Funzioni iniettive
Tanto per cominciare vi auguro un buongiorno a tutti.
Vorrei sapere come è possibile individuare se una funzione è iniettiva e suriettiva?
Dalla definizione una funzione è iniettiva quando se presi due insiemi A e B allora ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B ed è suriettiva se f(A) = B.
Ma è sufficiente dimostrare che se f(a)= f(a') implica che a = a' ? o si può procedere in modo differente?
E per dimostrare che una funzione è suriettiva come si procede?
Vi ringrazio come sempre per l'aiuto che sicuramente mi potete dare su una domanda probabilmente banale.
Vorrei sapere come è possibile individuare se una funzione è iniettiva e suriettiva?
Dalla definizione una funzione è iniettiva quando se presi due insiemi A e B allora ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B ed è suriettiva se f(A) = B.
Ma è sufficiente dimostrare che se f(a)= f(a') implica che a = a' ? o si può procedere in modo differente?
E per dimostrare che una funzione è suriettiva come si procede?
Vi ringrazio come sempre per l'aiuto che sicuramente mi potete dare su una domanda probabilmente banale.
Risposte
quote:
Originally posted by Robin
Tanto per cominciare vi auguro un buongiorno a tutti.
Vorrei sapere come è possibile individuare se una funzione è iniettiva e suriettiva?
Dalla definizione una funzione è iniettiva quando se presi due insiemi A e B allora ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B ed è suriettiva se f(A) = B.
Ma è sufficiente dimostrare che se f(a)= f(a') implica che a = a' ? o si può procedere in modo differente?
E per dimostrare che una funzione è suriettiva come si procede?
Vi ringrazio come sempre per l'aiuto che sicuramente mi potete dare su una domanda probabilmente banale.
Esistono due teoremini, della teoria degli insiemi che dicono:
L1) data una funzione f:A->B se riesco a trovare una funzione g tale che che g*f è iniettiva allora f è iniettiva.
L2) data una funzione f:A->B se riesco a trovare una funzione g tale che che f*g è suriettiva allora f è suriettiva.
Da questo seguono i seguenti corollari:
C1)Una funzione ammette un inverso a sinistra se e solo se è iniettiva.
C2)Una funzione ammette un inverso a destra se e solo se è suriettiva.
Se vuoi puoi assumere queste come definizioni di iniettività e suriettività.
Ovviamente al di là del contenuto teorico di tutto rispetto, usare queste definizioni vuol dire farsi del male.[:D]
Saluti
Mistral
PS quindi la domanda non è banale.
scusa Mistral hai ragione...
mi ero fatto prendere la mano...
mi ero fatto prendere la mano...
quote:
Originally posted by Maverick
in generale una funzione f A-->B è
iniettiva se accade che f(x) diverso da f(y)<=>x diverso da y
Mi sembra basti solo la implicazione => per la definizione di iniettività.
Di fatto l'implicazione <= che tu hai aggiunto è proprio quello che distingue una funzione da una relazione, ma tu avevi già precisato che parlavi di funzioni, quindi forse è ridondante.
Saluti
Mistral
La definzione di funzione suriettiva data da Denn e' bruttina: sembra che serva l'invertibilita' della funzione, cosa falsa. Una funzione f da A a valori in B e' suriettiva se Im(f)=B. Non conosco molti modi per dimostrare che una funzione f e' suriettiva, se non l'uso della definizione. Diverso e' il caso dell'iniettivita': se, infatti, la funzione in questione e' lineare (quindi agisce tra spazi vettoriali), allora basta verificare che l'insieme dei suoi zeri e' ridotto al singoletto 0.
Luca.
Luca.
Non ho posto il caso generale per rendere + facile la spiegazione..
Maverick:
E' vero che è possibile prendere come immagine l'insieme Z o comunque un insieme diverso da R,ma quando si parla di funzioni si considera quasi sempre come riferimento l'insieme dei numeri reali come immagine.
E' vero che è possibile prendere come immagine l'insieme Z o comunque un insieme diverso da R,ma quando si parla di funzioni si considera quasi sempre come riferimento l'insieme dei numeri reali come immagine.
Per dimostrare che una funzione è suriettiva devi partire dalla definizione:
Una funzione f(x) è suriettiva se e solo se la sua inversa f^-1(x) ha dominio R.
Esempio:
La funzione y=3x+2 è suriettiva xkè la sua inversa:
x=(y-2)/3 è definita per qualunque valore di y
La funzione y=x^2+3x+2 nn è suriettiva in quanto la sua inversa è definita solo per 1-4y>=0
Una funzione f(x) è suriettiva se e solo se la sua inversa f^-1(x) ha dominio R.
Esempio:
La funzione y=3x+2 è suriettiva xkè la sua inversa:
x=(y-2)/3 è definita per qualunque valore di y
La funzione y=x^2+3x+2 nn è suriettiva in quanto la sua inversa è definita solo per 1-4y>=0
mi permetto di precisare che la suriettività e la iniettività sono concetti più generali.
in generale una funzione f A-->B è
iniettiva se accade che f(x) diverso da f(y)<=>x diverso da y
suriettiva s e per ogni y appartenente a B esiste x appartenente ad A t.c. f(x)=y, cioè in pratica immagine e codominio coincidono.
le funzioni da R in R sono solo un caso particolare. i concetti valgono anche se vado da uno spazio di patate in uno spazio di cipolle...
in generale una funzione f A-->B è
iniettiva se accade che f(x) diverso da f(y)<=>x diverso da y
suriettiva s e per ogni y appartenente a B esiste x appartenente ad A t.c. f(x)=y, cioè in pratica immagine e codominio coincidono.
le funzioni da R in R sono solo un caso particolare. i concetti valgono anche se vado da uno spazio di patate in uno spazio di cipolle...
quote:
Originally posted by Robin
Inoltre avrei bisogno di qualche consiglio per sapere come procedere per fare una dimostrazione di un teorema.
Capisco che forse non è facile, ma a me basterebbe uno spunto per iniziare.
Grazie tante.
Anche a me interesserebbe questa cosa. Grazie.
Inoltre avrei bisogno di qualche consiglio per sapere come procedere per fare una dimostrazione di un teorema.
Capisco che forse non è facile, ma a me basterebbe uno spunto per iniziare.
Grazie tante.
Capisco che forse non è facile, ma a me basterebbe uno spunto per iniziare.
Grazie tante.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo