Fondamento geometrico dell'algebra
Ciao a tutti, spero che il titolo "provocatorio" e apparentemente dovuto ad una svista attiri molti lettori! 
Chiunque abbia seguito almeno un corso di geometria a livello universitario sa come, nella matematica per come ci viene insegnata, il fondamento teorico della geometria sia dato dall'algebra partendo dal concetto di spazio affine.
Per quelle che sono le mie conoscenze so che i matematici tra il secondo Ottocento e il primo Novecento diedero come fondamento universale della matematica la logica della teoria degli insiemi da cui segue l'algebra e dunque la geometria.
Ma io mi chiedo, nella storia della matematica c'è mai stato qualcuno che ha cercato di dare un fondamento geometrico all'algebra ovvero di dedurre in qualche modo l'algebra dalla geometria?
Un'altra domanda, probabilmente più pratica e concisa
, è possibile dimostrare la cosiddetta geometria sintetica (quella che si studia alle medie e al biennio del liceo per intenderci, nella geometria fondata sull'algebra?
Mi rendo conto che queste domande possano essere poco chiare pur sperando di essermi spiegato! Probabilmente il fatto che io non sia in grado di darmi le risposte da solo è dovuto al fatto che non ho ancora seguito corsi più avanzati, ma la mia è solo curiosità! Vorrei appunto dare lo spunto per iniziare una piacevole discussione.
Chiunque abbia seguito almeno un corso di geometria a livello universitario sa come, nella matematica per come ci viene insegnata, il fondamento teorico della geometria sia dato dall'algebra partendo dal concetto di spazio affine.
Per quelle che sono le mie conoscenze so che i matematici tra il secondo Ottocento e il primo Novecento diedero come fondamento universale della matematica la logica della teoria degli insiemi da cui segue l'algebra e dunque la geometria.
Ma io mi chiedo, nella storia della matematica c'è mai stato qualcuno che ha cercato di dare un fondamento geometrico all'algebra ovvero di dedurre in qualche modo l'algebra dalla geometria?
Un'altra domanda, probabilmente più pratica e concisa
, è possibile dimostrare la cosiddetta geometria sintetica (quella che si studia alle medie e al biennio del liceo per intenderci, nella geometria fondata sull'algebra?Mi rendo conto che queste domande possano essere poco chiare pur sperando di essermi spiegato!
Probabilmente il fatto che io non sia in grado di darmi le risposte da solo è dovuto al fatto che non ho ancora seguito corsi più avanzati, ma la mia è solo curiosità! Vorrei appunto dare lo spunto per iniziare una piacevole discussione.
Risposte
"vict85":
Gli assiomi di Peano? Ma non sono quelli dei numeri naturali? Intendi gli assiomi di Hilbert/Euclide?
Si, scusa, mi sono confuso... comunque sei stato abbastanza chiaro! Mi chiedevo appunto perché fosse necessario introdurre gli assiomi di Hilbert/Euclide quando l'algebra definisce chiaramente il punto, la retta e i loro comportamenti.
"vict85":
Se volevi fare matematica con i disegni geometrici sei arrivato tardi di almeno 200-300 anni.
Mettici una faccina dai, altrimenti sembra che mi dai dell'anacronistico!
Grazie della spiegazione!
Gli assiomi di Peano? Ma non sono quelli dei numeri naturali? Intendi gli assiomi di Hilbert/Euclide? In ogni caso nella geometria affine non hanno assolutamente alcun valore. Il fatto è che rette e punti, concetti non definibili nella geometria sintetica, hanno una definizione nella geometria affine (non sintetica) e delle proprietà algebriche che permettono di osservare che effettivamente per due punti passa una e una sola retta. Cioè l'assioma diventa teorema (uno abbastanza banale e ignorato).
Gli assiomi in algebra, analisi e in gran parte della matematica moderna sono dei buoni punti di inizio ma dopo di che sono generalmente ignorati. Spesso non vengono neanche definiti così chiaramente come avviene nella geometria sintetica.
Riguardo alla geometria sintetica, che viene ancora studiata anche se meno di una volta, gli assiomi hanno un valore molto più forte. C'è inoltre il fatto che negli assiomi di Euclide sono state trovate varie falle nel tempo (e ora si usano quelli di Hilbert infatti). L'assioma occorre perché per quanto tu abbia una idea di cosa sia una retta nella matematica l'intuizione è alle volte fuorviante e quindi bisogna basarsi sulle proprietà degli oggetti geometrici. Tieni comunque conto che retta e punto nella geometria euclidea non vengono definite e gli assiomi servono a descriverne minuziosamente il comportamento.
Il sistema che utilizza l'algebra è comunque senza dubbio più rapido, efficace e meno connesso ai disegni (che sono stati spesso la "rovina" della geometria sintetica). Se volevi fare matematica con i disegni geometrici sei arrivato tardi di almeno 200-300 anni.
Gli assiomi in algebra, analisi e in gran parte della matematica moderna sono dei buoni punti di inizio ma dopo di che sono generalmente ignorati. Spesso non vengono neanche definiti così chiaramente come avviene nella geometria sintetica.
Riguardo alla geometria sintetica, che viene ancora studiata anche se meno di una volta, gli assiomi hanno un valore molto più forte. C'è inoltre il fatto che negli assiomi di Euclide sono state trovate varie falle nel tempo (e ora si usano quelli di Hilbert infatti). L'assioma occorre perché per quanto tu abbia una idea di cosa sia una retta nella matematica l'intuizione è alle volte fuorviante e quindi bisogna basarsi sulle proprietà degli oggetti geometrici. Tieni comunque conto che retta e punto nella geometria euclidea non vengono definite e gli assiomi servono a descriverne minuziosamente il comportamento.
Il sistema che utilizza l'algebra è comunque senza dubbio più rapido, efficace e meno connesso ai disegni (che sono stati spesso la "rovina" della geometria sintetica). Se volevi fare matematica con i disegni geometrici sei arrivato tardi di almeno 200-300 anni.
"vict85":
La geometria sintetica si ricava dalla geometria analitica/affine attraverso le trasformazioni affini. C'è poi la geometria proiettiva.
Beh, in effetti ripensandoci non mi viene difficile immaginare che sia possibile dimostrare i teoremi della geometria sintetica mediante la geometria affine. Quello che non capisco però è il ruolo che abbiano all'interno di una geometria fondata sull'algebra gli assiomi, tipo quelli di Peano; in altre parole perché, ad esempio, occorre un'assioma che dice che per due punti passa una sola retta?!
Immagino possa essere frustrante cercare di spiegare cose del genere ad uno come me che ne sa praticamente niente quindi vi chiedo di fare un piccolo sforzo!:-D
"marco.bre":
Ciao a tutti, spero che il titolo "provocatorio" e apparentemente dovuto ad una svista attiri molti lettori!
Chiunque abbia seguito almeno un corso di geometria a livello universitario sa come, nella matematica per come ci viene insegnata, il fondamento teorico della geometria sia dato dall'algebra partendo dal concetto di spazio affine.
Per quelle che sono le mie conoscenze so che i matematici tra il secondo Ottocento e il primo Novecento diedero come fondamento universale della matematica la logica della teoria degli insiemi da cui segue l'algebra e dunque la geometria.
Ma io mi chiedo, nella storia della matematica c'è mai stato qualcuno che ha cercato di dare un fondamento geometrico all'algebra ovvero di dedurre in qualche modo l'algebra dalla geometria?
L'algebra per molto tempo è stata basata sulla geometria. Archimede pensava ad i numeri come oggetti geometrici e i principali scopi dell'algebra per vario tempo (da non confondere con l'aritmetica) è stata quella di fare calcoli geometrici. Ci sono in realtà rappresentazioni più algebriche della geometria e della fisica di quelle da te presentate (http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra da non confondere con la geometria algebrica). Io non penso che si ritornerà indietro ed in effetti lo studio delle trasformazioni dello spazio come fondamento della geometria lo trovo abbastanza funzionale.
"marco.bre":
Un'altra domanda, probabilmente più pratica e concisa
Mi rendo conto che queste domande possano essere poco chiare pur sperando di essermi spiegato!
La geometria sintetica si ricava dalla geometria analitica/affine attraverso le trasformazioni affini. C'è poi la geometria proiettiva.
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