Goldbach
Buon giorno a tutti,
sono nuovo e vorrei gentilmente sapere, se possibile, se ciò che ho constatato può essere vero o falso:
preso un numero pari 2n con n pari, ci sono n\2 coppie di dispari
(x,y) tali che
x + y = 2n.
Il conteggio esatto #(p,q) delle coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, e' dato da
a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1
dove
M: numero esatto di primi minori di 2n
K: numero delle coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non
primi e tali che
x' + y' = 2n
Infatti il numero M di primi < 2n e' dato da
M = n\2 - K - #(p,q) + 1
Infatti se alle n\2 coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n tolgo
le K coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non primi e
tali che x' + y' = 2n ed aggiungo le #(p,q) coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, riesco a contare tutti i primi < 2n
esempio:
2n=36
ci sono n\2= 9 coppie (x,y) tali che x+y=36
1) 1+35
2) 3+33
3) 5+31
4) 7+29
5) 9+27
6) 11+25
7) 13+23
8) 15 + 21
9) 17 + 19
ad esse devo togliere K, cioe le coppie 1)(si considera il numero 1 non primo) , 5) e 8) ottenendo
3+33
5+31
7+29
11+25
13+23
17 + 19
ora devo aggiungere le coppie (p,q) con p e q entrambi primi
tali che p+q=36 cioe le coppie 3) 4) 7) 9) e ottengo
1. 3+33
2. 5+31
3. 7+29
4. 11+25
5. 13+23
6. 17 + 19
7. 5+31
8. 7+29
9. 13+23
10. 17+19
come si vede, conto tutti i primi < 36
Infatti in
1. ho 3
2. ho 5
3. ho 7
4. ho 11
5. ho 13
6. ho 17
8. ho 29 (il 7 l'ho già preso)
9. ho 23 (il 13 l'ho gia preso)
10. ho 19 (il 17 l'ho già preso)
Chiaramente in a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1, il fattore (-1) tiene conto del numero primo 2 che è l'unico primo pari.
Io credo che non possa esistere un pari 2n, con n pari tale che non vi
sia nessuna coppia di primi (p,q) tale che p + q = 2n ovvero tale che
#(p,q) = 0
in quanto questo implicherebbe che per tale numero pari, il numero
(n/2) delle coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n sarebbe uguale
a:
n/2 = M + K - 1
mentre si dimostra facilmente che per ogni 2n
n/2 < M + K - 1
Dimostrazione:
Supponiamo che
n/2 = M + K - 1;
questo implica che il numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n
è dato dal numero esatto di primi < 2n più il numero di coppie (x', y')
con x' e y' non primi tali che x' + y' = 2n.
Ciò è ovviamente falso perchè in tale conto per contare le n/2 coppie, numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n, ho una sovrastima data dal conteggio dei numeri primi M > n.
Di conseguenza è
n/2 < M + K - 1
per avere l'uguaglianza devo allora aggiungere un addendo B a n/2
dunque abbiamo
n/2 + B = M + K - 1
ovvero:
B = M + K - n/2 - 1
Spero di condividere con voi l'esattezza o la non esattezza di quanto ho scritto!
Buona matematica a tutti!
sono nuovo e vorrei gentilmente sapere, se possibile, se ciò che ho constatato può essere vero o falso:
preso un numero pari 2n con n pari, ci sono n\2 coppie di dispari
(x,y) tali che
x + y = 2n.
Il conteggio esatto #(p,q) delle coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, e' dato da
a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1
dove
M: numero esatto di primi minori di 2n
K: numero delle coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non
primi e tali che
x' + y' = 2n
Infatti il numero M di primi < 2n e' dato da
M = n\2 - K - #(p,q) + 1
Infatti se alle n\2 coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n tolgo
le K coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non primi e
tali che x' + y' = 2n ed aggiungo le #(p,q) coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, riesco a contare tutti i primi < 2n
esempio:
2n=36
ci sono n\2= 9 coppie (x,y) tali che x+y=36
1) 1+35
2) 3+33
3) 5+31
4) 7+29
5) 9+27
6) 11+25
7) 13+23
8) 15 + 21
9) 17 + 19
ad esse devo togliere K, cioe le coppie 1)(si considera il numero 1 non primo) , 5) e 8) ottenendo
3+33
5+31
7+29
11+25
13+23
17 + 19
ora devo aggiungere le coppie (p,q) con p e q entrambi primi
tali che p+q=36 cioe le coppie 3) 4) 7) 9) e ottengo
1. 3+33
2. 5+31
3. 7+29
4. 11+25
5. 13+23
6. 17 + 19
7. 5+31
8. 7+29
9. 13+23
10. 17+19
come si vede, conto tutti i primi < 36
Infatti in
1. ho 3
2. ho 5
3. ho 7
4. ho 11
5. ho 13
6. ho 17
8. ho 29 (il 7 l'ho già preso)
9. ho 23 (il 13 l'ho gia preso)
10. ho 19 (il 17 l'ho già preso)
Chiaramente in a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1, il fattore (-1) tiene conto del numero primo 2 che è l'unico primo pari.
