Goldbach
Buon giorno a tutti,
sono nuovo e vorrei gentilmente sapere, se possibile, se ciò che ho constatato può essere vero o falso:
preso un numero pari 2n con n pari, ci sono n\2 coppie di dispari
(x,y) tali che
x + y = 2n.
Il conteggio esatto #(p,q) delle coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, e' dato da
a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1
dove
M: numero esatto di primi minori di 2n
K: numero delle coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non
primi e tali che
x' + y' = 2n
Infatti il numero M di primi < 2n e' dato da
M = n\2 - K - #(p,q) + 1
Infatti se alle n\2 coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n tolgo
le K coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non primi e
tali che x' + y' = 2n ed aggiungo le #(p,q) coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, riesco a contare tutti i primi < 2n
esempio:
2n=36
ci sono n\2= 9 coppie (x,y) tali che x+y=36
1) 1+35
2) 3+33
3) 5+31
4) 7+29
5) 9+27
6) 11+25
7) 13+23
8) 15 + 21
9) 17 + 19
ad esse devo togliere K, cioe le coppie 1)(si considera il numero 1 non primo) , 5) e 8) ottenendo
3+33
5+31
7+29
11+25
13+23
17 + 19
ora devo aggiungere le coppie (p,q) con p e q entrambi primi
tali che p+q=36 cioe le coppie 3) 4) 7) 9) e ottengo
1. 3+33
2. 5+31
3. 7+29
4. 11+25
5. 13+23
6. 17 + 19
7. 5+31
8. 7+29
9. 13+23
10. 17+19
come si vede, conto tutti i primi < 36
Infatti in
1. ho 3
2. ho 5
3. ho 7
4. ho 11
5. ho 13
6. ho 17
8. ho 29 (il 7 l'ho già preso)
9. ho 23 (il 13 l'ho gia preso)
10. ho 19 (il 17 l'ho già preso)
Chiaramente in a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1, il fattore (-1) tiene conto del numero primo 2 che è l'unico primo pari.
Io credo che non possa esistere un pari 2n, con n pari tale che non vi
sia nessuna coppia di primi (p,q) tale che p + q = 2n ovvero tale che
#(p,q) = 0
in quanto questo implicherebbe che per tale numero pari, il numero
(n/2) delle coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n sarebbe uguale
a:
n/2 = M + K - 1
mentre si dimostra facilmente che per ogni 2n
n/2 < M + K - 1
Dimostrazione:
Supponiamo che
n/2 = M + K - 1;
questo implica che il numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n
è dato dal numero esatto di primi < 2n più il numero di coppie (x', y')
con x' e y' non primi tali che x' + y' = 2n.
Ciò è ovviamente falso perchè in tale conto per contare le n/2 coppie, numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n, ho una sovrastima data dal conteggio dei numeri primi M > n.
Di conseguenza è
n/2 < M + K - 1
per avere l'uguaglianza devo allora aggiungere un addendo B a n/2
dunque abbiamo
n/2 + B = M + K - 1
ovvero:
B = M + K - n/2 - 1
Spero di condividere con voi l'esattezza o la non esattezza di quanto ho scritto!
Buona matematica a tutti!
sono nuovo e vorrei gentilmente sapere, se possibile, se ciò che ho constatato può essere vero o falso:
preso un numero pari 2n con n pari, ci sono n\2 coppie di dispari
(x,y) tali che
x + y = 2n.
Il conteggio esatto #(p,q) delle coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, e' dato da
a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1
dove
M: numero esatto di primi minori di 2n
K: numero delle coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non
primi e tali che
x' + y' = 2n
Infatti il numero M di primi < 2n e' dato da
M = n\2 - K - #(p,q) + 1
Infatti se alle n\2 coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n tolgo
le K coppie (x' , y' ) con x' e y' dispari ed entrambi non primi e
tali che x' + y' = 2n ed aggiungo le #(p,q) coppie (p,q) con p e q entrambi primi tali che
p + q = 2n, riesco a contare tutti i primi < 2n
esempio:
2n=36
ci sono n\2= 9 coppie (x,y) tali che x+y=36
1) 1+35
2) 3+33
3) 5+31
4) 7+29
5) 9+27
6) 11+25
7) 13+23
8) 15 + 21
9) 17 + 19
ad esse devo togliere K, cioe le coppie 1)(si considera il numero 1 non primo) , 5) e 8) ottenendo
3+33
5+31
7+29
11+25
13+23
17 + 19
ora devo aggiungere le coppie (p,q) con p e q entrambi primi
tali che p+q=36 cioe le coppie 3) 4) 7) 9) e ottengo
1. 3+33
2. 5+31
3. 7+29
4. 11+25
5. 13+23
6. 17 + 19
7. 5+31
8. 7+29
9. 13+23
10. 17+19
come si vede, conto tutti i primi < 36
Infatti in
1. ho 3
2. ho 5
3. ho 7
4. ho 11
5. ho 13
6. ho 17
8. ho 29 (il 7 l'ho già preso)
9. ho 23 (il 13 l'ho gia preso)
10. ho 19 (il 17 l'ho già preso)
Chiaramente in a) #(p,q) = M + K - n\2 - 1, il fattore (-1) tiene conto del numero primo 2 che è l'unico primo pari.
Io credo che non possa esistere un pari 2n, con n pari tale che non vi
sia nessuna coppia di primi (p,q) tale che p + q = 2n ovvero tale che
#(p,q) = 0
in quanto questo implicherebbe che per tale numero pari, il numero
(n/2) delle coppie (x,y) di dispari tali che x + y = 2n sarebbe uguale
a:
n/2 = M + K - 1
mentre si dimostra facilmente che per ogni 2n
n/2 < M + K - 1
Dimostrazione:
Supponiamo che
n/2 = M + K - 1;
questo implica che il numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n
è dato dal numero esatto di primi < 2n più il numero di coppie (x', y')
con x' e y' non primi tali che x' + y' = 2n.
Ciò è ovviamente falso perchè in tale conto per contare le n/2 coppie, numero di coppie di dispari (x,y) tali che x + y = 2n, ho una sovrastima data dal conteggio dei numeri primi M > n.
Di conseguenza è
n/2 < M + K - 1
per avere l'uguaglianza devo allora aggiungere un addendo B a n/2
dunque abbiamo
n/2 + B = M + K - 1
ovvero:
B = M + K - n/2 - 1
Spero di condividere con voi l'esattezza o la non esattezza di quanto ho scritto!
Buona matematica a tutti!
Risposte
Alexp,
hai ragione!
Ci ragiono un attimo....
hai ragione!
Ci ragiono un attimo....
Krek,
il fatto che io dica che $#(p,q)$ non può essere uguale a zero è una congettura.
Il fattore (1) tiene conto del numero primo 2, nel conteggio di $M$.
A te è scomparso perchè in realtà è:
$M = 2*G+L+1$
il fatto che io dica che $#(p,q)$ non può essere uguale a zero è una congettura.
Il fattore (1) tiene conto del numero primo 2, nel conteggio di $M$.
A te è scomparso perchè in realtà è:
$M = 2*G+L+1$
A me risulta che per essere $#(p,q)=0$ allora $K>1$, se si riuscisse a dimostrare che $K$ è $<$ o $=$ a $1$ allora si riuscirebbe a dimostrare la congettura, mi spiego meglio....
$n/2>M$ per logica, altrimenti tutte le coppie $n/2$ apparterrebbero a $#(p,q)$.
detto questo, se si considera $#(p,q)=0$ allora $M=B+1$ dunque $n/2>B+1$, ora sapendo che, sempre con $#(p,q)=0$, $n/2=B+K$, si può riscrivere tutto come $B+K>B+1$ da cui $K>1$
Questo significa che se si considera $#(p,q)=0$, allora necessariamente si avrà $K>1$.....ora il vero problema è proprio qui, se si riuscisse a dimostrare che in questo caso $K$ non può essere $>1$ allora abbiamo la dimostrazione corretta!
$n/2>M$ per logica, altrimenti tutte le coppie $n/2$ apparterrebbero a $#(p,q)$.
detto questo, se si considera $#(p,q)=0$ allora $M=B+1$ dunque $n/2>B+1$, ora sapendo che, sempre con $#(p,q)=0$, $n/2=B+K$, si può riscrivere tutto come $B+K>B+1$ da cui $K>1$
Questo significa che se si considera $#(p,q)=0$, allora necessariamente si avrà $K>1$.....ora il vero problema è proprio qui, se si riuscisse a dimostrare che in questo caso $K$ non può essere $>1$ allora abbiamo la dimostrazione corretta!
"Alexp":
Perchè "se in ogni coppia", non potrebbe essere vera anche se si considerassero solo alcune delle coppie?
Logicamente ineccepibile!
fabioGauss,
Purtroppo anche io ero arrivato alla tua conclusione, ma secondo me c'è qualcosa che non va.....ad esempio
perchè dici: " l'uguaglianza a) sarebbe vera soltanto se in ogni coppia, delle $n/2$ coppie che generano $2n$, ogni primo....ecc..ecc.."
Perchè "se in ogni coppia", non potrebbe essere vera anche se si considerassero solo alcune delle coppie?
Purtroppo anche io ero arrivato alla tua conclusione, ma secondo me c'è qualcosa che non va.....ad esempio
perchè dici: " l'uguaglianza a) sarebbe vera soltanto se in ogni coppia, delle $n/2$ coppie che generano $2n$, ogni primo....ecc..ecc.."
Perchè "se in ogni coppia", non potrebbe essere vera anche se si considerassero solo alcune delle coppie?
Mi ci vorrà un poco per controllarla, ma permango con la preplessità sulla veridicità della formula di partenza. Manca ancora una dimostrazione di esistenza e validità!
K=0 è un errore 
...
L'altro errore voluto era la definizione di K: K={(x',y')|text{(x' e y' non sono primi)}^^text{(x'+y'=2n)}} in cuoi ho omesso il fatto che fossero entrambi dispari.
....
Vorrei farti notare una cosa
Premesso che la coppia (x,y) è uguale alla coppia (y,x) è quindi prendo in considerazione solo la prima delle due, ho:
$ text{n è un multiplo di 4}
$M={x|text{(x è un numero primo)}^^text{(x<2n)}}$
$F={(x,y)|text{(x e y sono dispari)}^^text{(x+y=2n)}}$
$G={(x,y)|text{(x e y sono primi)}^^text{(x+y=2n)}}$
$K={(x,y)|text{(x e y entrambi dispari non sono primi)}^^text{(x+y=2n)}}$
$L={(x,y)|text{(x e y dispari, non sono mai contemporaneamente primi)}^^text{(x+y=2n)}}$
Allora si ha
000 - $|F| = n/2$ (n è multiplo di 4 quindi sempre divisibile per 2)
001 - $|F|=|K|+|G|+|L|$ (è formato da coppie di dispari primi, dispari non primi e dispari alternativamente primi )
002 - $|M|=2*|G|+|L|$ ( essendo presi una sola volta i numeri primi o stanno in coppie di G o stanno in coppie di L)
da 002 ottengo
003 - $|L|=|M|-2*|G|$
sostituendo nella 001 la 000 e la 003 ottengo
004 - $n/2=|K|+|G|+|M|-2*|G|$
ottenendo
005 - $|G|=|K|+|M|-n/2$
ma a cosa mi serve questo risultato?
ho dimostrato qualcosa?
che cosa ho dimostrato?
Il fatto che tu dica che #(p,q) non può essere uguale a zero è una congettura ?
Perché il -1 è scomparso?
Se |K|=0?
CIAO
se ci sono errori fammelo sapere ciao.
...
L'altro errore voluto era la definizione di K: K={(x',y')|text{(x' e y' non sono primi)}^^text{(x'+y'=2n)}} in cuoi ho omesso il fatto che fossero entrambi dispari.
....
Vorrei farti notare una cosa
Premesso che la coppia (x,y) è uguale alla coppia (y,x) è quindi prendo in considerazione solo la prima delle due, ho:
$ text{n è un multiplo di 4}
$M={x|text{(x è un numero primo)}^^text{(x<2n)}}$
$F={(x,y)|text{(x e y sono dispari)}^^text{(x+y=2n)}}$
$G={(x,y)|text{(x e y sono primi)}^^text{(x+y=2n)}}$
$K={(x,y)|text{(x e y entrambi dispari non sono primi)}^^text{(x+y=2n)}}$
$L={(x,y)|text{(x e y dispari, non sono mai contemporaneamente primi)}^^text{(x+y=2n)}}$
Allora si ha
000 - $|F| = n/2$ (n è multiplo di 4 quindi sempre divisibile per 2)
001 - $|F|=|K|+|G|+|L|$ (è formato da coppie di dispari primi, dispari non primi e dispari alternativamente primi )
002 - $|M|=2*|G|+|L|$ ( essendo presi una sola volta i numeri primi o stanno in coppie di G o stanno in coppie di L)
da 002 ottengo
003 - $|L|=|M|-2*|G|$
sostituendo nella 001 la 000 e la 003 ottengo
004 - $n/2=|K|+|G|+|M|-2*|G|$
ottenendo
005 - $|G|=|K|+|M|-n/2$
ma a cosa mi serve questo risultato?
ho dimostrato qualcosa?
che cosa ho dimostrato?
Il fatto che tu dica che #(p,q) non può essere uguale a zero è una congettura ?
Perché il -1 è scomparso?
Se |K|=0?
CIAO
se ci sono errori fammelo sapere ciao.
Fatta la formalizzazione per $n$ pari, è facile farla per $n$ dispari
La cosa complicata è formalizzare.
Nel mio approccio, ipotizzare che per un dato numero pari non esistano coppie di primi, porta che il numero di primi minori di $2n$, $M$ è dato da:
a) $|M| = |B| + 1$
ove $B$ è l'insieme delle coppie con $x,y$ con $x$ primo e $y$ non primo o viceversa, tali che $x+y = 2n$.
Chiaramente
se $x$ è un primo $p< n$, allora y è un non primo $n
oppure:
se $x$ è un non primo $d< n$, allora y è un primo $n
ma in ogni caso $|B| = \frac{n}{2} - |K|$
Ora, l'uguaglianza a) sarebbe vera soltanto se in ogni coppia, nelle $frac{n}{2}$ coppie che generano $2n$, ogni primo $p< n$ si lega con un un non primo $n
Ma ciò equivale a dire che per quel $2n$, $|K| = 0$, perchè non esistono coppie non prime che generano $2n$!!
Dunque per quel $2n$, $|#(p,q)| = 0$ affinchè sia consistente implica $|K| = 0$
Che ne pensate?
La cosa complicata è formalizzare.
Nel mio approccio, ipotizzare che per un dato numero pari non esistano coppie di primi, porta che il numero di primi minori di $2n$, $M$ è dato da:
a) $|M| = |B| + 1$
ove $B$ è l'insieme delle coppie con $x,y$ con $x$ primo e $y$ non primo o viceversa, tali che $x+y = 2n$.
Chiaramente
se $x$ è un primo $p< n$, allora y è un non primo $n
oppure:
se $x$ è un non primo $d< n$, allora y è un primo $n
ma in ogni caso $|B| = \frac{n}{2} - |K|$
Ora, l'uguaglianza a) sarebbe vera soltanto se in ogni coppia, nelle $frac{n}{2}$ coppie che generano $2n$, ogni primo $p< n$ si lega con un un non primo $n
Ma ciò equivale a dire che per quel $2n$, $|K| = 0$, perchè non esistono coppie non prime che generano $2n$!!
Dunque per quel $2n$, $|#(p,q)| = 0$ affinchè sia consistente implica $|K| = 0$
Che ne pensate?
"Alexp":
LORD K,
il problema non è vedere come applicare la formula sul numero che hai scritto, la vera cosa importante è riuscire a formalizzare una regola generale che valga sempre, poi è normale che quando la si cerca di applicare su numeri molto grandi diventa complicatissimo....questo però non toglie che possa essere concettualmente consistente.
Ovvio, solo che qui a me manca proprio di comprendere la sua esistenza!
"Alexp":
Mi sembra impossibile però essere riusciti a dimostrare Goldbach....bisognerebbe chiedere a qualcuno di molto competente, così ci smonta subito!
Non è sempre semplice smontare dimostrazioni sulla Teoria dei Numeri, non so se conoscete il seguente link:
http://arxiv.org/find/all/1/all:+goldbach/0/1/0/all/0/1
ove vengono postate molte "ipotetiche" soluzioni al problema di Goldbach. Ovviamente auguro che il vostro sia il modo corretto, ma per divincolarsi in un "cerca l'errore" ci vuole molto tempo e una conoscenza estremamente approfondita che molto spesso solo gruppi di lavoro hanno! Anche perchè spesso il problema viene visto da prospettive differenti e con approcci differenti rendendo la cosa di difficile comprensione per coloro che non l'hanno costruita.
