La famiglia delle funzioni "(curva)"
Me lo sono sempre chiesto....
come faccio a disegnare un cerchio usando l'equazione x^2 + y^2 = 1
...qual'è la variabile? come le devo muovere?
...se risolvo questo enigma riuscirò a disegnare con lo stesso metodo un iperbole con equazione x^2 - y^2 = 1 ....
..sempre questi "= 1" ....che strano.....
...non mi ricordo più nulla di questa parte della matematica...o meglio non l'ho mai esplorata a "dovere".
Bemipefe
come faccio a disegnare un cerchio usando l'equazione x^2 + y^2 = 1
...qual'è la variabile? come le devo muovere?
...se risolvo questo enigma riuscirò a disegnare con lo stesso metodo un iperbole con equazione x^2 - y^2 = 1 ....
..sempre questi "= 1" ....che strano.....
...non mi ricordo più nulla di questa parte della matematica...o meglio non l'ho mai esplorata a "dovere".
Bemipefe
Risposte
...ops.....ho dimenticato la radice è verò che "grullo"!
Grazie per gli chiarimenti comunque adesso mi risulta tutto chiaro in "pratica"...ma se non rivedo un pò di teoria non le ricorderò mai queste formule....
...ehm le funzioni di 2 variabili e le equazioni differenziali fanno parte dell'esame di Calcolo Integrale, e come potete immagginare ...non ci sono ancora arrivato.....figuriamoci ancora devo dare Calcolo Differenziale....
...secondo voi quest'ultimo esame è più difficilòe di Analisi I di ingegneria ? Un mio compagno dell'ITC è riuscito a darla e aveva la mia stessa preparazione.....qualcuno mi ha detto che effettivamente Calcolo Differenziale è più approfondito e quindi più voluminoso come esame......boh...ma allora anche Calcolo Integrale è più difficoltoso di Analisi II ?....
CIAO! Grazie...
Bemipefe
Grazie per gli chiarimenti comunque adesso mi risulta tutto chiaro in "pratica"...ma se non rivedo un pò di teoria non le ricorderò mai queste formule....
...ehm le funzioni di 2 variabili e le equazioni differenziali fanno parte dell'esame di Calcolo Integrale, e come potete immagginare ...non ci sono ancora arrivato.....figuriamoci ancora devo dare Calcolo Differenziale....
...secondo voi quest'ultimo esame è più difficilòe di Analisi I di ingegneria ? Un mio compagno dell'ITC è riuscito a darla e aveva la mia stessa preparazione.....qualcuno mi ha detto che effettivamente Calcolo Differenziale è più approfondito e quindi più voluminoso come esame......boh...ma allora anche Calcolo Integrale è più difficoltoso di Analisi II ?....
CIAO! Grazie...
Bemipefe
Si in effetti la confusione qui' regna abb. sovrana...
Consiglio a Bemipefe di rivedere questa parte su qualche libro perche' una spiegazione qui' sul forum rischia di essere fonte di ulteriore confusione. Poi al limite se non e' ancora tutto chiaro puoi sempre chiedere...
La circonferenza si puo' scrivere scomponendola in sotto-pezzi che sono grafici di funzioni in un numero infinito di modi (il piu' classico e' quello di fireball), ma non e' mai una buona idea pensarla e disegnarla cosi'...
Se proprio vuoi vederla come funzione essa e' una funzione di 2 variabili:
z = f(x,y) = x^2 + y^2
La circonferenza con raggio 1 non e' che la curva di livello 1 di questa funzione...
Quell "=1" nell'iperbole salta fuori perche' quando si vuole disegnare l'iperbole si tende a trasformare l'equazione in equazioni equivalenti in cui sia piu' facile riconoscere le caratteristiche geometriche del grafico e queste sono piu' evidenti appunto nel caso "=1".
Consiglio a Bemipefe di rivedere questa parte su qualche libro perche' una spiegazione qui' sul forum rischia di essere fonte di ulteriore confusione. Poi al limite se non e' ancora tutto chiaro puoi sempre chiedere...