Io credo che non possa esistere un pari 2n, con n pari tale che non vi
sia nessuna coppia di primi (p,q) tale che p + q = 2n ovvero tale che
#(p,q) = 0
in quanto questo implicherebbe che per tale numero pari, il numero
(n/2) delle coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n sarebbe uguale
a:
n/2 = M + K - 1
mentre si dimostra facilmente che per ogni 2n
n/2 < M + K - 1
Dimostrazione:
Supponiamo che
n/2 = M + K - 1;
questo implica che il numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n
è dato dal numero esatto di primi < 2n più il numero di coppie (x', y')
con x' e y' non primi tali che x' + y' = 2n.
Ciò è ovviamente falso perchè in tale conto per contare le n/2 coppie, numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n, ho una sovrastima data dal conteggio dei numeri primi M > n.
Di conseguenza è
n/2 < M + K - 1
per avere l'uguaglianza devo allora aggiungere un addendo B a n/2
dunque abbiamo
n/2 + B = M + K - 1
ovvero:
B = M + K - n/2 - 1
Spero di condividere con voi l'esattezza o la non esattezza di quanto ho scritto!
Buona matematica a tutti!
Risposte
Stessa cosa vale per $#(p,q)$ e $B$: se un primo appartiene a $#(p,q)$ necessariamente non appartiene a $B$; e viceversa.
Grazie al vincolo!
Cosa ne pensi?
Grazie al vincolo!
Cosa ne pensi?
Alexp,
l'insieme $B_#(p,q)$ non può esistere, dato che se un primo appartiene a $#(p,q)$ necessariamente non appartiene a $B_#(p,q)$ e viceversa.
Le coppie di dispari (x,y) hanno infatti un vincolo: $x + y = 2n$, per cui se un primo si lega ad un altro primo per generare 2n, automaticamente esso apparterrà a $#(p,q)$ e non potrà appartenere a $B_#(p,q)$, mentre se tale primo si lega ad un non primo per generare 2n, esso apparterrà a $B_#(p,q)$ e non potrà appartenere a $#(p,q)$.
Non può accadere che un primo appartenga a entrambi gli insiemi.
l'insieme $B_#(p,q)$ non può esistere, dato che se un primo appartiene a $#(p,q)$ necessariamente non appartiene a $B_#(p,q)$ e viceversa.
Le coppie di dispari (x,y) hanno infatti un vincolo: $x + y = 2n$, per cui se un primo si lega ad un altro primo per generare 2n, automaticamente esso apparterrà a $#(p,q)$ e non potrà appartenere a $B_#(p,q)$, mentre se tale primo si lega ad un non primo per generare 2n, esso apparterrà a $B_#(p,q)$ e non potrà appartenere a $#(p,q)$.
Non può accadere che un primo appartenga a entrambi gli insiemi.
Ho una considerazione da farti sulla tua ultima formula.....
$M$ si dovrebbe calcolare come...$(n/2)-K+#(p,q)-B_(#(p,q))+1$ dove con $B_(#(p,q))$ si indica tutte le coppie primi e non primi contenenti primi già compresi in $#(p,q)$.
Ora essendo $n/2=K+#(p,q)+B$, ma anche $n/2=M+K-#(p,q)+B_(#(p,q))-1$ risulta
$M=2#(p,q)+B-B_(#(p,q))+1$
Nella tua formula, considerare solo $B$ è errato perchè rischieresti di contare più volte lo stesso primo qualora lo avessi presente sia in $#(p,q)$ che in $B$
Cosa ne dici?
$M$ si dovrebbe calcolare come...$(n/2)-K+#(p,q)-B_(#(p,q))+1$ dove con $B_(#(p,q))$ si indica tutte le coppie primi e non primi contenenti primi già compresi in $#(p,q)$.
Ora essendo $n/2=K+#(p,q)+B$, ma anche $n/2=M+K-#(p,q)+B_(#(p,q))-1$ risulta
$M=2#(p,q)+B-B_(#(p,q))+1$
Nella tua formula, considerare solo $B$ è errato perchè rischieresti di contare più volte lo stesso primo qualora lo avessi presente sia in $#(p,q)$ che in $B$
Cosa ne dici?
Alexp,
ciò che dici è molto interessante.
Mi sono venute immediatamente in menta alcune considerazioni.
Supponiamo che $#(p,q) = 0$
Supposto ciò, le coppie che formano 2n sono coppie di non primi (K) e coppie di primi e non primi (tu lo hai chiamato B)
Cioè:
$\frac{n}{2} = K + B$
In base alla mia formula:
$\frac{n}{2} = K + B = M + K -B -1$
ovvero:
$M = 2B+1$
ovvero il numero di primi minori di 2n è uguale al doppio del numero delle coppie di primi e non primi +1!
ora poichè il max dell'insieme B è il numero primo immediatamente minore di n, questo implica che i numeri primi minori di quel 2n sono dati dal doppio dei numeri primi minori di n più 1.
A me sembra un assurdo visto la casualità insita nei numeri primi
Non resta dunque che aggiungere un fattore nella somma: ovvero aggiungere le coppie di entrambi primi, cosicchè:
$\frac{n}{2} = K + B + #(p,q)$
Vediamo la consinsenza della mia formula:
$\frac{n}{2} = K + B + #(p,q) = M + K - #(p,q) - 1$
ovvero:
$M = 2#(p,q) + B + 1$.
ovvero prendo tutte le coppie di primi due volte (è chiaro il perchè vero?)
A tale insieme aggiungo i primi che non si legano con altri primi (stiamo parlando di B, coppie di primi non primi))
Aggiungo 1 per tenere conto del numero primo 2.
Direi che è consistente!
ciò che dici è molto interessante.
Mi sono venute immediatamente in menta alcune considerazioni.
Supponiamo che $#(p,q) = 0$
Supposto ciò, le coppie che formano 2n sono coppie di non primi (K) e coppie di primi e non primi (tu lo hai chiamato B)
Cioè:
$\frac{n}{2} = K + B$
In base alla mia formula:
$\frac{n}{2} = K + B = M + K -B -1$
ovvero:
$M = 2B+1$
ovvero il numero di primi minori di 2n è uguale al doppio del numero delle coppie di primi e non primi +1!
ora poichè il max dell'insieme B è il numero primo immediatamente minore di n, questo implica che i numeri primi minori di quel 2n sono dati dal doppio dei numeri primi minori di n più 1.
A me sembra un assurdo visto la casualità insita nei numeri primi
Non resta dunque che aggiungere un fattore nella somma: ovvero aggiungere le coppie di entrambi primi, cosicchè:
$\frac{n}{2} = K + B + #(p,q)$
Vediamo la consinsenza della mia formula:
$\frac{n}{2} = K + B + #(p,q) = M + K - #(p,q) - 1$
ovvero:
$M = 2#(p,q) + B + 1$.
ovvero prendo tutte le coppie di primi due volte (è chiaro il perchè vero?)
A tale insieme aggiungo i primi che non si legano con altri primi (stiamo parlando di B, coppie di primi non primi))
Aggiungo 1 per tenere conto del numero primo 2.
Direi che è consistente!
C’è da aggiungere che non tutti i numeri pari si possono esprimere come $2n$ con $n$ pari, perciò bisogna distinguere i casi in cui $n$ non è pari…..in quei casi le coppie $(x,y)$ con $x$ e $y$ entrambi dispari sono date da $((n-2)/4)+1$
Il vero problema però non è questo, ma dimostrare che $#(p,q)$ sia necessariamente diverso da $0$, infatti $n/2$ oppure $((n-2)/4)+1$ si possono ipotizzare $=$ ad $M+K-B-1$ dove $B$ non corrisponde a $#(p,q)$ , ma al numero di coppie formate da un primo e da un non primo.
Il vero problema però non è questo, ma dimostrare che $#(p,q)$ sia necessariamente diverso da $0$, infatti $n/2$ oppure $((n-2)/4)+1$ si possono ipotizzare $=$ ad $M+K-B-1$ dove $B$ non corrisponde a $#(p,q)$ , ma al numero di coppie formate da un primo e da un non primo.
La formula è molto interessante anche se non capisco perchè possa valere... gentilmente potresti dimostrare questo risultato preliminarmente?
Vero mi sono sbagliato 
ops no sia ha da sostituire con si ha
No no, quello è un errore di scrittura e basta
l'errore è un altro e se leggi bene dovresti accorgertene, il problema è che dai per scontato quello che ho scritto perché dovrebbe essere la formalizzazione del tuo enunciato.
No no, quello è un errore di scrittura e basta
l'errore è un altro e se leggi bene dovresti accorgertene, il problema è che dai per scontato quello che ho scritto perché dovrebbe essere la formalizzazione del tuo enunciato.