In ogni caso Goldbach si richiede per ogni $n$ pari e non solo per quelli divisibili per $4$. Inoltre nella dimostrazione per assurdo di Alexp...
questo equivale a dire che se da $0$ a $n$ ci sono $x$ primi, allora da $0$ a $2n$ ce ne sono $x+1$
non è assurda perchè potrebbe dipendere dalla scelta di $n$ e potrebbe essere supportata dal fatto che i primi si diradano mano mano che $n$ cresce... inoltre l'unico modo che abbiamo per dire tra $n$ e $2n$ c'è almeno un primo è il postulato di Bertrand. Questo postulato non ci garantisce un numero preciso ma ci dice solo che uno ce n'è... per qualche $n$ potrebbe essere che ce ne sia davvero SOLO uno rendendo il tutto coerente.
Un mio consiglio è procedere con la formalizzazione per rendere il tutto leggibile (fate conto che anche io ho molta difficoltà a farlo con le mie dimostrazioni
)
LORD K,
il problema non è vedere come applicare la formula sul numero che hai scritto, la vera cosa importante è riuscire a formalizzare una regola generale che valga sempre, poi è normale che quando la si cerca di applicare su numeri molto grandi diventa complicatissimo....questo però non toglie che possa essere concettualmente consistente.
il problema non è vedere come applicare la formula sul numero che hai scritto, la vera cosa importante è riuscire a formalizzare una regola generale che valga sempre, poi è normale che quando la si cerca di applicare su numeri molto grandi diventa complicatissimo....questo però non toglie che possa essere concettualmente consistente.
In ogni caso sarebbe bello condividere le proprie idee a riguardo magari mediante una mailing list o mediante un topic su questo forum.
Io vorrei vedere la dimostrazione di quella formula... oppure se mi dite come posso farla valere per un numero come:
$n=48.756.742.953.647.562.783.647.561.972.495.627.396.495.619.865.789.263.756.923.649.587.267.934.654$
Grazie
$n=48.756.742.953.647.562.783.647.561.972.495.627.396.495.619.865.789.263.756.923.649.587.267.934.654$
Grazie
Alexp,
ho formalizzato il tutto e mi piacerebbe sapere cosa ne pensi,
se mi dai un tuo indirizzo mail ti spedisco una copia.
ho formalizzato il tutto e mi piacerebbe sapere cosa ne pensi,
se mi dai un tuo indirizzo mail ti spedisco una copia.
Vorrei saperlo anche io....
KREK,
ho bisogno dichiederti una cosa.....
perchè in uno dei primi post hai detto che se $#(p,q)=0$ allora $K=0$ ?
non l'ho capito, sapresti aiutarmi?
Grazie!!
ho bisogno dichiederti una cosa.....
perchè in uno dei primi post hai detto che se $#(p,q)=0$ allora $K=0$ ?
non l'ho capito, sapresti aiutarmi?
Grazie!!
Peccato avrei preferito l'avesse dimostrato Raspelli...
Si è vero, errore di stanchezza,quindi tirando le somme....$M=(n/2)-K+#(p,q)+1$ dove $n/2= #(p,q)+B+K$ ora se per assurdo $#(p,q)=0$ si ha $M=(n/2)-K+1$ cioè $n/2=M+K-1=B+K$, dunque $M=B+1$....da qui in poi la logica suggerisce che, essendo il max di $B$ il massimo primo minore di $n$, significa che $B$ contiene tutti i primi minori di $n$, ora essendo $M$ il numero di primi minori di $2n$ e NON di $n$ il quantitativo diventa esattamente lo stesso $+1$ che è il numero $2$.... questo equivale a dire che se da $0$ a $n$ ci sono $x$ numeri primi, allora da $0$ a $2n$ ce ne sono $x+1$, questa regolarità è assurda.
Mi sembra impossibile però essere riusciti a dimostrare Goldbach....bisognerebbe chiedere a qualcuno di molto competente, così ci smonta subito!
Mi sembra impossibile però essere riusciti a dimostrare Goldbach....bisognerebbe chiedere a qualcuno di molto competente, così ci smonta subito!
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