Il calcolo del PIgreco

[Sk_Anonymous]

All'indirizzo http://www.box.net/shared/2i26rm8s04 vorrei proporvi alcune nuove idee per il calcolo del PI greco.
Le simulazioni numeriche mi hanno dato ottimi risultati

[gugo82]

Insomma, lo scritto si basa sulla seguente congettura:

"Se ho una successione di polinomi [tex]$p_n$[/tex] che converge bene (in particolare uniformemente con tutte le derivate) a una funzione nota [tex]$f \in C^\infty$[/tex] e se so che [tex]$f(\xi )=0$[/tex], posso dire che esiste una successione [tex]$(x_n)$[/tex] tale che [tex]$x_n\to \xi$[/tex] e che [tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ p_n(x_n)=0$[/tex]."

Tale congettura in generale è falsa.
Ad esempio in [tex]$[-1,1]$[/tex] si definisca [tex]$f(x):=x^2$[/tex] e [tex]$p_n(x):=x^2+\tfrac{1}{n}$[/tex]. Chiaramente [tex]$p_n\to f$[/tex] uniformemente in [tex]$[-1,1]$[/tex]; d'altra parte:

[tex]$f^\prime (x)=2x=p_n^\prime (x)$[/tex] in [tex]$[-1,1]$[/tex],

ergo [tex]$p_n^\prime \to f^\prime$[/tex] uniformemente in [tex]$[-1,1]$[/tex]; ancora:

[tex]$f^{\prime \prime} (x)=2=p_n^{\prime \prime} (x)$[/tex] in [tex]$[-1,1]$[/tex]

quindi [tex]$p_n^{\prime \prime} \to f^{\prime \prime}$[/tex] uniformemente in [tex]$[-1,1]$[/tex]; infine:

[tex]$f^{(k)} (x)=0=p_n^{(k)} (x)$[/tex] in [tex]$[-1,1]$[/tex] per ogni [tex]$k\in \mathbb{N}$[/tex],

perciò [tex]$p_n^{(k)}\to f^{(k)}$[/tex] uniformemente in [tex]$[-1,1]$[/tex] per ogni [tex]$k\in \mathbb{N}$[/tex]. Ne viene che il tipo di convergenza di [tex]$p_n$[/tex] verso [tex]$f$[/tex] è proprio del tipo richiesto.

Tuttavia è [tex]$f(0)=0$[/tex], quindi si può prendere [tex]$\xi =0$[/tex], ma nessun [tex]$p_n$[/tex] ha zeri nell'intervallo [tex]$[-1,1]$[/tex], sicché non è possibile costruire la successione approssimante [tex]$(x_n)$[/tex].

Quindi le ipotesi della congettura iniziale non sono in generale sufficienti a garantire nemmeno l'esistenza della successione [tex]$(x_n)$[/tex]; pertanto servono ipotesi più forti.

In tal senso, si dovrebbe cercare di capire il ruolo svolto dal fatto che [tex]$p_n$[/tex] è una successione di polinomi di Taylor (e non una qualsiasi approssimante "buona") e se questo è davvero influente; se non lo è, ossia se è possibile trovare un controesempio in cui [tex]$f$[/tex] è analitica e le ipotesi non sono sufficienti a garantire l'esistenza di [tex]$(x_n)$[/tex] con le proprietà congetturate, allora bisogna capire se l'idea funziona effettivamente (e non con delle prove numeriche!) per [tex]$\cos x$[/tex] e, in caso affermativo, capire perchè funziona con tale funzione e non con altre.