Finalmente!!
finalmente sono ricominciate le lezioni: non ce la facevo più..
ad Analisi abbiamo cominciato le serie e ci hanno dato il seguente esercizio:
stabilire il carattere della serie
l'unico teorema che conosco è il seguente:
Se una serie ha termini non negativi e il generico termine a(k), al divergere di k è non nullo, allora la serie diverge positivamente.
la mia soluzione è la seguente:
la prima somma è un numero finito; la seconda verifica le ipotesi del teorema, quindi diverge; in conclusione la serie è divergente.
è corretta?
ciao, ubermensch
ad Analisi abbiamo cominciato le serie e ci hanno dato il seguente esercizio:
stabilire il carattere della serie
00 k - 4
---------
k=0 2k - 1
l'unico teorema che conosco è il seguente:
Se una serie ha termini non negativi e il generico termine a(k), al divergere di k è non nullo, allora la serie diverge positivamente.
la mia soluzione è la seguente:
00 k - 4 3 k - 4 00 k - 4
k=0 2k - 1 k=0 2k - 1 k=4 2k - 1
la prima somma è un numero finito; la seconda verifica le ipotesi del teorema, quindi diverge; in conclusione la serie è divergente.
è corretta?
ciao, ubermensch
Risposte
Possiamo pensare alle due serie come
sa-sb-[sa1]-[sa2]+[sb1]+[sb2]
dove sa e sb sono le due serie geometriche e [.] i loro elementi con rispettivo indice.
La somma si riduce insomma a 3-2-1-2/3+1+1/2=1-1/6=5/6
sa-sb-[sa1]-[sa2]+[sb1]+[sb2]
dove sa e sb sono le due serie geometriche e [.] i loro elementi con rispettivo indice.
La somma si riduce insomma a 3-2-1-2/3+1+1/2=1-1/6=5/6
citazione:
opsss ho dimenticato di scrivere che bisogna partire da 2!!
ne devo togliere due di termini, non 1.
Togliendo qualche termine ad una serie ,certamente puo'
accadere che la somma cambi.In questa caso la nostra serie
e' stata considerata differenza di DUE serie convergenti
le cui somme variano in misura eguale per k=0 e k=1 ,lasciando
la differenza inalterata ( ma solo per questi due valori).
D'altra parte,in questo caso particolare ,e' facile verificare
che la somma effettivamente non cambia partendo da k=0 come da k=1.
karl.
accadere che la somma cambi.In questa caso la nostra serie
e' stata considerata differenza di DUE serie convergenti
le cui somme variano in misura eguale per k=0 e k=1 ,lasciando
la differenza inalterata ( ma solo per questi due valori).
D'altra parte,in questo caso particolare ,e' facile verificare
che la somma effettivamente non cambia partendo da k=0 come da k=1.
karl.
continua a non essermi chiaro; se tolgo qualche elemento il valore a cui tende la serie cambia, quindi cambia anche la differenza.
se io considero 0,1 + 0,01 + 0,001.....
mi tende a 0,1111.....
se tolgo il primo elemento, mi tende a 0,0111111...
p.s. se tolgo un elemento la differenza rimane quella, ma io ne devo togliere 2.
Modificato da - ubermensch il 01/03/2004 20:39:18
se io considero 0,1 + 0,01 + 0,001.....
mi tende a 0,1111.....
se tolgo il primo elemento, mi tende a 0,0111111...
p.s. se tolgo un elemento la differenza rimane quella, ma io ne devo togliere 2.
Modificato da - ubermensch il 01/03/2004 20:39:18
La differenza e' cmq 1 (2-1=1)ed e' a questa che mi riferivo.
karl.
karl.
opsss ho dimenticato di scrivere che bisogna partire da 2!! per questo a me viene 5/6: ho fatto lo stesso tuo ragionamento, ma poi ho tolto un po di pezzi...
la prima viene 3-1-2/3=4/3; la seconda viene 2-1-1/2=1/2; in conclusione ho 4/3-1/2=5/6.
sono un po dubbioso sul fatto che vengano uguali se si parte da 0 o da 1. esempio: 1/2^k, se parto da 0 converge a 2; se parto da 1 converge ad 1... o no??
ciao, ubermensch
la prima viene 3-1-2/3=4/3; la seconda viene 2-1-1/2=1/2; in conclusione ho 4/3-1/2=5/6.
sono un po dubbioso sul fatto che vengano uguali se si parte da 0 o da 1. esempio: 1/2^k, se parto da 0 converge a 2; se parto da 1 converge ad 1... o no??
ciao, ubermensch
La condizione,necessaria ma non sufficiente,di convergenza
e' soddisfatta perche':
lim((2/3)^k-(1/2)^k)=0.
k-->+inf
La serie e' effettivamente convergente in quanto si puo'
considerare come differenza di due serie geometriche ,la
prima di ragione 2/3 e la seconda di ragione 1/2,ragioni che sono entrambe minori di 1 (com'e' noto questo assicura la convergenza).
La somma della prima serie geometrica e':S1=a1/(1-q)=1/(1-2/3)=3,
mentre la somma della seconda serie e':S2=a1/(1-q)=1/(1-1/2)=2.
Ne segue che la tua serie ha per somma :S=3-2=1.
Anche Derive conferma questo risultato.
Nota.:ho fatto iniziare entrambe le serie da k=0,ma il risultato
non cambia partendo da k=1.
Si conferma il risultato di Paquito.
Saluti da karl.
e' soddisfatta perche':
lim((2/3)^k-(1/2)^k)=0.
k-->+inf
La serie e' effettivamente convergente in quanto si puo'
considerare come differenza di due serie geometriche ,la
prima di ragione 2/3 e la seconda di ragione 1/2,ragioni che sono entrambe minori di 1 (com'e' noto questo assicura la convergenza).
La somma della prima serie geometrica e':S1=a1/(1-q)=1/(1-2/3)=3,
mentre la somma della seconda serie e':S2=a1/(1-q)=1/(1-1/2)=2.
Ne segue che la tua serie ha per somma :S=3-2=1.
Anche Derive conferma questo risultato.
Nota.:ho fatto iniziare entrambe le serie da k=0,ma il risultato
non cambia partendo da k=1.
Si conferma il risultato di Paquito.
Saluti da karl.
A me non pare.
Sono due serie geometriche di ragione 2/3 e 1/2
La loro somma è 1/(1-2/3)=3 e 1/(1-1/2)=2
Dunque il risultato è 3-2=1 sempre che la somma vada da 0 a +inf.
Sono due serie geometriche di ragione 2/3 e 1/2
La loro somma è 1/(1-2/3)=3 e 1/(1-1/2)=2
Dunque il risultato è 3-2=1 sempre che la somma vada da 0 a +inf.
grazie karl.
ne ho anche un'altra, se ti va di farla:
2^k/3^k - 1/2^k
pare che venga 5/6.
ciao e grazie ancora
Modificato da - ubermensch il 01/03/2004 16:52:16
ne ho anche un'altra, se ti va di farla:
2^k/3^k - 1/2^k
pare che venga 5/6.
ciao e grazie ancora
Modificato da - ubermensch il 01/03/2004 16:52:16
Sembra esatto.La regola piu' generale e' che se
lim(An) =/=0 allora la serie NON CONVERGE.
n-->+inf
lim(An) =/=0 allora la serie NON CONVERGE.
n-->+inf
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