AlexP,
hai ragione, anche io mi sono accorto dell'errore di LordK e lo avevo corretto!
Il problema è che credo che il mio assunto si autoreferenzia...
Ovvero io parto dalla formula per il calcolo di $#(p,q)$.
Questa formula la ricavo dal calcolo di $M$.
Dopo di che "dimostro" che se è valida quella formula per il calcolo di M, allora $#(p,q)$ non potrà mai essere nullo, poichè questo implicherebbe un assurdo nella formula che cerco di dimostrare.
Godel si rivolterebbe nella tomba....
Questo non implica che però la formula non funzioni....
hai ragione, anche io mi sono accorto dell'errore di LordK e lo avevo corretto!
Il problema è che credo che il mio assunto si autoreferenzia...
Ovvero io parto dalla formula per il calcolo di $#(p,q)$.
Questa formula la ricavo dal calcolo di $M$.
Dopo di che "dimostro" che se è valida quella formula per il calcolo di M, allora $#(p,q)$ non potrà mai essere nullo, poichè questo implicherebbe un assurdo nella formula che cerco di dimostrare.
Godel si rivolterebbe nella tomba....
Questo non implica che però la formula non funzioni....
Krek,
hai perfettamente ragione sulla questione formalizzazione!
Ma ancora non mi è saltato all'occhio K=0;
Riguardo al tuo errore, l'unico che vedo è "Sia ha"....forse ho capito...
hai perfettamente ragione sulla questione formalizzazione!
Ma ancora non mi è saltato all'occhio K=0;
Riguardo al tuo errore, l'unico che vedo è "Sia ha"....forse ho capito...
Dato un numero n pari mi sai dire quanti sono i numeri primi minori di 2n?
Scusa, ma secondo me LordK hai sbagliato
se $2n=28$ allora $n/2=7$
K è il numero di coppie in cui entrambi i numeri non sono primi, quindi tra le coppie $n/2$
$(1,27), (3,25), (5,23), (7,21), (9,19), (11,17)$ e $(13,15)$ l'unica coppia in cui entrambi non sono primi è $(1,27)$, dunque $k=1$ ora le coppie $#(p,q)$ in cui entrambi sono primi sono due, ossia la coppia $(5,23)$ e la coppia $(11,17)$
Detto questo la formula:
$M=n/2-K+#(p,q)+1$ da come risultato $M=7-1+2+1$ cioè $9$
il risultato perciò è corretto perchè i primi minori di $28$ sono: $2,3,5,7,11,13,17,19$ e $23$
se $2n=28$ allora $n/2=7$
K è il numero di coppie in cui entrambi i numeri non sono primi, quindi tra le coppie $n/2$
$(1,27), (3,25), (5,23), (7,21), (9,19), (11,17)$ e $(13,15)$ l'unica coppia in cui entrambi non sono primi è $(1,27)$, dunque $k=1$ ora le coppie $#(p,q)$ in cui entrambi sono primi sono due, ossia la coppia $(5,23)$ e la coppia $(11,17)$
Detto questo la formula:
$M=n/2-K+#(p,q)+1$ da come risultato $M=7-1+2+1$ cioè $9$
il risultato perciò è corretto perchè i primi minori di $28$ sono: $2,3,5,7,11,13,17,19$ e $23$
@ fabioGauss
La buona volontà non ti manca, però dovresti cercare di essere un goccino più formale quando esponi il risultato di qualsiasi argomento tu stia trattando.
Quando studi qualcosa per conto tuo puoi usare pennarelli, palline di carta, pezzi del Risiko, freccette e stelle filanti.
(consiglio anche a gli altri di farlo).
Poi però quando si tirano le conclusioni sarebbe bene la formalizzazione del problema perché se il risultato è corretto lo è sicuramente anche dopo la formalizzazione e perché usando un linguaggio più formale usi un linguaggio comprensibile a tutti e a volte può succedere che con la formalizzazione ti "saltano all'occhio" cose che prima non avevi notato come il K=0.
io avrei esposto così e premetto che anche io non sono stato rigoroso al 100%.
.....................................................
Sia n un numero pari, ci sono n/2 coppie (p,q) con p e q dispari tali che 2n=p+q
$\G={(x,y)| text{(x e y sono primi)}^^text{(x+y=2n)}}$
Sia ha
$\|G| = |M| + |K| -n/2 -1$
dove
$\M= { x | text{(x è un numero primo)}^^text{(x<2n)}}$
$\K={ (x',y') | text{ (x' e y' non sono primi)}^^text{(x'+y'=2n)}}$
.
.
.
etc....
