Formula interpolazione bilineare

[terence88z]

Ciao a tutti!
Avrei bisogno di un piccolo aiutino sull'interpolazione bilineare.
Ho un insieme di dati sperimentali in 3 dimensioni (x,y,z). Qello che sto cercando di fare è quello di definire una funzione interpolante che passi attraverso tutti i punti sperimentali e stimi il valore in un punto generico. Ora però ho il problema che in rete non si trova molto sull'argomento, quindi vi volevo chiedere se qualcuno di voi conosce la definizione della formula per l'interpolazione bilineare.
Grazie mille a tutti

[*pizzaf40]

L'interpolazione bi-lineare (come dice la parola stessa) è l'interpolazione doppiamente lineare, o meglio, singolarmente lineare nelle singole variabili.
Questo significa che è:

$P(x,y)=(ax+b)(cy+d)=Axy+Bx+Cy+D$

e, come dimostrano le 4 incognite, è come creare una superficie composta da elementi quadrilaterali. Infatti ogni polinomio $P_i(x,y)$ vale per un elemento quadrilatero, e si ricava imponendo le condizioni dei 4 angoli:

$P_i(x_1,y_1)=Ax_1y_1+Bx_1+Cy_1+D$
$P_i(x_2,y_2)=Ax_2y_2+Bx_2+Cy_2+D$
$P_i(x_3,y_3)=Ax_3y_3+Bx_3+Cy_3+D$
$P_i(x_4,y_4)=Ax_4y_4+Bx_4+Cy_4+D$

Questo significa che se hai le variabili indipendenti $x$ ed $y$, devi construire prima i quadrilateri e poi ricavare le costanti di un polinomio per ognuno dei quadrilateri.
Non so quanti dati hai e che uso ne devi fare...in ogni caso è facile che ti venga molto più facile fare un piccolo programmino per non fare mille millioni di calcoli

Non ricordo ovviamente le espressioni esplicite di $(A,B,C,D)$, ma basta risolvere una volta sola il sistema sopra riportato e poi la soluzione è valida per tutti i casi.

Se vuoi, un'alternativa può essere (sempre in base a come fare i calcoli) usare elementi triangolari, cioè tre condizioni ai vertici, quindi 3 incognite per ogni elemento:

$P(x,y)=Ax+By+C$

ed il sistema risulta ovviamente:

$P_i(x_1,y_1)=Ax_1+By_1+C$
$P_i(x_2,y_2)=Ax_2+By_2+C$
$P_i(x_3,y_3)=Ax_3+By_3+C$

Notizie su questi e molti altri metodi di interpolazione ci sono su testi di soluzioni approssimate di sistemi, per esempio gli elementi finiti (FEM), quindi libri di calcolo numerico.