Ipervolume di ipersfera a quattro dimensioni
So che non è nulla di particolare ma mi sono levato uno sfizio che avevo da tempo e ho calcolato questo volume con gli integrali tripli.il risultato che mi viene è un mezzo pigreco alla seconda per r alla quarta.ciao!
Risposte
Ci hai preso di nuovo! 
In dimensione quattro l'area della ipersuperficie sferica è esattamente $2pi^2*r^3$ (come si ricava facilmente dalla formula che esprime $beta(4)$ e dalla relazione $"area"(\partial B(0;r))=beta(4)*r^3$).
In dimensione quattro l'area della ipersuperficie sferica è esattamente $2pi^2*r^3$ (come si ricava facilmente dalla formula che esprime $beta(4)$ e dalla relazione $"area"(\partial B(0;r))=beta(4)*r^3$).
no scusa mi sono sbagliato...comunque con un rapido calcolo mi sembra che il volume o ipersuperficie della ipersfera sia
due pigrecoquadro raggio al cubo
due pigrecoquadro raggio al cubo
"FreshBuddy":
sarebbe carino trovara per quale numero di dimensioni una sfera di raggio r e un cubo di raggio r abbiano lo stesso volume ,anche se in numero di dimensioni non è intero...
In dimensione uno ovviamente... Che cosa intendi di preciso con "numero di dimensioni non intero"?
Si possono scrivere le espressioni esplicite delle cordinate polari in $RR^4$ ed anche in $RR^n$ per $n>3$ semplicemente agendo per ricorrenza sulle coordinate polari in $RR^3$: si verifica facilmente che ogni punto $(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4-{0}$ si può esprimere come:
$\{(x_1=r*costheta_1*sintheta_2*sintheta_3),(x_2=r*sintheta_1*sintheta_2*sintheta_3),(x_3=r*costheta_2*sintheta_3),(x_4=r*costheta_3):}$
per qualche $r>0$ e $theta_1,theta_2,theta_3 in RR$ (l'unico problema che bisogna risolvere è determinare gli intervalli in cui far variare i $theta_i$ per avere una trasformazione iniettiva).
Noti che la precedente trasformazione è stata ricavata dalla trasformazione in coordinate polari di $RR^3$ moltiplicando le tre coordinate per $sin theta_3$ ed aggiungendo la quarta coordinata contenente solo il $costheta_3$: posto:
$A_3=((cos theta_1*sintheta_2,0,0),(0,sintheta_1*sintheta_2,0),(0,0,costheta_2))$
per $RR^4$ possiamo scrivere:
$((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=r*((A_3,0),(0,1))*((sintheta_3),(sin theta_3),(sintheta_3),(cos theta_3))$
in cui $((A_3,0),(0,1))$ è una matrice a blocchi d'ordine quattro.
Volendo ricavare le espressioni del passaggio a coordinate polari in $RR^5$ da quelle in $RR^4$ possiamo seguire lo stesso procedimento, solo con una coordinata in più e con la matrice:
$A_4=((A_3,0),(0,1))*((sintheta_3*I_3,0),(0,costheta_3)) quad$ (qui ho posto $I_3=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$);
insomma è:
$((x_1),(x_2),(x_3),(x_4),(x_5))=r*((A_4,0),(0,1))*((sintheta_4),(sin theta_4),(sintheta_4),(sintheta_4),(cos theta_4))$.
In generale mi pare si possa ricavare per ricorrenza la relazione:
$((x_1),(\vdots),(x_n),(x_(n+1)))=r*((A_n,0),(0,1))*((sintheta_n),(\vdots),(sintheta_n),(costheta_n)) quad$
con $A_n$ matrice quadrata d'ordine $n$ definita per ricorrenza dalle relazioni:
$A_3=((cos theta_1*sintheta_2,0,0),(0,sintheta_1*sintheta_2,0),(0,0,costheta_2)) quad$ e $quad AA n>3, A_n=((A_(n-1),0),(0,1))*((sintheta_(n-1)*I_(n-1),0),(0,costheta_(n-1)))$
in cui figurano le solite matrici a blocchi, questa volta d'ordine $n$.
Non ho controllato i calcoli, quindi potrei aver commesso delle inesattezze.
@Sandokan: ho fatto la tua stessa considerazione appena ho scoperto che $lim_(n) alpha(n)=0$ (ricordo che il volume del cubetto $C_n$, avente spigolo pari a $2$, circoscritto alla sfera unitaria è $"vol"(C_n)=2^n$ e tende a $+oo$ al crescere di $n$).
La formula per il volume di $B(0;1) subset RR^n$ l'ho incontrata per caso studiando l'eq. di Laplace in dimensione $n$: infatti il volume della sfera appare sia nella definizione della soluzione fondamentale sia nelle proprietà di media delle funzioni armoniche.
$\{(x_1=r*costheta_1*sintheta_2*sintheta_3),(x_2=r*sintheta_1*sintheta_2*sintheta_3),(x_3=r*costheta_2*sintheta_3),(x_4=r*costheta_3):}$
per qualche $r>0$ e $theta_1,theta_2,theta_3 in RR$ (l'unico problema che bisogna risolvere è determinare gli intervalli in cui far variare i $theta_i$ per avere una trasformazione iniettiva).
Noti che la precedente trasformazione è stata ricavata dalla trasformazione in coordinate polari di $RR^3$ moltiplicando le tre coordinate per $sin theta_3$ ed aggiungendo la quarta coordinata contenente solo il $costheta_3$: posto:
$A_3=((cos theta_1*sintheta_2,0,0),(0,sintheta_1*sintheta_2,0),(0,0,costheta_2))$
per $RR^4$ possiamo scrivere:
$((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=r*((A_3,0),(0,1))*((sintheta_3),(sin theta_3),(sintheta_3),(cos theta_3))$
in cui $((A_3,0),(0,1))$ è una matrice a blocchi d'ordine quattro.
Volendo ricavare le espressioni del passaggio a coordinate polari in $RR^5$ da quelle in $RR^4$ possiamo seguire lo stesso procedimento, solo con una coordinata in più e con la matrice:
$A_4=((A_3,0),(0,1))*((sintheta_3*I_3,0),(0,costheta_3)) quad$ (qui ho posto $I_3=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$);
insomma è:
$((x_1),(x_2),(x_3),(x_4),(x_5))=r*((A_4,0),(0,1))*((sintheta_4),(sin theta_4),(sintheta_4),(sintheta_4),(cos theta_4))$.
In generale mi pare si possa ricavare per ricorrenza la relazione:
$((x_1),(\vdots),(x_n),(x_(n+1)))=r*((A_n,0),(0,1))*((sintheta_n),(\vdots),(sintheta_n),(costheta_n)) quad$
con $A_n$ matrice quadrata d'ordine $n$ definita per ricorrenza dalle relazioni:
$A_3=((cos theta_1*sintheta_2,0,0),(0,sintheta_1*sintheta_2,0),(0,0,costheta_2)) quad$ e $quad AA n>3, A_n=((A_(n-1),0),(0,1))*((sintheta_(n-1)*I_(n-1),0),(0,costheta_(n-1)))$
in cui figurano le solite matrici a blocchi, questa volta d'ordine $n$.
Non ho controllato i calcoli, quindi potrei aver commesso delle inesattezze.
@Sandokan: ho fatto la tua stessa considerazione appena ho scoperto che $lim_(n) alpha(n)=0$ (ricordo che il volume del cubetto $C_n$, avente spigolo pari a $2$, circoscritto alla sfera unitaria è $"vol"(C_n)=2^n$ e tende a $+oo$ al crescere di $n$).
La formula per il volume di $B(0;1) subset RR^n$ l'ho incontrata per caso studiando l'eq. di Laplace in dimensione $n$: infatti il volume della sfera appare sia nella definizione della soluzione fondamentale sia nelle proprietà di media delle funzioni armoniche.
ciao!grazie per le ulteriori informazioni...ho qualche lacuna a riguardo in quanto il programma di analisi due che ho fatto l'anno scorso si limitava a citare gli integrali tripli e non ho mai avuto tempo e pazienza di andare oltre anche perche' avevo anche das studiare .In effetti la funzione di eulero c'è sul libro di analisi due,purtroppo non ho molto tempo.Per quanto riguarda il risultato è la cosa piu' affascinante che abbia visto..sarebbe carino trovara per quale numero di dimensioni una sfera di raggio r e un cubo di raggio r abbiano lo stesso volume ,anche se in numero di dimensioni non è intero...l'unica cosa che posso ancora fare e che è nelle mie possibilita' è fare il limite del rapporto incrementale di due ipervolumi molto vicini per trovare la ipersuperficie.
volevo sapere se c'era un modo per fare un integrale quadruplo in coordinate"ipersferiche",perche' mi piace calcolare questi volumi senza usare la funzione gamma che non conosco molto bene
grazie mille!
volevo sapere se c'era un modo per fare un integrale quadruplo in coordinate"ipersferiche",perche' mi piace calcolare questi volumi senza usare la funzione gamma che non conosco molto bene
grazie mille!
"gugo82":
risulta $lim_(n to +oo)alpha(n)=lim_(n to +oo)beta(n)=0$
E' curioso vero? Tanto più se si considera che il volume e l'area della superficie dell'ipercubo circoscritto tendono all'infinito...
Il tuo risultato è giusto: $AA x in RR^4, AA r>0$ risulta $"vol"(B(x;r))=(pi^2)/2*r^4$.
Esistono formule che ti permettono di calcolare il volume dell'ipersfera unitaria e l'area dell'ipersuperficie sferica unitaria in $RR^n$ per ogni fissata dimensione $n in NN$.
Il volume dell'ipersfera unitaria $B(0;1)={x in RR^n: quad |x|<1} subset RR^n$ è dato da:
$"vol"(B(0;1))=alpha(n)=(pi^(n/2))/(Gamma(n/2+1)) quad$,
ove $Gamma(x)$ è la funzione di Eulero definita su $(0,+oo)$ dall'assegnazione:
$Gamma(x)=\int_0^(+oo)e^(-t)*t^(x-1)" d"t quad$;
l'area dell'ipersuperficie sferica unitaria $\partial B(0;1)={x in RR^n:quad |x|=1}$ è invece data da:
$"area"(B(0;1))=beta(n)=(2*pi^(n/2))/(Gamma(n/2)) quad$.
Giocando un po' con gli integrali $n$-upli e con la formula di passaggio a coordinate polari in $RR^n$, dalle due espressioni precedenti si ricavano facilmente le espressioni del volume dell'ipersfera e dell'area dell'ipersuperficie sferica di raggio $r>0$: si trova:
$"vol"(B(0;r))=alpha(n)*r^n=1/n*beta(n)*r^n quad$ e $quad "area"(\partial B(0;r))=beta(n)*r^(n-1)=n*alpha(n)*r^(n-1) quad$.
Poiché la misura del volume e dell'area di una superficie sono invarianti per traslazioni, le precedenti esprimono il volume di ogni ipersfera e l'area di ogni ipersuperficie sferica di $RR^n$.
In dimensione qualsiasi il rapporto tra volume dell'ipersfera e area della corrispondente ipersuperficie sferica è dato da: $AA x in RR^n, AA r>0 quad$,
$("vol"(B(x;r)))/("area"(\partial B(x;r)))=r/n quad$
che è una relazione già nota per $n=2,3$.
Visto che la funzione $Gamma$ applicata sui numeri naturali restituisce un fattoriale (cioè $AA m in NN, Gamma(m)=(m-1)!$), che $AA x in (0,+oo), AA m in NN, Gamma(x+m)=Gamma(x)*\prod_(k=0)^(m-1)(x+k)$ e che $Gamma(1/2)=sqrtpi$, i due numeri $alpha(n)$ e $beta(n)$ si possono esprimere in maniera meno compatta come segue:
$alpha(n)=\{( (pi^(n/2))/((n/2)!), ", se " n " è pari"),( (2^((n+1)/2)*pi^((n-1)/2))/(n!!), ", se " n " è dispari"):} quad$,
$beta(n)=\{( (2*pi^(n/2))/((n/2-1)!), ", se " n " è pari"),( (2^((n+1)/2)*pi^((n-1)/2))/((n-2)!!), ", se " n " è dispari"):} quad$.
(Lascio a te scrivere le espressioni meno compatte del volume delle sfere di raggio qualsiasi.)
La presenza dei fattoriali al denominatore fa si che il volume $alpha(n)$ e l'area $beta(n)$ tendano a $0$ all'aumentare della dimensione $n$ (cioè risulta $lim_(n to +oo)alpha(n)=lim_(n to +oo)beta(n)=0$); ne consegue che le sucessioni positive di temine generale $alpha(n)$ e $beta(n)$ sono dotate di massimo: in particolare si trova facilmente che $max_(n in NN) alpha(n)=alpha(5)=(8pi^2)/15$ e $max_(n in NN)beta(n)=beta(7)=(16pi^3)/15$.
Spero di aver soddisfatto qualche curiosità.
Se vuoi sapere come si arriva alla dimostrazione delle due formule per $alpha(n)$ e $beta(n)$ posso postare i calcoli.
Esistono formule che ti permettono di calcolare il volume dell'ipersfera unitaria e l'area dell'ipersuperficie sferica unitaria in $RR^n$ per ogni fissata dimensione $n in NN$.
Il volume dell'ipersfera unitaria $B(0;1)={x in RR^n: quad |x|<1} subset RR^n$ è dato da:
$"vol"(B(0;1))=alpha(n)=(pi^(n/2))/(Gamma(n/2+1)) quad$,
ove $Gamma(x)$ è la funzione di Eulero definita su $(0,+oo)$ dall'assegnazione:
$Gamma(x)=\int_0^(+oo)e^(-t)*t^(x-1)" d"t quad$;
l'area dell'ipersuperficie sferica unitaria $\partial B(0;1)={x in RR^n:quad |x|=1}$ è invece data da:
$"area"(B(0;1))=beta(n)=(2*pi^(n/2))/(Gamma(n/2)) quad$.
Giocando un po' con gli integrali $n$-upli e con la formula di passaggio a coordinate polari in $RR^n$, dalle due espressioni precedenti si ricavano facilmente le espressioni del volume dell'ipersfera e dell'area dell'ipersuperficie sferica di raggio $r>0$: si trova:
$"vol"(B(0;r))=alpha(n)*r^n=1/n*beta(n)*r^n quad$ e $quad "area"(\partial B(0;r))=beta(n)*r^(n-1)=n*alpha(n)*r^(n-1) quad$.
Poiché la misura del volume e dell'area di una superficie sono invarianti per traslazioni, le precedenti esprimono il volume di ogni ipersfera e l'area di ogni ipersuperficie sferica di $RR^n$.
In dimensione qualsiasi il rapporto tra volume dell'ipersfera e area della corrispondente ipersuperficie sferica è dato da: $AA x in RR^n, AA r>0 quad$,
$("vol"(B(x;r)))/("area"(\partial B(x;r)))=r/n quad$
che è una relazione già nota per $n=2,3$.
Visto che la funzione $Gamma$ applicata sui numeri naturali restituisce un fattoriale (cioè $AA m in NN, Gamma(m)=(m-1)!$), che $AA x in (0,+oo), AA m in NN, Gamma(x+m)=Gamma(x)*\prod_(k=0)^(m-1)(x+k)$ e che $Gamma(1/2)=sqrtpi$, i due numeri $alpha(n)$ e $beta(n)$ si possono esprimere in maniera meno compatta come segue:
$alpha(n)=\{( (pi^(n/2))/((n/2)!), ", se " n " è pari"),( (2^((n+1)/2)*pi^((n-1)/2))/(n!!), ", se " n " è dispari"):} quad$,
$beta(n)=\{( (2*pi^(n/2))/((n/2-1)!), ", se " n " è pari"),( (2^((n+1)/2)*pi^((n-1)/2))/((n-2)!!), ", se " n " è dispari"):} quad$.
(Lascio a te scrivere le espressioni meno compatte del volume delle sfere di raggio qualsiasi.)
La presenza dei fattoriali al denominatore fa si che il volume $alpha(n)$ e l'area $beta(n)$ tendano a $0$ all'aumentare della dimensione $n$ (cioè risulta $lim_(n to +oo)alpha(n)=lim_(n to +oo)beta(n)=0$); ne consegue che le sucessioni positive di temine generale $alpha(n)$ e $beta(n)$ sono dotate di massimo: in particolare si trova facilmente che $max_(n in NN) alpha(n)=alpha(5)=(8pi^2)/15$ e $max_(n in NN)beta(n)=beta(7)=(16pi^3)/15$.
Spero di aver soddisfatto qualche curiosità.
Se vuoi sapere come si arriva alla dimostrazione delle due formule per $alpha(n)$ e $beta(n)$ posso postare i calcoli.
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