(Nella mia formalizzazione ho messo volutamente un errore, non dovrebbe essere difficile da vedere)
Ma la conclusione qual'è?
La buona volontà non ti manca, però dovresti cercare di essere un goccino più formale quando esponi il risultato di qualsiasi argomento tu stia trattando.
Quando studi qualcosa per conto tuo puoi usare pennarelli, palline di carta, pezzi del Risiko, freccette e stelle filanti.
(consiglio anche a gli altri di farlo
).Poi però quando si tirano le conclusioni sarebbe bene la formalizzazione del problema perché se il risultato è corretto lo è sicuramente anche dopo la formalizzazione e perché usando un linguaggio più formale usi un linguaggio comprensibile a tutti e a volte può succedere che con la formalizzazione ti "saltano all'occhio" cose che prima non avevi notato come il K=0.
io avrei esposto così e premetto che anche io non sono stato rigoroso al 100%.
.....................................................
Sia n un numero pari, ci sono n/2 coppie (p,q) con p e q dispari tali che 2n=p+q
$\G={(x,y)| text{(x e y sono primi)}^^text{(x+y=2n)}}$
Sia ha
$\|G| = |M| + |K| -n/2 -1$
dove
$\M= { x | text{(x è un numero primo)}^^text{(x<2n)}}$
$\K={ (x',y') | text{ (x' e y' non sono primi)}^^text{(x'+y'=2n)}}$
.
.
.
etc....
(Nella mia formalizzazione ho messo volutamente un errore, non dovrebbe essere difficile da vedere)
Ma la conclusione qual'è?
Lord K,
c'è un errore nella tua considerazione.
Allora:
2n = 28
M = {2,3,5,7,11,13,17,19,23}; in numero sono 9, come affermi tu.
$\frac{n}{2}$ = 7 come affermi tu e sono le coppie (1,27);(3,25);(5,23);(7,21);(9,19);(11,17);(13,15)
#(p,q) = 2; esattamente sono le coppie (5,23); (11,17); ti ricordo che è l'insieme delle coppie (p,q) con p, q entrambi primi.
K = 1 ed è la coppia (1,27); ti ricordo che è l'insieme delle coppie (x', y') in cui x' ed y' sono entrambi non primi.
per cui
7-1+2+1 = 9 = M
Sul condividere informazioni, non vedo l'ora!
c'è un errore nella tua considerazione.
Allora:
2n = 28
M = {2,3,5,7,11,13,17,19,23}; in numero sono 9, come affermi tu.
$\frac{n}{2}$ = 7 come affermi tu e sono le coppie (1,27);(3,25);(5,23);(7,21);(9,19);(11,17);(13,15)
#(p,q) = 2; esattamente sono le coppie (5,23); (11,17); ti ricordo che è l'insieme delle coppie (p,q) con p, q entrambi primi.
K = 1 ed è la coppia (1,27); ti ricordo che è l'insieme delle coppie (x', y') in cui x' ed y' sono entrambi non primi.
per cui
7-1+2+1 = 9 = M
Sul condividere informazioni, non vedo l'ora!
Premetto che spero di poter condividere con te qualche informazione interessante! 
Alcune considerazioni preliminari:
- Di certo $K
$K+#(p,q)=#{(1,27),(3,25),(5,23),(7,21),(9,19),(11,17),(13,15)}=7$
Dove $K=4$ e $#(p,q)=3$
Da cui con la tua formula:
$M=n/2-K+#(p,q)+1$
$9=7-4+3+1$
$9=7$
Che è ovviamente errato.
Alcune considerazioni preliminari:
- Di certo $K
$K+#(p,q)=#{(1,27),(3,25),(5,23),(7,21),(9,19),(11,17),(13,15)}=7$
Dove $K=4$ e $#(p,q)=3$
Da cui con la tua formula:
$M=n/2-K+#(p,q)+1$
$9=7-4+3+1$
$9=7$
Che è ovviamente errato.
Lord K,
sono contento che condividiamo lo stesso interesse!
Spero di essere stato più chiaro nella seconda esposizione del mio argomento, ma ancora non sono riuscito a capire il perchè affermate che se non esistono coppie di primi (p,q) tali che $p +q = 2n$ cioè il caso #(p,q) = 0, allora non esistono coppie (x', y') di dispari non primi tali che $x' + y' = 2n.$
In parole povere perchè dite che il caso #(p,q) = 0 implicherebbe K = 0?
sono contento che condividiamo lo stesso interesse!
