Il numero di Nepero

[SaturnV]

Sto studiando le successioni e ho scoperto finalmente che il numero di Nepero è il limite per n naturale di $(1+1/n)^n$... Benissimo... Poi guardo il libro di Fisica e vedo che questo numero compare dappertutto come base di esponenziali... e non riesco a capire il perchè... dopotutto la successione che ho scritto prima mi sembra piuttosto "normale", come centinaia di altre che si trovano negli esercizi... perchè il numero di Nepero è tanto importante in matematica?

Fabio

[Nidhogg]

Comunque nel nostro sito nella sezione Storia c'è un documento: https://www.matematicamente.it/storia/nepero_eulero.htm

[carlo232]

"blackdie":boh....io sono sicuro di aver letto cosi...

In effetti $ln(x)$ si può approssimare con $x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+- x^n/n$. Invece calcolare ad esempio $log_10(x)$ è già più complesso, si dovrebbe approssimare $(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+- x^n/n)/(10-10^2/2+10^3/3-10^4/4+...+- 10^n/n)$.

Ciao!

[blackdie]

boh....io sono sicuro di aver letto cosi...

[Nidhogg]

"blackdie":posso aggiungere una domanda..sul mio libro si dice che fu creato perchè semplicava il calcolo nei logaritmi...

perchè li semplifica?

Veramente i logaritmi sono stati inventati per semplificare i calcoli!

[wedge]

"leonardo":Una chicca da Wikipedia: Le esatte motivazioni per la scelta della lettera e non sono note, ma si può supporre che sia dovuto al fatto che la lettera e è la iniziale della parola esponenziale. Un'altra motivazione sta nel fatto che le lettere a, b, c, e d venivano già frequentemente usate per altri oggetti matematici ed e era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto sua iniziale, poiché era un uomo molto modesto, sempre disposto a dare giusto credito al lavoro altrui.

[blackdie]

posso aggiungere una domanda..sul mio libro si dice che fu creato perchè semplicava il calcolo nei logaritmi...

perchè li semplifica?

[Nidhogg]

Una chicca da Wikipedia: Le esatte motivazioni per la scelta della lettera e non sono note, ma si può supporre che sia dovuto al fatto che la lettera e è la iniziale della parola esponenziale. Un'altra motivazione sta nel fatto che le lettere a, b, c, e d venivano già frequentemente usate per altri oggetti matematici ed e era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto sua iniziale, poiché era un uomo molto modesto, sempre disposto a dare giusto credito al lavoro altrui.

[cavallipurosangue]

A parte che un algoritmo "migliore" per approssimare il numero di Nepero è: $\sum_{n=0}^{+\infty}1/{n!}$, infatti vi ricordate la serie di Taylor per $f(x)=e^x$?
$e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n/{n!}$

In ogni caso in fisica è presentissimo perchè rappresenta spesso e volentieri la base di molte funzioni che derivano, o meglio sono soluzioni di equazioni differenziali... Proprio come seno e coseno, anche se questi ultimi sono più utilizzati per la scomposizione vettoriale...

[giuseppe87x]

Per quanto riguarda la fisica il numero di Nepero è importante perchè dagli integrali di natura iperbolica escono fuori sempre i logaritmi naturali e quindi il numero e.
Se poi pensi ad alcuni tipi di equazioni differenziali, le cui soluzioni derivano anch'esse da integrali iperbolici (pensa alle equazioni a variabili separabili) ti accorgi di come sia inevitabile che il numero di Nepero compaia un pò ovunque.

[Thomas16]

mi hai fregato! era wedge!

Cmq avevo cancellato quel post... mi sono accorto che le capacità del numero di nepero non potevano essere sintetizzate così... e allora ho preferito lasciar perdere...

[fireball1]

Thomas, il tuo post è scomparso?

[fireball1]

"Thomas":io ho sempre pensato che la e di Eulero fosse molto importante per la prima proprietà citata da Fireball... Questa la rende in grado di descrivere fenomeni in cui "una quantità varia secondo quanto è grande quella quantità"

Ehm... Quand'è che io avrei detto questa frase?

[wedge]

"SaturnV":Sto studiando le successioni e ho scoperto finalmente che il numero di Nepero è il limite per n naturale di $(1+1/n)^n$... Benissimo... Poi guardo il libro di Fisica e vedo che questo numero compare dappertutto come base di esponenziali... e non riesco a capire il perchè... dopotutto la successione che ho scritto prima mi sembra piuttosto "normale", come centinaia di altre che si trovano negli esercizi... perchè il numero di Nepero è tanto importante in matematica?

Fabio

beh, e^x è l'unica funzione il cui valore è uguale a quello del coeff angolare della tangente geometrica al suo grafico, infatti per e^x f(x)=f'(x).
inoltre e è la quinta costante matematica fondamentale assieme a 1, i, pi, 0, legata ad esse dell'identità fondamentale dell'analisi complessa $e^(ipi)+1=0$... da questa deriva anche la possibilità di trattare seno e coseno come forme esponenziali $cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2$ e $sin=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)$

questo è quanto mi viene in mente al momento, sicuramente c'è dell'altro