La circonferenza si puo' scrivere scomponendola in sotto-pezzi che sono grafici di funzioni in un numero infinito di modi (il piu' classico e' quello di fireball), ma non e' mai una buona idea pensarla e disegnarla cosi'...
Se proprio vuoi vederla come funzione essa e' una funzione di 2 variabili:
z = f(x,y) = x^2 + y^2
La circonferenza con raggio 1 non e' che la curva di livello 1 di questa funzione...
Quell "=1" nell'iperbole salta fuori perche' quando si vuole disegnare l'iperbole si tende a trasformare l'equazione in equazioni equivalenti in cui sia piu' facile riconoscere le caratteristiche geometriche del grafico e queste sono piu' evidenti appunto nel caso "=1".
Mamma mia che casino!!! La circonferenza non è l'unione di due parabole,
ma l'unione di due semicirconferenze!!! La circonferenza "superiore" ha
equazione y = sqrt(1 - x^2) dove con sqrt indico "radice quadrata", quella
"inferiore" ha equazione y = -sqrt(1 - x^2).
Ecco, guarda questo grafico:
ma l'unione di due semicirconferenze!!! La circonferenza "superiore" ha
equazione y = sqrt(1 - x^2) dove con sqrt indico "radice quadrata", quella
"inferiore" ha equazione y = -sqrt(1 - x^2).
Ecco, guarda questo grafico:
..ah una cosa:
perchè se y^2 = -(1+x^2) allora il risultato non viene +o-y = +o- sqrt(1+x^2) ? e lo stesso con l'altra ?
..forse perchè y è la variabile dipendente e incasinerebbe tutto quel +o- ?
..no...no ...i matematici non se la possono esser cavata così.....ci deve essere una spiegazione rigorosa...
Bemipefe
perchè se y^2 = -(1+x^2) allora il risultato non viene +o-y = +o- sqrt(1+x^2) ? e lo stesso con l'altra ?
..forse perchè y è la variabile dipendente e incasinerebbe tutto quel +o- ?
..no...no ...i matematici non se la possono esser cavata così.....ci deve essere una spiegazione rigorosa...
Bemipefe
Ho disegnato la circonferenza unendo le due funzioni :
y = -(1-x^2)
y = +(1-x^2)
ma quella che appare non è prorpio una circonferenza anche se i centri delle due parabole sono in 1(ordinate) e le due si incontrano in -1 e 1 (ascisse).
Quindi in ogni caso devo restringere i domini delle due parabole al valore di "r" = raggio cioè devo calcolare le due funzioni con "x <= r" .....
Le formule per trovare il raggio e la circonferenza le ho capite.....
..tuttavia sento che c'e bisogno di studiare un pò più di teoria.....le dimostrazioni delle varie formule ...cioè come ci si arriva e comi ci sono arrivati prima....però non ho molto tempo , devo passare necessariamente ai Limiti altrimenti non riesco a prepararmi per l'8
Comunque è stata una ripassatina utile....poi il discorso lo si potrebbe allargare all'ellissi iperboel etc....che saranno da come intuisco anche li unione di due parabole...
...magari dopo gli esami se ho un pò di tempo mi rido il tutto per benino e vi faccio sapere...
CIAO! Grazie ..[:)]
Bemipefe
y = -(1-x^2)
y = +(1-x^2)
ma quella che appare non è prorpio una circonferenza anche se i centri delle due parabole sono in 1(ordinate) e le due si incontrano in -1 e 1 (ascisse).
Quindi in ogni caso devo restringere i domini delle due parabole al valore di "r" = raggio cioè devo calcolare le due funzioni con "x <= r" .....
Le formule per trovare il raggio e la circonferenza le ho capite.....
..tuttavia sento che c'e bisogno di studiare un pò più di teoria.....le dimostrazioni delle varie formule ...cioè come ci si arriva e comi ci sono arrivati prima....però non ho molto tempo , devo passare necessariamente ai Limiti altrimenti non riesco a prepararmi per l'8
Comunque è stata una ripassatina utile....poi il discorso lo si potrebbe allargare all'ellissi iperboel etc....che saranno da come intuisco anche li unione di due parabole...