Spero di essere stato più chiaro nella seconda esposizione del mio argomento, ma ancora non sono riuscito a capire il perchè affermate che se non esistono coppie di primi (p,q) tali che $p +q = 2n$ cioè il caso #(p,q) = 0, allora non esistono coppie (x', y') di dispari non primi tali che $x' + y' = 2n.$
In parole povere perchè dite che il caso #(p,q) = 0 implicherebbe K = 0?
Nella prima scrittura c'èra un errore di segno nella formula per il calcolo di M, che poi ho corretto nella seconda scrittura.
Inoltre vi propongo un esempio per chiarimento:
M è il numero di primi minori di due 2n
#(p,q) è il numero esatto di coppie di primi tali che $p +q = 2n$
K è il numero di coppie (x' , y') di dispari non primi tali che $x' + y' = 2n$
Esempio 2n = 36
M = 11 (infatti i primi < 36 sono {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31} in numero uguale a 11)
#(p,q) = 4 (infatti le coppie di primi sono (5,31), (7,29), (13,23), (17,19))
K = 3 (infatti le coppie di non primi sono (1,35), (9,27), (15,21))
notate come tale conteggio rispetti la formula:
$M = \frac{n}{2} - K + #(p,q) + 1$
11 = 9-3+4+1
Sto lavorando al caso in cui n sia dispari, ma il ragionamento è analogo.
Inoltre vi propongo un esempio per chiarimento:
M è il numero di primi minori di due 2n
#(p,q) è il numero esatto di coppie di primi tali che $p +q = 2n$
K è il numero di coppie (x' , y') di dispari non primi tali che $x' + y' = 2n$
Esempio 2n = 36
M = 11 (infatti i primi < 36 sono {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31} in numero uguale a 11)
#(p,q) = 4 (infatti le coppie di primi sono (5,31), (7,29), (13,23), (17,19))
K = 3 (infatti le coppie di non primi sono (1,35), (9,27), (15,21))
notate come tale conteggio rispetti la formula:
$M = \frac{n}{2} - K + #(p,q) + 1$
11 = 9-3+4+1
Sto lavorando al caso in cui n sia dispari, ma il ragionamento è analogo.
Mi rendo conto che le formule non erano ben formalizzate, anche perchè con il simbolo # non indico la cardinalità di un insieme (come spesso si usa)
Ecco una riscrittura delle formule utilizzando il formalismo del forum:
Preso un numero pari 2n con n pari, ci sono $\frac{n}{2}$ coppie (x, y) di dispari tali che
$x + y = 2n$.
Se fra tali coppie di dispari, esistono coppie di numeri (p, q) con p e q numeri primi, chiamando con #(p,q) il numero di tali coppie, esso è dato da:
1) $#(p,q) = M + K - \frac{n}{2} -1$
dove con
M: indico il numero esatto di primi minori di 2n
K: numero esatto di coppie (x', y'), tra le $\frac{n}{2}$ coppie, con x' ed y' entrambi non primi e tali che $x' + y' = 2n.
Infatti il numero esatto di primi minori di 2n è dato da:
2) $M = \frac{n}{2} - K + #(p,q) + 1$.
Prendo tutte le $\frac{n}{2}$ coppie di dispari che generano 2n; da tali coppie elimino quelle con entrambi gli addendi non primi, in numero uguale a K; a tale nuovo insieme aggiungo le coppie (p, q) , tra le $\frac{n}{2}$ coppie , con entrambi gli addendi primi, in numero uguale a #(p,q).
A tale insieme generato, aggiungo 1 (per tenere conto del numero primo 2).
In tale modo sono sicuro di aver contato tutti i numeri primi minori di 2n.
Mi rendo conto che questo concetto non è semplice, io d'altronde sono un fisico per cui mi riesce più facile provare questo concetto sperimentalmente (con i conti cioè...) piuttosto che riuscire a trovare una formalizzazione elegante di tale concetto...(magari mi puoi dare una mano..)
Ritornando alla 1) (che non è altro che una conseguenza della 2)) supponiamo ora che #(p,q) = 0.
Questo implica:
3) $\frac{n}{2} = M + K -1.$
Quello che io asserisco che tale assunto è assurdo, in quanto è sempre:
4) $\frac{n}{2} < M + K -1.$
Supponiamo infatti che sia vera l'uguaglianza 3):
$\frac{n}{2} = M + K -1.$
con i significati dei vari termini, scritti sopra.
Ricordo che $\frac{n}{2}$ da il conteggio esatto delle coppie di dispari (x, y) tali che:
$x + y = 2n$.
Allora, se la 3) fosse vera, in tale conteggio ho una sovrastima data dal conteggio di tutti i numeri primi maggiori di n.
