venga; nutro seri dubbi sulla sua esistenza.
"gugo82":
[...]
Mettere sullo stesso piano Matematica e Fisica Sperimentale, come qui:
"I don't think anyone likes infinity", says Raphael Bousso of the University of California at Berkley. "It's not the outcome of any experiment."
non fa giustizia né all'intelligenza di dichiara, né a quella di chi raccoglie, né a quella di chi legge.
Ho pensato la stessa cosa (ma il mio parere vale molto poco), e in effetti questo è lo spirito che permea tutto l'articolo (sarà che l'autrice è una fisica). In particolare mi son domandato: "Se i fisici hanno paura dell'Infinito, anche in matematici dovrebbero averne?" Per quanto ho avuto modo di vedere, "da noi" le cose funzionano bene.
L'ho scorso rapidamente e non mi pare granché.
Già mettere sullo stesso piano Matematica e Fisica Sperimentale, come qui:
non fa giustizia né all'intelligenza di dichiara, né a quella di chi raccoglie, né a quella di chi legge.
Già mettere sullo stesso piano Matematica e Fisica Sperimentale, come qui:
"I don't think anyone likes infinity", says Raphael Bousso of the University of California at Berkley. "It's not the outcome of any experiment."
non fa giustizia né all'intelligenza di dichiara, né a quella di chi raccoglie, né a quella di chi legge.
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