...magari dopo gli esami se ho un pò di tempo mi rido il tutto per benino e vi faccio sapere...
CIAO! Grazie ..[:)]
Bemipefe
Ti dico subito che l'equazione x^2 + y^2 = 1 non è una funzione;
una funzione è una relazione che lega due variabili, una dipendente
e una indipendente, e associa ad ogni valore assunto dalla variabile
indipendente x uno e un solo valore della variabile dipendente y.
Si dice quindi che la funzione è una corrispondenza univoca, e l'equazione
di una funzione si è soliti scriverla come y = f(x).
x^2 + y^2 = 1 non è una funzione perché se espliciti l'equazione rispetto ad y
ottieni: y^2 = 1 - x^2 ==> y = +/- sqrt(1 - x^2) . Si vede quindi che dando un valore
ad x (compreso in questo caso tra -1 e 1 per via della radice quadrata) si ottengono
2 valori di y; il valore di y dev'essere uno solo, quindi sono funzioni ad esempio queste equazioni:
y = sqrt(1 - x^2)
y = -sqrt(1 - x^2)
Venendo alla tua domanda... Si dimostra (dimostrazione facilissima)
che l'equazione canonica di una circonferenza di centro
C(-a/2 ; -b/2) DIVERSO dall'origine è: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
Il raggio si calcola con la seguente formula:
r = sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2 - c)
Avendo le coordinate del centro e del raggio, credo
che tu non abbia problemi a disegnare un cerchio.
Nel caso di x^2 + y^2 = 1 , questo è un caso particolare
dell'equazione canonica di una circonferenza di centro l'origine
e raggio r: x^2 + y^2 = r^2 . In questo caso il centro è O(0 ; 0)
e il raggio è 1. Se l'equazione fosse stata x^2 + y^2 = 4 il raggio
sarebbe stato 2 e il centro sempre l'origine etc.
Tutto chiaro?
una funzione è una relazione che lega due variabili, una dipendente
e una indipendente, e associa ad ogni valore assunto dalla variabile
indipendente x uno e un solo valore della variabile dipendente y.
Si dice quindi che la funzione è una corrispondenza univoca, e l'equazione
di una funzione si è soliti scriverla come y = f(x).
x^2 + y^2 = 1 non è una funzione perché se espliciti l'equazione rispetto ad y
ottieni: y^2 = 1 - x^2 ==> y = +/- sqrt(1 - x^2) . Si vede quindi che dando un valore
ad x (compreso in questo caso tra -1 e 1 per via della radice quadrata) si ottengono
2 valori di y; il valore di y dev'essere uno solo, quindi sono funzioni ad esempio queste equazioni:
y = sqrt(1 - x^2)
y = -sqrt(1 - x^2)
Venendo alla tua domanda... Si dimostra (dimostrazione facilissima)
che l'equazione canonica di una circonferenza di centro
C(-a/2 ; -b/2) DIVERSO dall'origine è: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
Il raggio si calcola con la seguente formula:
r = sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2 - c)
Avendo le coordinate del centro e del raggio, credo
che tu non abbia problemi a disegnare un cerchio.
Nel caso di x^2 + y^2 = 1 , questo è un caso particolare
dell'equazione canonica di una circonferenza di centro l'origine
e raggio r: x^2 + y^2 = r^2 . In questo caso il centro è O(0 ; 0)
e il raggio è 1. Se l'equazione fosse stata x^2 + y^2 = 4 il raggio
sarebbe stato 2 e il centro sempre l'origine etc.
Tutto chiaro?
Adesso così sai qual'è la variabile indipendente e quale quella dipendente.. [8D]
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
basta che scrivi l'equazione in questa forma e tutto ti sembrerà più chiaro..
y=+-sqrt(1-x^2) per la circonferenza... o meglio questa è l'unione di due semicirconferenze..
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
y=+-sqrt(1-x^2) per la circonferenza... o meglio questa è l'unione di due semicirconferenze..
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Inanzitutto le dovresti studiare, per calcolare dominio,massimi...Puoi fare uno schizzo disegnando il grafico per punti.Dai un valore alla x(o alla y),ricavi l'altra variabile.
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