Ti faccio un esempio: supponiamo 2n = 36 allora n = 18 ed M = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31}
Tutti i numeri primi contenuti in M, maggiori di 18, ovvero {19, 23, 29, 31}, danno una sovrastima al conteggio delle 9 coppie.
Dunque nella 3) ho una sovrastima, di conseguenza è:
$\frac{n}{2} < M + K -1.$
Mi rendo conto che il ragionamento non è chiarissimo anche se io l'ho bene in mente, spero di essere stato un pò più chiaro.
Ti volevo chiedere una spiegazione del perchè se
#(p,q) = 0, allora K = 0.
Grazie per la tua disponibilità!
Ecco una riscrittura delle formule utilizzando il formalismo del forum:
Preso un numero pari 2n con n pari, ci sono $\frac{n}{2}$ coppie (x, y) di dispari tali che
$x + y = 2n$.
Se fra tali coppie di dispari, esistono coppie di numeri (p, q) con p e q numeri primi, chiamando con #(p,q) il numero di tali coppie, esso è dato da:
1) $#(p,q) = M + K - \frac{n}{2} -1$
dove con
M: indico il numero esatto di primi minori di 2n
K: numero esatto di coppie (x', y'), tra le $\frac{n}{2}$ coppie, con x' ed y' entrambi non primi e tali che $x' + y' = 2n.
Infatti il numero esatto di primi minori di 2n è dato da:
2) $M = \frac{n}{2} - K + #(p,q) + 1$.
Prendo tutte le $\frac{n}{2}$ coppie di dispari che generano 2n; da tali coppie elimino quelle con entrambi gli addendi non primi, in numero uguale a K; a tale nuovo insieme aggiungo le coppie (p, q) , tra le $\frac{n}{2}$ coppie , con entrambi gli addendi primi, in numero uguale a #(p,q).
A tale insieme generato, aggiungo 1 (per tenere conto del numero primo 2).
In tale modo sono sicuro di aver contato tutti i numeri primi minori di 2n.
Mi rendo conto che questo concetto non è semplice, io d'altronde sono un fisico per cui mi riesce più facile provare questo concetto sperimentalmente (con i conti cioè...) piuttosto che riuscire a trovare una formalizzazione elegante di tale concetto...(magari mi puoi dare una mano..)
Ritornando alla 1) (che non è altro che una conseguenza della 2)) supponiamo ora che #(p,q) = 0.
Questo implica:
3) $\frac{n}{2} = M + K -1.$
Quello che io asserisco che tale assunto è assurdo, in quanto è sempre:
4) $\frac{n}{2} < M + K -1.$
Supponiamo infatti che sia vera l'uguaglianza 3):
$\frac{n}{2} = M + K -1.$
con i significati dei vari termini, scritti sopra.
Ricordo che $\frac{n}{2}$ da il conteggio esatto delle coppie di dispari (x, y) tali che:
$x + y = 2n$.
Allora, se la 3) fosse vera, in tale conteggio ho una sovrastima data dal conteggio di tutti i numeri primi maggiori di n.
Ti faccio un esempio: supponiamo 2n = 36 allora n = 18 ed M = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31}
Tutti i numeri primi contenuti in M, maggiori di 18, ovvero {19, 23, 29, 31}, danno una sovrastima al conteggio delle 9 coppie.
Dunque nella 3) ho una sovrastima, di conseguenza è:
$\frac{n}{2} < M + K -1.$
Mi rendo conto che il ragionamento non è chiarissimo anche se io l'ho bene in mente, spero di essere stato un pò più chiaro.
Ti volevo chiedere una spiegazione del perchè se
#(p,q) = 0, allora K = 0.
Grazie per la tua disponibilità!
Adoro questo argomento e lo sto sviscerando da diversi anni!!
Come mai ti riduci al caso in cui $n$ è pari?
Immagino $M$ sia il numero esatto di coppie di primi!
Come detto correttamente da krek poi:
$#(p,q)=0$ implica $K=0$
Inoltre ti faccio notare una cosa, se davvero esistessero due primi tali che:
$2n=p+q$
Allora necessariamente abbiamo una delle seguenti condizioni:
1) $n=p=q$
2) $pn$
Il problema nella maggior parte delle trattazioni è che nell'intervallo da $0$ a $n$ di primi ce ne sono moltissimi, mentre da $n$ a $2n$ si diradano notevolmente. A questo proposito il risultato più vicino alla risoluzione si deve a Chen che dimostra che dato $2n$ allora si può scrivere:
$2n=ps+q$
con $p,q,s$ primi.
"fabioGauss":
Buon giorno a tutti,
sono nuovo e vorrei gentilmente sapere, se possibile, se ciò che ho constatato può essere vero o falso:
preso un numero pari 2n con n pari, ci sono n\2 coppie di dispari (x,y) tali che
x + y = 2n.
