Insiemi: estensione e intensione
Assegnazione di un insieme per proprietà:
Consideriamo l’insieme
AxB = {(a,b): a$in$A;b$in$B}
Questo insieme, sul mio testo, si dice essere definito per proprietà.
Nel corso di Gobbino invece si sottolinea come questa sia una assegnazione per elenco e vi si spiega il perché. Purtoppo la motivazione di questa asserzione resta per me incompresa. Egli (non scrivevo “egli” dalle elementari) dice: “è per elenco perché è un modo di descrivere tutti gli elemento vistandoli.”
Ma non succede così anche per le assegnazioni per proprietà? Non è giusto la proprietà caratteristica che ci consente di considerare ogni elemento che rende vera la proposizione stessa? E la proposizione non si riferisce ad un elemento alla volta sicché ci si riferisce ad un elenco di proposizioni da “vistare” una ad una? Tra l’altro con questa impostazione mi sembra che anche insiemi infiniti si possano assegnare per elenco (mi si era sempre fatto notare il contrario).
Comunque ho provato ha tentare di giustificare questa la posizione di Gobbino così:
di sicuro in questa assegnazione ci sono delle proprietà però queste non si riferiscono a gli elementi dell’insieme (cioè alle coppie ordinate) ma ai componenti delle stesse. In questo senso non sarebbe corretto dire che l’insieme è dato indicando una proprietà caratteristica dei suoi elementi.
Inoltre (forse?) anche le assegnazioni per elenco possono essere intese come assegnazioni per proprietà (la proprietà di appartenere a quell’elenco) quindi il fatto che ci si riferisca ad una proprietà non è di per se discriminante.
Diventa discriminante la possibilità di determinare l’appartenenza dell’elemento all’insieme sostituendolo alla variabile del predicato (non so se il lessico è giusto) da verificare?
Vi chiedo un parere a riguardo.
Una curiosità: è definito il complementare dell’insieme vuoto rispetto all’insieme vuoto?
Consideriamo l’insieme
AxB = {(a,b): a$in$A;b$in$B}
Questo insieme, sul mio testo, si dice essere definito per proprietà.
Nel corso di Gobbino invece si sottolinea come questa sia una assegnazione per elenco e vi si spiega il perché. Purtoppo la motivazione di questa asserzione resta per me incompresa. Egli (non scrivevo “egli” dalle elementari) dice: “è per elenco perché è un modo di descrivere tutti gli elemento vistandoli.”
Ma non succede così anche per le assegnazioni per proprietà? Non è giusto la proprietà caratteristica che ci consente di considerare ogni elemento che rende vera la proposizione stessa? E la proposizione non si riferisce ad un elemento alla volta sicché ci si riferisce ad un elenco di proposizioni da “vistare” una ad una? Tra l’altro con questa impostazione mi sembra che anche insiemi infiniti si possano assegnare per elenco (mi si era sempre fatto notare il contrario).
Comunque ho provato ha tentare di giustificare questa la posizione di Gobbino così:
di sicuro in questa assegnazione ci sono delle proprietà però queste non si riferiscono a gli elementi dell’insieme (cioè alle coppie ordinate) ma ai componenti delle stesse. In questo senso non sarebbe corretto dire che l’insieme è dato indicando una proprietà caratteristica dei suoi elementi.
Inoltre (forse?) anche le assegnazioni per elenco possono essere intese come assegnazioni per proprietà (la proprietà di appartenere a quell’elenco) quindi il fatto che ci si riferisca ad una proprietà non è di per se discriminante.
Diventa discriminante la possibilità di determinare l’appartenenza dell’elemento all’insieme sostituendolo alla variabile del predicato (non so se il lessico è giusto) da verificare?
Vi chiedo un parere a riguardo.
Una curiosità: è definito il complementare dell’insieme vuoto rispetto all’insieme vuoto?
Risposte
Per quel poco che so $\forall A, A - A = \emptyset$. Infatti $x \in A - A <=> x \in A \ \ \wedge \ \ \not (x \in A)$, ma il secondo termine della precedente coimplicazione è una contraddizione logica, dunque è falsa $\forall x$, il che implica che $\forall x, \not (x \in A - A)$, cioè $A - A$ è l'insieme preivo di elementi, vale a dire il vuoto.
La cosa dovrebbe valere anche per $\emptyset$.
La cosa dovrebbe valere anche per $\emptyset$.
Secondo il tuo ragionamento anche il complementare di un insieme rispetto a se stesso dovrebbe non essere definito essendo la sua proprietà contradditoria.
Mi sbaglio?
Grazie ancora.
P.S. Vi rinnovo il quesito: E' opportuno che ponga questi argomenti in Superiori?
Mi sbaglio?
Grazie ancora.
P.S. Vi rinnovo il quesito: E' opportuno che ponga questi argomenti in Superiori?
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