Insiemi: la definizione
Su cosa sia un insieme.
Il mio libro non dà la definizione di insieme. Lo dice un concetto primitivo. Per onesta, avendo in questi giorni ho impestato il forum, ho provato prima a cercarne una definizione in rete per non proporre un tema tedioso. Ho scoperto che qualche definizione di insieme esiste ma quale sia non è dato sapere. Allora vi tedio ancora.
Poiché mi pare che si possa dare una definizione straordinariamente semplice ed appagante di insieme provo a sottoporvela. Cerco di esporre la questione ripercorrendo la genesi dell’idea.
I libri recitano in coro: un insieme è un’aggregato, collezione, raggruppamento….ecc di oggetti…
Penso che questo non sia affatto vero; direi invece: un insieme serve ad indicare un aggregato …..di oggetti detti elementi dell’insieme.
A questo punto è determinante distinguere cosa sia un insieme e a che cosa serva(cioè a mettere insieme, aggregaere, collezionare,ecc).
Sopra si era detto a cosa serve un insieme, non cosa è.
Quindi un insieme è utilizzato per indicare una collettività e non è esso stesso una collettività. Questa differenza può sfuggire ma è fondamentale.
Ecco però subito sorgere un problema: se un insieme non è una collettività ma una indicazione di collettività (nome collettivo) va rivisto il modo di pensare l’appartenenza di un elemento ad un insieme.
In quest’ottica la scrittura
a $in$ A
va intesa non più come: a è un elemento dell’insieme A ma come: a è uno degli elementi indicati dal nome collettivo A (quindi non ne è una parte nel senso canonico).
Qui ci si sta inoltrando nella distinzione tra un ente ed il suo nome. È periglioso.
Sopra ho volutamente commesso un errore: ho trattato A come un nome ed invece a come un oggetto. Anche “a” evidentemente è un nome quindi sia A che a sono veicoli di significato. Dico che a è il nome di un elemento ed A di un insieme il che suggerisce una definizione per il concetto di insieme.
Un insieme è un nome di nomi.
Si noti che nel caso in cui il nome di un elemento è anche il nome che lo nomina non c’è più distinzione tra elemento e insieme. Questo mi pare che sia all’origine dei paradossi.
P.S. mi fate sapere se è giusto che collochi questi argomenti in generale. Grazie
Il mio libro non dà la definizione di insieme. Lo dice un concetto primitivo. Per onesta, avendo in questi giorni ho impestato il forum, ho provato prima a cercarne una definizione in rete per non proporre un tema tedioso. Ho scoperto che qualche definizione di insieme esiste ma quale sia non è dato sapere. Allora vi tedio ancora.
Poiché mi pare che si possa dare una definizione straordinariamente semplice ed appagante di insieme provo a sottoporvela. Cerco di esporre la questione ripercorrendo la genesi dell’idea.
I libri recitano in coro: un insieme è un’aggregato, collezione, raggruppamento….ecc di oggetti…
Penso che questo non sia affatto vero; direi invece: un insieme serve ad indicare un aggregato …..di oggetti detti elementi dell’insieme.
A questo punto è determinante distinguere cosa sia un insieme e a che cosa serva(cioè a mettere insieme, aggregaere, collezionare,ecc).
Sopra si era detto a cosa serve un insieme, non cosa è.
Quindi un insieme è utilizzato per indicare una collettività e non è esso stesso una collettività. Questa differenza può sfuggire ma è fondamentale.
Ecco però subito sorgere un problema: se un insieme non è una collettività ma una indicazione di collettività (nome collettivo) va rivisto il modo di pensare l’appartenenza di un elemento ad un insieme.
In quest’ottica la scrittura
a $in$ A
va intesa non più come: a è un elemento dell’insieme A ma come: a è uno degli elementi indicati dal nome collettivo A (quindi non ne è una parte nel senso canonico).
Qui ci si sta inoltrando nella distinzione tra un ente ed il suo nome. È periglioso.
Sopra ho volutamente commesso un errore: ho trattato A come un nome ed invece a come un oggetto. Anche “a” evidentemente è un nome quindi sia A che a sono veicoli di significato. Dico che a è il nome di un elemento ed A di un insieme il che suggerisce una definizione per il concetto di insieme.
Un insieme è un nome di nomi.
Si noti che nel caso in cui il nome di un elemento è anche il nome che lo nomina non c’è più distinzione tra elemento e insieme. Questo mi pare che sia all’origine dei paradossi.
P.S. mi fate sapere se è giusto che collochi questi argomenti in generale. Grazie
Risposte
Io sto studiando ZF su Gabriele Lolli "Dagli insiemi ai numeri". Ad una prima parte di carattero storico segue una seconda parte rigorosamente matematica dove viene esposta l'assiomatizzazione di Zermelo-Fraenkel della teoria degli insiemi. L'esposizione e le consideraizoni collaterali mi sembrano ottime (leggi anche le note, contengono delle riflessioni davvero illuminanti!).
Come primo approccio credo sia meno traumatico (anche se di certo meno completo) del libro consigliato da Sergio.
Come primo approccio credo sia meno traumatico (anche se di certo meno completo) del libro consigliato da Sergio.
"silente":
Si noti che nel caso in cui il nome di un elemento è anche il nome che lo nomina non c’è più distinzione tra elemento e insieme. Questo mi pare che sia all’origine dei paradossi.
Non direi: nella teoria asiomatica di Zermelo-Fraenkel il concetto di "elemento" di un insieme non è neppure introdotto perché tutti gli enti di cui si parla sono solo ed esclusivamente insiemi.
Inoltre in matematica i nomi coincidono con gli enti che si studiano. Se si verifica che due enti con nomi differenti godono delle stesse proprietà allora sno a tutti gli effetti lo stesso ente e i due nomi diventano sinonimi, ovvero segni grafici differenti per lo stesso concetto.
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