Come mai ti riduci al caso in cui $n$ è pari?
Il conteggio esatto #(p,q) delle coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, e' dato da
a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1
dove
M: numero esatto di primi minori di 2n
K: numero delle coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non
primi e tali che
x' + y' = 2n
Immagino $M$ sia il numero esatto di coppie di primi!
Infatti il numero M di primi < 2n e' dato da
M = n\2 - K - #(p,q) + 1
Infatti se alle n\2 coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n tolgo
le K coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non primi e
tali che x' + y' = 2n ed aggiungo le #(p,q) coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, riesco a contare tutti i primi < 2n
esempio:
2n=36
ci sono n\2= 9 coppie (x,y) tali che x+y=36
1) 1+35
2) 3+33
3) 5+31
4) 7+29
5) 9+27
6) 11+25
7) 13+23
8) 15 + 21
9) 17 + 19
ad esse devo togliere K, cioe le coppie 1)(si considera il numero 1 non primo) , 5) e 8) ottenendo
3+33
5+31
7+29
11+25
13+23
17 + 19
ora devo aggiungere le coppie (p,q) con p e q entrambi primi
tali che p+q=36 cioe le coppie 3) 4) 7) 9) e ottengo
1. 3+33
2. 5+31
3. 7+29
4. 11+25
5. 13+23
6. 17 + 19
7. 5+31
8. 7+29
9. 13+23
10. 17+19
come si vede, conto tutti i primi < 36
Infatti in
1. ho 3
2. ho 5
3. ho 7
4. ho 11
5. ho 13
6. ho 17
8. ho 29 (il 7 l'ho già preso)
9. ho 23 (il 13 l'ho gia preso)
10. ho 19 (il 17 l'ho già preso)
Chiaramente in a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1, il fattore (-1) tiene conto del numero primo 2 che è l'unico primo pari.
Io credo che non possa esistere un pari 2n, con n pari tale che non vi
sia nessuna coppia di primi (p,q) tale che p + q = 2n ovvero tale che
#(p,q) = 0
in quanto questo implicherebbe che per tale numero pari, il numero
(n/2) delle coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n sarebbe uguale
a:
n/2 = M + K - 1
mentre si dimostra facilmente che per ogni 2n
n/2 < M + K - 1
Dimostrazione:
Supponiamo che
n/2 = M + K - 1;
questo implica che il numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n
è dato dal numero esatto di primi < 2n più il numero di coppie (x', y')
con x' e y' non primi tali che x' + y' = 2n.
Ciò è ovviamente falso perchè in tale conto per contare le n/2 coppie, numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n, ho una sovrastima data dal conteggio dei numeri primi M > n.
Di conseguenza è
n/2 < M + K - 1
per avere l'uguaglianza devo allora aggiungere un addendo B a n/2
dunque abbiamo
n/2 + B = M + K - 1
ovvero:
B = M + K - n/2 - 1
Spero di condividere con voi l'esattezza o la non esattezza di quanto ho scritto!
Buona matematica a tutti!
Come detto correttamente da krek poi:
$#(p,q)=0$ implica $K=0$
Inoltre ti faccio notare una cosa, se davvero esistessero due primi tali che:
$2n=p+q$
Allora necessariamente abbiamo una delle seguenti condizioni:
1) $n=p=q$
2) $p
Il problema nella maggior parte delle trattazioni è che nell'intervallo da $0$ a $n$ di primi ce ne sono moltissimi, mentre da $n$ a $2n$ si diradano notevolmente. A questo proposito il risultato più vicino alla risoluzione si deve a Chen che dimostra che dato $2n$ allora si può scrivere:
$2n=ps+q$
con $p,q,s$ primi.
Se #(p,q) = 0 allora K=0
#(p,q) = M + K - n\2 - 1
M =#(p,q) -K + n/2 + 1
M = n/2 + 1 ( che sono n/2 numeri primi + il "due" )
dopo mi sembrano sbagliate anche le conclusioni successive
Ricontrolla quello che hai scritto e se possibile potresti formalizzarlo un pochino meglio definendo i vari insiemi e usando le cardinalità degli insiemi trattati?
#(p,q) = M + K - n\2 - 1
M =#(p,q) -K + n/2 + 1
M = n/2 + 1 ( che sono n/2 numeri primi + il "due" )
dopo mi sembrano sbagliate anche le conclusioni successive
Ricontrolla quello che hai scritto e se possibile potresti formalizzarlo un pochino meglio definendo i vari insiemi e usando le cardinalità degli insiemi trattati?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo