Formule di Viète

[SARRUS89]

Mi riferisco a quelle che relazioni i coefficienti di un'equazione di grado n alle sue radici, qualcuno sa come si dimostrano? Ho guardato su wikipedia, qui dà un input per la dimostrazione ma io non sono riuscito a portarla a compimento, spero che qualcuno mi possa dare una mano!:).

[Gabriel6]

Considero, per semplicità, il caso di un polinomio $p(\cdot) \in CC[z]$ a coefficienti complessi di grado $n \ge 1$. Il teorema fondamentale dell'algebra garantisce, allora, l'esistenza di $n$ scalari $z_1, z_2, \ldots, z_n \in CC$, non necessariamente a due a due distinti, tali che $p(z) = a_n \cdot \prod_{k=1}^n (z-z_k)$, dove ho supposto $p(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k$, con $a_0, a_1, \ldots, a_n \in CC$. Pertanto $\sum_{k=0}^n a_k z^k = \sum_{k=0}^n (-1)^k s_k^{(n)}(z_1, z_2, \ldots, z_n) z^k$, dove $s_k^{(n)}(z_1, z_2, \ldots, z_n)$ sono le funzioni simmetriche delle radici. Da qui, in base al principio di identità dei polinomi: $a_k = (-1)^k s_k^{(n)}(z_1, z_2, \ldots, z_n)$, per ogni $k = 0, 1, \ldots, n$. Le relazioni così ottenute rappresentano, appunto, le celebrate formule di Viete.