I fondamenti della matematica
Salve,
una domanda un po' triviale, pero' a qualcuno devo farla.
Quali sono i fondamenti (assiomi/postulati/...) su cui si fonda l'edificio della matematica, sia dal punto di vista della logica che del calcolo?
(Esistono fondamenti del tipo: "la legge e' uguale per tutti"?...)Grazie.
Gian Maria Turi
una domanda un po' triviale, pero' a qualcuno devo farla.
Quali sono i fondamenti (assiomi/postulati/...) su cui si fonda l'edificio della matematica, sia dal punto di vista della logica che del calcolo?
(Esistono fondamenti del tipo: "la legge e' uguale per tutti"?...)Grazie.
Gian Maria Turi
Risposte
Io prediligo l'approcio costruttivo nella costruzioni degli insiemi dei numeri seguito poi da quello assiomatico per far vedere che l'insieme costruito è sostanzialmente l'unico (a meno di isomorfismi) che soddisfa tali proprietà. Sia che si usino gli assiomi di Peano che la teoria degli insiemi (ad esempio quella di ZF) per la costruzione dell'insieme dei numeri interi N, questo è irrilevante per la maggior parte della teoria dei numeri "classica", esistono comunque eccezioni si veda ad esempio https://www.matematicamente.it/forum/top ... IC_ID=3005.
Per quanto riguarda la costruzione dell'insieme Z degli interi relativi, può essere costruito a partire da N e si dimostra che è unico sotto certe condizioni (Z è a meno di isomorfismi l'unico dominio d'integrità ben ordinato dotato di unità).
Considerando il campo dei quozienti di Z si costruisce l'insieme dei razionali Q che è a meno di isomorfsimi il minimo campo che contiene Z, quindi di nuovo unico.
Per quanto riguarda R, l'insieme dei reali, lo si può ad esempio costuire a partire da Q con le sezioni di Dedekind oppure con le successioni di Cauchy, e risulta essere l'unico campo archimedeo ordinato completo.
Infine arrivando all'insieme dei complessi C, si ha che è la chiusura algebrica di R e come tale di nuovo unico a meno di isomorfismi.
Ovviamente non è che in post di 10 righe si possa spiegare l'enormità di concetti dietro i termini che ho usato, però credo che almeno dia l'idea del mio punto di vista, anche perchè non è che gli assiomi ci sono giunti sulle tavole di pietra quindi a certi concetti si arriva per gradi. La lista, piuttosto lunga, degli assiomi definitori di R anche se corretta in realtà non spiega molto.
Saluti e Buon Anno
Mistral
Per quanto riguarda la costruzione dell'insieme Z degli interi relativi, può essere costruito a partire da N e si dimostra che è unico sotto certe condizioni (Z è a meno di isomorfismi l'unico dominio d'integrità ben ordinato dotato di unità).
Considerando il campo dei quozienti di Z si costruisce l'insieme dei razionali Q che è a meno di isomorfsimi il minimo campo che contiene Z, quindi di nuovo unico.
Per quanto riguarda R, l'insieme dei reali, lo si può ad esempio costuire a partire da Q con le sezioni di Dedekind oppure con le successioni di Cauchy, e risulta essere l'unico campo archimedeo ordinato completo.
Infine arrivando all'insieme dei complessi C, si ha che è la chiusura algebrica di R e come tale di nuovo unico a meno di isomorfismi.
Ovviamente non è che in post di 10 righe si possa spiegare l'enormità di concetti dietro i termini che ho usato, però credo che almeno dia l'idea del mio punto di vista, anche perchè non è che gli assiomi ci sono giunti sulle tavole di pietra quindi a certi concetti si arriva per gradi. La lista, piuttosto lunga, degli assiomi definitori di R anche se corretta in realtà non spiega molto.
Saluti e Buon Anno
Mistral
credo che sia nei libri delle superiori (almeno per quanto riguarda i migliori) che in quelli universitari si tratti degli assiomi di peano.
|R, per quanto ne so, è definito dagli assiomi:
s1) la somma è associativa
s2) la somma è commutativa
s3) la somma ha neutro (zero)
s4) ogni elemento ha inverso (opposto)
--> (|R,+) è un gruppo abeliano
p1) il prodotto è associativo
p2) il prodotto è commutativo
p3) il prodotto ha el. neutro (uno)
p4) ogni elemento in |R\{0} ha inverso (reciproco)
--> (|R, +, *) è un campo
sp) per ogni x, y, z in |R, x*(y+z)=x*y+x*z (distributività dx e sx)
o)si definisce in |R una relazione d'ordine totale >= (che è quindi riflessiva, antisimmetrica, transitiva, e tc per ogni x, y in |R è x>=y o y>=x):
o1) x>=x
o2) x>=y e y>=x ==> x=y
o3) x>=y e y>=z ==> x>=z
o4) per ogni x, y in |R, è x>=y xor y>=x
per tale relazione valgono
os) x>=y ==> x+z>=y+z per ogni z (ordinamento-somma)
op) x>=y ==> x*z>=y*z per ogni z>0 (ordinamento-prodotto)
e poi, a differenziare |R da |Q, l'assioma di COMPLETEZZA:
dati A e B intervalli disgiunti (eventualmente contigui), esiste almeno un c in |R tc c è elemento separatore di A e B (cioè per ogni a in A, b in B, si ha a<=c<=b).
correggete,
ciao
daniele
|R, per quanto ne so, è definito dagli assiomi:
s1) la somma è associativa
s2) la somma è commutativa
s3) la somma ha neutro (zero)
s4) ogni elemento ha inverso (opposto)
--> (|R,+) è un gruppo abeliano
p1) il prodotto è associativo
p2) il prodotto è commutativo
p3) il prodotto ha el. neutro (uno)
p4) ogni elemento in |R\{0} ha inverso (reciproco)
--> (|R, +, *) è un campo
sp) per ogni x, y, z in |R, x*(y+z)=x*y+x*z (distributività dx e sx)
o)si definisce in |R una relazione d'ordine totale >= (che è quindi riflessiva, antisimmetrica, transitiva, e tc per ogni x, y in |R è x>=y o y>=x):
o1) x>=x
o2) x>=y e y>=x ==> x=y
o3) x>=y e y>=z ==> x>=z
o4) per ogni x, y in |R, è x>=y xor y>=x
per tale relazione valgono
os) x>=y ==> x+z>=y+z per ogni z (ordinamento-somma)
op) x>=y ==> x*z>=y*z per ogni z>0 (ordinamento-prodotto)
e poi, a differenziare |R da |Q, l'assioma di COMPLETEZZA:
dati A e B intervalli disgiunti (eventualmente contigui), esiste almeno un c in |R tc c è elemento separatore di A e B (cioè per ogni a in A, b in B, si ha a<=c<=b).
correggete,
ciao
daniele
Stiamo parlando di libri scolastici delle superiori e dell'università?
ab
ab
sì, i naturali si basano sugli assiomi di peano.
riguardo a R, più che essere costruito con degli assiomi, si è costruita tutto partendo dalle proprietà che R aveva "di per sè". almeno così mi è sembrato di cogliere nei vari corsi.
riguardo a R, più che essere costruito con degli assiomi, si è costruita tutto partendo dalle proprietà che R aveva "di per sè". almeno così mi è sembrato di cogliere nei vari corsi.
Per fortuna è la passata la modi di insegnare a partire dagli assiomi, soprattutto l'aritmetica che ha radici storiche molto più complesse di quelle puramente logiche, alcuni libri fanno riferimento agli assiomi di Peano.
ab
ab
una curiosità...ma oggi nei libri di matematica scolastici, gli assiomi che si usano in aritmetica, sono quelli di Peano?
Goedel ha infatti dimostrato l'irrealizzabilità del sogno Hilbertiano di fondare la matematica su assiomi.
Esistono dei tantativi storicamente interessanti, alcune teorie, o parti della matematica sono assiomatizzate.
ab
Esistono dei tantativi storicamente interessanti, alcune teorie, o parti della matematica sono assiomatizzate.
ab
in che senso??
beh, la geometria euclidea si basa su 5 postulati (Hilbert ha riscritto gli assiomi in modo da rendere l'edificio della geom euclidea formalmente più corretto e completo, i suoi assiomi li trovi su internet o su qualsiasi libro ben fatto). alcune geom non euclidee modificano semplicemente il 5° postulato. Volendo, modificando un qualunque postulato e inserendone un altro (coerentemente e sinteticamente corretto), si otterrebbe comunque una geometria (una costruzione) corretta (bisognerà poi vedere se, fisicamente o in altri campi, utile). L'algebra si basa su altri assiomi. Per esempio, |R è definito sulla base di un dato numero di assiomi che ne definiscono la struttura algebrica (assiomi riguardanti la somma, il prodotto, la loro correlazione (distributività), l'ordinamento (e il suo comportamente rispetto a somma e prodotto) e la completezza di |R), e da questi assiomi derivano le regole di calcolo (per esempio, la legge di cancellazione, o il fatto che un qualunque numero per zero dà zero). In generale, comunque, per il teorema di Goedel, non esisterà mai una teoria matematica al tempo stesso completa e coerente, cioè, se prendi una teoria matematica, o ci mancano degli assiomi per dimostrare qualcosa, o se riusciamo a dimostrare tutto, allora due assiomi saranno contradditori (incoerenza). Questo è quello che posso dirti, tieni presente che non sono un matematico ma un semplice studente,
ciao
daniele
beh, la geometria euclidea si basa su 5 postulati (Hilbert ha riscritto gli assiomi in modo da rendere l'edificio della geom euclidea formalmente più corretto e completo, i suoi assiomi li trovi su internet o su qualsiasi libro ben fatto). alcune geom non euclidee modificano semplicemente il 5° postulato. Volendo, modificando un qualunque postulato e inserendone un altro (coerentemente e sinteticamente corretto), si otterrebbe comunque una geometria (una costruzione) corretta (bisognerà poi vedere se, fisicamente o in altri campi, utile). L'algebra si basa su altri assiomi. Per esempio, |R è definito sulla base di un dato numero di assiomi che ne definiscono la struttura algebrica (assiomi riguardanti la somma, il prodotto, la loro correlazione (distributività), l'ordinamento (e il suo comportamente rispetto a somma e prodotto) e la completezza di |R), e da questi assiomi derivano le regole di calcolo (per esempio, la legge di cancellazione, o il fatto che un qualunque numero per zero dà zero). In generale, comunque, per il teorema di Goedel, non esisterà mai una teoria matematica al tempo stesso completa e coerente, cioè, se prendi una teoria matematica, o ci mancano degli assiomi per dimostrare qualcosa, o se riusciamo a dimostrare tutto, allora due assiomi saranno contradditori (incoerenza). Questo è quello che posso dirti, tieni presente che non sono un matematico ma un semplice studente,
ciao
daniele
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo